Aritmetica de intervale

Aritmetica intervalului  este o structură matematică care, pentru intervale reale , definește operații similare cu aritmetica obișnuită. Această zonă a matematicii se mai numește și analiză de intervale sau calcul pe intervale . Acest model matematic este convenabil pentru studierea diferitelor obiecte aplicate [1] :

• Cantități ale căror valori sunt cunoscute doar aproximativ , adică se definește un interval finit în care sunt cuprinse aceste valori.
• Cantități ale căror valori sunt distorsionate de erorile de rotunjire în timpul calculelor .
• variabile aleatorii .

Obiectele și operațiile aritmeticii intervalului pot fi privite ca o generalizare a modelului numerelor reale, motiv pentru care intervalele sunt numite numere de interval într-un număr de surse . Importanța practică a acestui model se datorează faptului că rezultatele măsurătorilor și calculelor au aproape întotdeauna o anumită eroare, care trebuie luată în considerare și evaluată.

Fundal

Aritmetica intervalelor nu este un fenomen complet nou în matematică; ea a apărut de mai multe ori în istorie sub diferite nume. De exemplu, Arhimede în secolul al III-lea î.Hr. e .. a calculat limitele inferioare și superioare pentru numărul :

Deși calculele pe intervale nu au fost la fel de populare ca alte metode numerice, ele nu au fost complet uitate.

Noua istorie a calculului pe intervale începe în 1931 cu lucrarea lui Rosalind Cecily Young [2] , unde au fost date reguli pentru calcularea cu intervale și alte submulțimi de numere reale. În 1951, a apărut manualul de algebră liniară al lui Paul S. Dwyer , în care acest subiect a fost luat în considerare din punctul de vedere al îmbunătățirii fiabilității sistemelor digitale - intervalele au fost folosite pentru estimarea erorilor de rotunjire asociate numerelor în virgulă mobilă [3] . În 1958, Teruo Sunaga a publicat o lucrare detaliată despre aplicarea algebrei de interval la analiza numerică [4] .

În a doua jumătate a secolului al XX-lea, nevoile calculatoarelor au determinat dezvoltarea rapidă a analizei intervalului aproape simultan și independent în Uniunea Sovietică, SUA, Japonia și Polonia. În 1966, a apărut cartea matematicianului american Ramon Moore „Interval Analysis” [ 5 ] . Meritul acestei lucrări a fost că, pornind de la un principiu simplu, a oferit o metodă generală de analiză automată a erorilor, și nu doar a erorilor rezultate din rotunjire.

În următoarele două decenii, cercetări importante privind analiza intervalului și aplicațiile acesteia au fost efectuate în Germania de Karl Nickel și studenții săi de la Universitatea din Freiburg, în grupurile lui Ulrich Kulisch și Götz Ahlefeld de la Universitatea din Karlsruhe [6] ] [7] , și altele.

În anii 1960, Eldon R. Hansen a extins abordarea intervalului la sistemele de ecuații liniare și apoi a adus contribuții importante la optimizarea globală , inclusiv ceea ce este acum cunoscut sub numele de metoda Hansen, poate cel mai utilizat algoritm de interval [8] . Metodele clasice în această problemă au adesea o problemă cu determinarea celei mai mari (sau cele mai mici) valoare globală (ele pot găsi doar un optim local și nu pot găsi cele mai bune valori); Helmut Rachek și John George Rockne au dezvoltat o variație a metodei ramurilor și legate , care până atunci fusese aplicată doar valorilor întregi.

În 1988, Rudolf Lohner a dezvoltat un software bazat pe Fortran pentru a demonstra problema Cauchy pentru sistemele de ecuații diferențiale obișnuite [9] .

Din anii 1990 a început publicarea revistei internaționale „Interval Computing” – „Interval Computions”, care în 1995 a fost redenumită „Reliable Computing” („Reliable Computing”). Principalele subiecte ale revistei sunt calculele bazate pe dovezi, metodele de analiză a intervalelor și aplicațiile acesteia.

În Rusia și URSS, V. M. Bradis a fost implicat activ în teme de interval încă din anii 1920 . În 1962, unul dintre primele numere ale Jurnalului de Matematică Siberian a publicat un articol de Leonid Vitalievich Kantorovich , care, de fapt, a conturat bazele analizei intervalului în spații parțial ordonate și aplicațiile noilor tehnici. În articolul său, acest subiect a fost desemnat ca o prioritate pentru știința noastră computațională [10] . În perioada postbelică, una dintre primele a fost cartea lui Yu. I. Shokin „Interval Analysis” [11] . În anul următor, un manual de T.I. Nazarenko și L.V. Marchenko „Introducere în metodele de intervale ale matematicii computaționale” [12] , iar în 1986 - o monografie de S. A. Kalmykov, Yu. I. Shokin și Z. Kh. Yuldashev „Metode de analiză a intervalelor” [13] .

Operații pe intervale

Vom lua în considerare toate intervalele reale finite posibile . Operațiunile asupra acestora sunt definite după cum urmează:

• Adunare: [ a , b ] + [ c , d ] = [ a + c , b + d ]
• Scădere: [ a , b ] − [ c , d ] = [ a − d , b − c ]
• Înmulțire: [ a , b ] × [ c , d ] = [min ( ac , ad , bc , bd ), max ( ac , ad , bc , bd )]
• Împărțire: [ a , b ] / [ c , d ] = [min ( a/c , a/d , b/c , b/d ), max ( a/c , a/d , b/c , b/ d )]

Se poate observa din definiție că intervalul sumă conține toate sumele posibile de numere din intervalele sumand și determină limitele mulțimii de astfel de sume. Alte acțiuni sunt tratate în mod similar. Rețineți că operația de împărțire este definită numai dacă intervalul divizorului nu conține zero.

Intervalele degenerate al căror început și sfârșit coincid pot fi identificate cu numere reale obișnuite. Pentru ei, definițiile de mai sus coincid cu operațiile aritmetice clasice.

Proprietăți operație

Adunarea și înmulțirea intervalelor sunt atât comutative , cât și asociative . Dar în loc de distributivitatea cu drepturi depline a înmulțirii prin adunare, are loc așa-numita subdistributivitate:

Variante și extensii ale aritmeticii intervalului

IEEE 1788

Standardul de implementare a computerului IEEE 1788-2015 pentru aritmetica intervalului a fost adoptat în iunie 2015. [14] În timpul dezvoltării standardului și în anii următori, au fost pregătite mai multe implementări de referință distribuite liber: [15] biblioteca C++ libieeep1788 [ 16] biblioteca pentru C++, biblioteca JInterval pentru limbajul Java și un pachet care implementează interval. calcule pentru software-ul matematic liber GNU Octave [17] .

Subsetul minim al standardului, conceput pentru a simplifica și accelera implementarea acestuia - IEEE Std 1788.1-2017, a fost adoptat în decembrie 2017 și publicat în februarie 2018. [18]

Software

Există multe implementări ale aritmeticii intervalului în diverse pachete software [19] . Adesea sunt concepute ca biblioteci specializate. O serie de compilatoare Fortran și C++ includ suport pentru valorile intervalului ca tip special de date.

Vezi și

• Calcule aproximative
• IEEE 754

Note

1. ↑ Shary, 2019 , p. optsprezece.
2. ↑ Young, Rosalind Cicely (1931). cantitatea de mărimi cu mai multe valori. Mathematische Annalen, 104(1), 260-290. (Aceasta este teza ei de la Universitatea din Cambridge ).
3. ↑ Dwyer, Paul Sumner (1951). Calcule liniare. Oxford, Anglia: Wiley. (Universitatea din Michigan)
4. ↑ Teoria algebrei intervalelor și aplicarea ei la analiza numerică  //  Memorii RAAG: jurnal. - 1958. - Nr. 2 . - P. 29-46 .
5. ↑ Analiza intervalului  . - Englewood Cliff, New Jersey, SUA: Prentice Hall , 1966. - ISBN 0-13-476853-1 .
6. ↑ Grundzüge der Intervallrechnung // Jahrbuch Überblicke Mathematik  (germană) / Laugwitz, Detlef. - Mannheim, Germania: Bibliographisches Institut , 1969. - Bd. 2. - S. 51-98.
7. ↑ Wissenschaftliches Rechnen mit Ergebnisverifikation. Eine Einführung  (germană) . - Wiesbaden: Springer Vieweg Verlag , 1989. - ISBN 3-528-08943-1 .
8. ↑ Optimizare globală folosind  analiza intervalului . — al 2-lea. - New York, SUA: Marcel Dekker , 2004. - ISBN 0-8247-4059-9 .
9. ↑ Limite pentru ecuațiile diferențiale ordinare ale lui Rudolf Lohner Arhivat 11 mai 2018. (in germana)
10. ↑ Note istorice .
11. ↑ Shokin, 1981 .
12. ↑ T. I. Nazarenko, L. V. Marchenko. Introducere în metodele de intervale ale matematicii computaționale „Manual. Irkutsk: Editura Universității din Irkutsk, 1982. - 108 p.
13. ↑ S. A. Kalmykov, Yu. I. Shokin, Z. Kh. Yuldashev Metode de analiză a intervalelor. - Novosibirsk: Nauka, 1986, 224 p.
14. ↑ Standardul IEEE pentru aritmetica de intervale . Consultat la 7 februarie 2022. Arhivat din original pe 7 februarie 2022. (nedefinit)
15. ↑ Revol, Nathalie (2015). Standardul (aproape) viitor IEEE 1788 pentru aritmetica intervalului. Al 8-lea atelier mic despre metode de interval. Slides (PDF) Arhivat 2 iunie 2016 la Wayback Machine
16. ↑ Implementarea C++ a standardului preliminar IEEE P1788 pentru aritmetica de intervale . Preluat la 31 iulie 2018. Arhivat din original la 10 iunie 2018. (nedefinit)
17. ↑ Pachetul GNU Octave interval . Consultat la 31 iulie 2018. Arhivat din original la 9 noiembrie 2016. (nedefinit)
18. ↑ IEEE Std 1788.1-2017 - IEEE Standard for Interval Arithmetic (Simplificat) . IEEE SA . Asociația de standarde IEEE. Consultat la 6 februarie 2018. Arhivat din original pe 7 februarie 2022. (nedefinit)
19. ↑ Software for Interval Computations Arhivat 2 martie 2006 la Wayback Machine colectat de Vladik Kreinovich , Universitatea din Texas din El Paso

Literatură

• Alefeld G., Herzberger J. . O introducere în calculul cu intervale . M.: Mir, 1987. 356 p.
• Dobronets B. S. Interval Mathematics . Krasnoyarsk: Editura KSU, 2004.
• Shary S. P. Analiza intervalului finit-dimensional . - Novosibirsk: XYZ, 2019. - 635 p.
• Shokin Yu. I. Analiza intervalului . - Novosibirsk: filiala siberiană a editurii Nauka, 1981.

Link -uri

• Analiza intervalelor și aplicațiile acesteia .
  • Note istorice .
• Aritmetica intervalelor la Mathworld  .