Clasificarea Enriques-Kodiry

Clasificarea Enriques-Kodiira este o clasificare a suprafețelor complexe compacte în zece clase. Pentru fiecare dintre aceste clase, suprafețele acestor clase pot fi parametrizate prin spațiul de module . Pentru majoritatea claselor, spațiile de module sunt bine dezvoltate, dar pentru o clasă de suprafețe de tip general, spațiile de module sunt prea complicate pentru a fi descrise în mod explicit, deși unele componente sunt cunoscute.

Max Noeter a început studiul sistematic al suprafețelor algebrice, iar Guido Castelnuovo a dovedit părți importante ale clasificării. Enriques [1] [2] a descris clasificarea suprafețelor proiective complexe. Kodaira [3] [4] [5] [6] a extins ulterior clasificarea pentru a include suprafețele compacte non-algebrice.

O clasificare similară a suprafețelor cu caracteristica p > 0 a fost începută de Mumford [7] și completată de Bombieri și Mumford [8] [9] . Clasificarea este similară cu cazul suprafețelor proiective în caracteristica 0, cu excepția faptului că obținem, de asemenea, suprafețe Enriques singulare și supersingulare în caracteristica 2 și suprafețe cvasi-hipereliptice în caracteristicile 2 și 3.

Aprobare clasificare

Clasificarea Enriques-Kodaira a suprafețelor complexe compacte afirmă că orice suprafață complexă minimală compactă nesingulară aparține exact unuia dintre cele 10 tipuri enumerate pe această pagină. Cu alte cuvinte, este una dintre suprafețele raționale, guvernate (de gen > 0), tip VII, K3, Enriques, Kodaira, torice, hiperbolice, propriu-zise cvasi-eliptice sau de tip general.

Pentru 9 clase de suprafețe, altele decât tipul general, există o descriere destul de completă a modului în care arată toate suprafețele (care pentru clasa VII depinde de conjectura globală a învelișului sferic , care rămâne nedovedită). Pentru suprafețele de tip general, nu se cunosc multe despre clasificarea lor explicită, deși au fost găsite multe exemple.

Clasificarea suprafețelor algebrice în caracteristică pozitivă [7] [8] [9] este similară cu clasificarea suprafețelor algebrice în caracteristica 0, cu excepția faptului că nu există suprafețe Kodaira sau de tip VII, ci câteva familii suplimentare de suprafețe Enriques în caracteristica 2 și suprafețe hipereliptice în caracteristicile 2 și 3. În plus, pentru dimensiunea Kodaira 1 în caracteristicile 2 și 3, este permis un fascicul cvasi-eliptic. Aceste familii suplimentare pot fi înțelese astfel: în caracteristica 0 aceste suprafețe sunt factori de suprafețe prin grupuri finite, dar în caracteristică finită se pot lua și factori prin scheme de grup finite care nu sunt étales .

Oskar Zariski a construit mai multe suprafețe cu caracteristică pozitivă care sunt uniraționale dar nu raționale, care sunt obținute din extensii inseparabile ( Zariski suprafețe ). Pentru o caracterizare pozitivă, Serre a arătat că poate diferi de , iar Igusa a arătat că, chiar dacă acestea coincid, pot fi mai mari decât neregularitatea (dimensiunea varietății Picard ). $h^{0}(\Omega )$ $h^{1}(O)$

Invarianți de suprafață

Numerele Hodge și dimensiunea Kodaira

Majoritatea invarianților importanți ai suprafețelor complexe compacte utilizați în clasificare pot fi dați în termeni de dimensiuni ale diferitelor grupuri de coomologie de snopi coerente . Principalele sunt plurirods și numerele Hodge definite după cum urmează:

K este fascicul de linii canonice ale cărui secțiuni sunt 2-forme holomorfe.
$P_{n}=\mathrm {dim} \,H^{0}(K^{n})$ pentru n ≥ 1, plurigenii . Sunt invarianți biraționali , adică invarianți sub explozii . Folosind teoria Seiberg-Witten, Friedman și Morgan au arătat că pentru varietăți complexe, plurigenii depind doar de 4-varietățile netede orientate subiacente. Pentru suprafețele non-Kähler, plurigenii sunt determinati de grupul fundamental, dar pentru suprafețele Kähler , există exemple de suprafețe homeomorfe care au plurigeni și dimensiuni Kodaira diferiți. Plurirods nu sunt adesea folosite individual, cel mai important lucru despre ele este rata lor de creștere, măsurată prin dimensiunea lui Kodaira .
κ este dimensiunea Kodaira . Este (uneori scris −1) dacă toți plurigenii sunt 0, altfel este cel mai mic număr (0, 1 sau 2 pentru suprafețe) astfel încât este mărginit. Enriques nu a folosit această definiție, ci a folosit valorile și . Ei definesc dimensiunea lui Kodaira, deoarece dimensiunea lui Kodaira se potrivește , se potrivește , se potrivește și , în timp ce se potrivește și . $-\infty$ $P_{n}/n^{\kappa )$ $P_{12}$ $KK=c_{1}^{2}$ $\kappa=-\infty$ $P_{12}=0$ $\kappa =0$ $P_{12}=1$ $\kappa =1$ $P_{12}>1$ $KK=0$ $\kappa =2$ $P_{12}>1$ $KK>0$
$h^{i,j}=\mathrm {dim} \,H^{j}(X,\Omega ^{i})$ (unde este snop de forme i holomorfe ) sunt numerele Hodge , adesea aranjate sub forma unui diamant Hodge $\Omega ^{i)$

		h 0,0
	h 1,0		h 0,1
h 2,0		h 1.1		h 0,2
	h 2.1		h 1.2
		h 2.2

Prin dualitate Serre, h i, j = h 2− i ,2− j , și h 0,0 = h 2,2 = 1. Dacă suprafața este Kähler , atunci h i, j = h j, i , deci există sunt doar 3 numere Hodge independente. Pentru suprafețele complexe compacte h 1,0 este fie h 0,1 , fie h 0,1 − 1. Primul plurigen P 1 este egal cu numerele Hodge h 2,0 = h 0,2 și este uneori numit gen geometric. Numerele Hodge ale unei suprafețe complexe depind doar de inelul de coomologie reală orientată a suprafeței și sunt invariante la transformările biraționale, cu excepția h 1,1 , care crește cu 1 când un punct este aruncat în aer.

Invarianți Hodge legate de numere

Există mulți invarianți care (cel puțin pentru suprafețe complexe) pot fi scrise ca o combinație liniară de numere Hodge, după cum urmează:

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4))$ sunt numerele Betty - . și și . În caracteristica p > 0, numerele Betti (definite prin coomologie l-adic ) nu trebuie să fie legate în acest fel de numerele Hodge. $b_{i}=dim(H_{i}(S))$ $b_{0}=b_{4}=1$ $b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2)$ $b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}$
${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4))$ este caracteristica lui Euler sau numărul lui Euler .
q este neregularitatea , dimensiunea grupului Picard și dimensiunea varietății albaneze , care pentru suprafețe complexe (dar nu întotdeauna pentru suprafețe cu caracteristică pozitivă) sunt egale cu h 0,1 .
$p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1)$ este un gen geometric .
$p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1)$ este genul aritmetic .
$\chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1$ este caracteristica holomorfă Euler a mănunchiului trivial. (De obicei este diferit de numărul Euler e descris mai sus.) Prin formula lui Noether , acest număr este, de asemenea, egal cu genul lui Todd ( ) ${\tfrac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}$
$\tau$ este semnătura (a celui de-al doilea grup de coomologie pentru suprafețe complexe) și este egală cu , care este egal cu . $4\chi-e$ $\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}$
${\displaystyle b^{+))$ și sunt dimensiunile subspațiilor definite maxime pozitive și negative ale , astfel încât și . $b^{-}$ $H^2$ ${\displaystyle b^{+}+b^{-}=b_{2))$ $b^{+}-b^{-}=\tau$
$c_{2}=e$ și sunt numerele Zhen definite ca integrale ale diferitelor polinoame din clasele Zhen peste varietate. $c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e$

Pentru suprafețele complexe, invarianții de mai sus, definiți în termeni de numere Hodge, depind doar de varietatea topologică orientată subiacentă.

Alte invariante

Există și alte invariante ale suprafețelor complexe compacte care nu sunt utilizate atât de activ în clasificare. Aceasta include invarianți algebrici precum grupul Picard Pic( X ), factorul său este grupul Néron-Severi NS( X ) cu rang (număr Picard) ρ, invarianți topologici precum grupul fundamental , și grupuri întregi de omologie și coomologie și invarianți ai varietăților bidimensionale netede subiacente, cum ar fi invarianții Seiberg-Witten și invarianții Donaldson . $\pi_{1}$

Modele minime și explozie

Orice suprafață este echivalentă birațional cu o suprafață nesingulară, așa că în cele mai multe cazuri este suficientă clasificarea suprafețelor nesingulare.

Având în vedere orice punct de pe suprafață, putem forma o nouă suprafață explodând acel punct, ceea ce înseamnă aproximativ că înlocuim punctul cu o linie proiectivă. În acest articol, o suprafață nesingulară X va fi numită minimă dacă nu poate fi obținută de la o altă suprafață nesingulară prin aruncarea în aer a unui punct. Prin teorema de contracție a lui Castelnuovo, aceasta este echivalentă cu proprietatea că X nu conține curbe (−1) (curbe raționale netede cu indice de auto-intersecție −1). (În terminologia mai modernă a programului de model minimal, se spune că o suprafață proiectivă netedă X este minimă dacă pachetul său de linii canonice K X este un mănunchi nef . O suprafață proiectivă netedă are un model minim în acest sens strict dacă și numai dacă dimensiunea Kodaira este nenegativă.)

Orice suprafață X este echivalentă birațional cu o suprafață nesingulară minimă, iar această suprafață minimă este unică dacă dimensiunea Kodaira a lui X este cel puțin 0 sau suprafața nu este algebrică. Suprafețele algebrice cu dimensiunea Kodaira pot fi echivalente birațional cu mai mult de o suprafață minimă nesingulară, dar este ușor de descris relația dintre aceste suprafețe minime. De exemplu, o suprafață aruncată în aer într-un punct este izomorfă până la aruncată în aer de două ori. Așadar, pentru a clasifica toate suprafețele complexe compacte până la izomorfismul birațional (mai mult sau mai puțin), este suficient să clasificăm suprafețele nesingulare minime. $-\infty$ $\mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1)$ $\mathbf {P} ^{2)$

Suprafețele dimensiunii Kodaira −∞

Suprafețele algebrice de dimensiune Kodaira pot fi clasificate după cum urmează. Dacă q > 0, atunci fibrele mapării la o varietate albaneză sunt linii proiective (dacă suprafața este minimă), deci suprafața este reglată. Dacă q = 0, acest argument eșuează, deoarece varietatea albaneză este un punct, caz în care teorema lui Castelnuovo implică faptul că suprafața este rațională. $-\infty$

Pentru suprafețele non-algebrice, Kodaira a găsit o clasă suplimentară de suprafețe numită tip VII, care rămâne neînțeleasă bine.

Suprafețe raționale

O suprafață rațională este o suprafață care este echivalentă birațional cu planul proiectiv complex P 2 . Toate sunt algebrice. Suprafețele raționale minime sunt suprafețele P 2 în sine și suprafețele Hirzebruch pentru n = 0 sau . (O suprafață Hirzebruch este un -mănunchi peste , asociat cu snopul O(0)+O(n). Suprafața este izomorfă cu , dar este izomorfă cu explozia lui P 2 într-un punct, deci nu este minimă .) $\Sigma _{n}$ $n \geqslant 2$ $\Sigma _{n}$ $\mathbf {P} ^{1}$ $\mathbf {P} ^{1}$ $\Sigma _{0)$ $\mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1)$ $\Sigma_1$

Invarianți: Plurirods sunt toate egale cu 0, grupul fundamental este trivial.

Rhombus Hodge:

		unu
	0		0
0		unu		0	(plan proiectiv)
	0		0
		unu

		unu
	0		0
0		2		0	(suprafața Hirzebruch)
	0		0
		unu

Exemple: P 2 , P 1 × P 1 = Σ 0 , suprafețe Hirzebruch Σ n , cvadrici , suprafețe cubice , suprafețe del Pezzo , suprafață Veronese . Multe dintre aceste exemple nu sunt minime.

Suprafețele rigle ale genului > 0

Suprafețele rigle ale genului g au un morfism neted într-o curbă a genului g ale cărei fibre sunt liniile P 1 . Toate aceste suprafețe sunt algebrice. (Suprafețele din genul 0 sunt suprafețe Hirzebruch și sunt raționale). Orice suprafață reglată este echivalentă birațional pentru o singură curbă C , deci clasificarea suprafețelor reglate, până la echivalența birațională, este în esență aceeași cu clasificarea curbelor. O suprafață riglată care nu este izomorfă are un singur generator ( are două). $\mathbf {P} ^{1}\times C$ $\mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1)$ $\mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1)$

Invarianți: Toate plurirods sunt 0.

Rhombus Hodge:

		unu
	g		g
0		2		0
	g		g
		unu

Exemple: produsul oricărei curbe a genului > 0 cu P 1 .

Suprafețe clasa a VII-a

Aceste suprafețe nu sunt niciodată algebrice sau Kähler . Suprafețele minime cu b 2 =0 sunt clasificate de Bogomolov și sunt fie suprafețe Hopf , fie suprafețe Inoue . Exemple cu un al doilea număr Betti pozitiv sunt suprafețele Inoue-Hirzebruch , suprafețele Enoki și, mai general, suprafețele Kato . Din conjectura globală a învelișului sferic rezultă că toate suprafețele minime din clasa VII cu un al doilea număr Betti pozitiv sunt suprafețe Kato.

Invarianți: q =1, h 1,0 = 0. Toți plurigenii sunt egali cu 0.

Rhombus Hodge:

		unu
	0		unu
0		b 2		0
	unu		0
		unu

Suprafețele Kodaira dimensiunea 0

Aceste suprafețe sunt clasificate după formula lui Noether . Pentru dimensiunea Kodaira 0 , K are un indice de auto-intersecție zero , deci . Folosind expresiile și , obținem $12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}$ $c_{1}^{2}=0$ $\chi =h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}$ $c_{2}=2-2b_{1}+b_{2}$

10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}+b_{2}\right)

Mai mult, din moment ce avem $\kappa =0$

h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&K\neq 0\end{cases}}

Combinând ultima expresie cu cea anterioară, obținem

8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}+b_{2}\right)={\begin{cases}10&K=0\\22&K\neq 0\end{cazuri}}

În general , cei trei termeni din stânga sunt numere întregi nenegative, deci există doar câteva soluții pentru această ecuație. Pentru suprafețele algebrice este un întreg par între 0 și 2 p g , în timp ce pentru suprafețele complexe compacte valoarea este 0 sau 1 și este 0 pentru suprafețele Kähler . Pentru suprafețele Kähler avem . $2h^{0,1}\geqslant b_{1}$ $2h^{0,1}-b_{1)$ $h^{1,0}=h^{0,1}$

Majoritatea soluțiilor la aceste condiții corespund claselor de suprafață din tabelul de mai jos.

b 2	b 1	h 0,1	p g = h 0,2	h 1,0	h 1.1	suprafete	câmpuri
22	0	0	unu	0	douăzeci	K3	Orice. Întotdeauna Kählerian peste numere complexe, dar nu neapărat algebric.
zece	0	0	0	0	zece	Suprafata clasica Enriques	Orice. Întotdeauna algebric.
zece	0	unu	unu			Suprafața Enriques neclasică	Doar caracteristicile 2
6	patru	2	unu	2	patru	Suprafeţe abeliene, tori	Orice. Întotdeauna Kählerian peste numere complexe, dar nu neapărat algebric.
2	2	unu	0	unu	2	hipereliptică	Orice. Întotdeauna algebric
2	2	2	unu			Cvasihiperbolice	Doar caracteristicile 2, 3
patru	3	2	unu	unu	2	Suprafața principală a Kodaira	Numai complex, niciodată Kähler
0	unu	unu	0	0	0	Suprafața secundară a Kodaira	Numai complex, niciodată Kähler

Suprafețele K3

Aceste suprafețe sunt suprafețe complexe minime compacte de dimensiunea Kodaira 0 cu q = 0 și un mănunchi de linii canonice trivial. Toți sunt kahlerieni . Toate suprafețele K3 sunt difeomorfe și clasa lor de difeomorfism este un exemplu important de o varietate de 4 netede, simplu conectată, cu o structură de spin.

Invarianți: Al doilea grup de coomologie H 2 ( X , Z ) este izomorf la singura rețea unimodulară par II 3,19 de dimensiunea 22 cu semnătura −16.

Rhombus Hodge:

		unu
	0		0
unu		douăzeci		unu
	0		0
		unu

Exemple :

Cuartice în P 3 ( C )
Suprafețele Kummer . Ele sunt obținute prin factorizarea unei suprafețe abeliene printr-un automorfism a → − a , apoi explodând 16 puncte singulare.

O suprafață marcată cu K3 este o suprafață K3 împreună cu un automorfism de la II 3,19 la H 2 ( X , Z ). Spațiul de module al suprafețelor marcate cu K3 este un spațiu analitic neted non-Hausdorff conectat de dimensiunea 20. Suprafețele algebrice K3 formează un set numărabil de subvarietăți cu 19 dimensiuni ale acestui spațiu.

Suprafețe abeliene și tori complexe bidimensionale

Torii complexe bidimensionale includ suprafețe abeliene . Torii complecși unidimensionali sunt doar curbe eliptice și toți sunt algebrici, dar Riemann a descoperit că cei mai mulți tori complexe de dimensiunea 2 nu sunt algebrici. Tori algebrici sunt exact soiuri abeliene bidimensionale . Cea mai mare parte a teoriei lor este un caz special al teoriei tori de dimensiuni superioare sau a soiurilor abeliene. Criteriul că o varietate este produsul a două curbe eliptice (până la o izogenie ) a fost un subiect popular de studiu în secolul al XIX-lea.

Invarianți: Toți plurigenii sunt egali cu 1. Suprafața este difeomorfă , deci Z 4 este grupul fundamental . $S^{1}\times S^{1}\times S^{1}\times S^{1)$

Rhombus Hodge:

		unu
	2		2
unu		patru		unu
	2		2
		unu

Exemple: produsul a două curbe eliptice. Orice factor C 2 peste rețea.

Suprafețele lui Kodaira

Suprafețele nu sunt niciodată algebrice, deși au funcții meromorfe non-constante. Ele sunt de obicei împărțite în două subtipuri: suprafețe Kodaira de bază cu un mănunchi canonic banal și suprafețe Kodaira secundare , care sunt factori ai primelor în raport cu grupurile finite de ordinul 2, 3, 4 sau 6 și au fascicule canonice netriviale. . Suprafețele Kodaira secundare au aceeași relație cu suprafețele primare ca și suprafețele Enriques cu suprafețele K3, sau suprafețele bieliptice au cu suprafețele abeliene.

Invarianți: Dacă suprafața este un coeficient al suprafeței principale Kodaira într-un grup de ordin k =1,2,3,4,6, atunci plurigenii P n sunt egali cu 1 dacă n este divizibil cu k și 0 în caz contrar.

Rhombus Hodge:

		unu
	unu		2
unu		2		unu	(Principal)
	2		unu
		unu

		unu
	0		unu
0		0		0	(Secundar)
	unu		0
		unu

Exemple: Luați un pachet de linii netriviale peste o curbă eliptică, îndepărtați secțiunea zero, apoi găsiți factorul de strat din grupul Z , acționând ca o înmulțire cu puterile unui număr complex z . Ca rezultat, obținem suprafața principală a Kodaira.

Suprafețele Enriques

Acestea sunt suprafețe complexe pentru care q = 0 și fasciculul de linii canonice este netrivial, dar . Suprafețele Enriques sunt toate algebrice (și, prin urmare, Kähler ). Sunt factori ai suprafeței K3 pe grupe de ordinul 2, iar teoria lor este similară cu teoria suprafețelor algebrice K3. $P_{2}\neq 0$

Invarianți: Plurirods P n sunt 1 dacă n este par și 0 dacă n este impar. Grupul fundamental are ordinul 2. Al doilea grup de coomologie H 2 ( X , Z ) este izomorf la suma singurei rețele unimodulare par II 1,9 de dimensiunea 10 cu semnătura −8 și grupul de ordin 2.

Rhombus Hodge:

		unu
	0		0
0		zece		0
	0		0
		unu

Suprafețele etichetate Enriques formează o familie de 10 dimensiuni conectată, care este descrisă în mod explicit.

Pentru caracteristica 2, există câteva familii suplimentare de suprafețe Enriques, care sunt numite suprafețe Enriques singulare și suprasingulare. Consultați articolul „Enriques surfaces” pentru detalii .

Suprafețe hipereliptice (sau bieliptice)

În câmpul numerelor complexe, aceste suprafețe sunt factori ai produsului a două curbe eliptice în raport cu un grup finit de automorfism. Grupul final poate fi Z /2 Z , Z /2 Z + Z /2 Z , Z /3 Z , Z /3 Z + Z /3 Z , Z /4 Z , Z /4 Z + Z /2 Z sau Z /6 Z , care dă 7 familii de astfel de suprafețe. Deasupra câmpurilor caracteristicii 2 sau 3 există mai multe familii suplimentare obținute ca factori conform schemelor de grup non-eta. Consultați articolul despre suprafețele hipereliptice pentru detalii .

Rhombus Hodge:

		unu
	unu		unu
0		2		0
	unu		unu
		unu

Suprafețele Kodaira dimensiunea 1

O suprafață eliptică este o suprafață înzestrată cu un mănunchi eliptic (o mapare holomorfă surjectivă într-o curbă B astfel încât toate straturile, cu excepția unui număr finit, sunt curbe netede ireductibile ale genului 1). Fibra peste un punct generic dintr-un astfel de pachet este o curbă a genului 1 peste un câmp de funcțiipe B. În schimb, având în vedere o curbă de genul 1 pe un câmp de funcții de pe curbă, modelul său relativ minim este o suprafață eliptică. Kodaira și alții au oferit o descriere destul de completă a tuturor suprafețelor eliptice. În special, Kodaira a oferit o listă completă de posibile straturi speciale . Teoria suprafețelor eliptice este analogă cu teoria modelelor proprii ale curbelor eliptice peste inele de evaluare discrete (adică inelul numerelor întregi p - adice ) și domeniile Dedekind (adică inelul numerelor întregi ale unui câmp numeric).

Pentru caracteristicile finite 2 și 3 se pot obține suprafețe cvasi -eliptice , aproape toate fibrele cărora pot fi curbe raționale cu un singur nod, „curbe eliptice degenerate”.

Orice suprafață cu dimensiunea Kodaira 1 este eliptică (sau cvasi-eliptică în cazul caracteristicilor 2 și 3), dar invers nu este adevărat - o suprafață eliptică poate avea dimensiunile Kodaira 0 sau 1. $-\infty$

Toate suprafețele Enriques , toate suprafețele hipereliptice , toate suprafețele Kodaira , unele suprafețe K3 , unele suprafețe abeliene și unele suprafețe raționale sunt eliptice, în aceste exemple au dimensiunea Kodaira mai mică de 1.

O suprafață eliptică a cărei curbă de bază B are genul cel puțin 2 are întotdeauna dimensiunea Kodaira 1, dar dimensiunea Kodaira poate fi 1 și pentru unele suprafețe eliptice cu curba B de genul 0 sau 1.

Invariante: . $c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0$

Exemplu: Dacă E este o curbă eliptică și B este o curbă de gen cel puțin 2, atunci este și o suprafață eliptică cu dimensiunea Kodaira 1. $E\time B$

Suprafețele Kodaira dimensiunea 2 (suprafețe de tip general)

Toate sunt algebrice și, într-un anumit sens, majoritatea suprafețelor sunt în această clasă. Gieseker a arătat că există o schemă brută de module pentru suprafețele de tip general. Aceasta înseamnă că pentru orice valoare fixă a numerelor Chern , există o schemă cvasi-proiectivă care clasifică suprafețele de tip general cu aceste numere Chern. Cu toate acestea, sarcina de a descrie în mod explicit aceste circuite este foarte dificilă și există foarte puține perechi de numere Chern pentru care s-a făcut acest lucru (cu excepția cazului în care circuitul este gol). $c_{1}^{2}$ $c_{2}$

Invarianți: Există câteva condiții pe care numerele Chern ale unei suprafețe complexe minime de tip general trebuie să le îndeplinească:

$c_{1}^{2}>0,c_{2}>0$
$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$ ( inegalitatea Bogomolov-Miaoki-Yau )
$5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0$ (inegalitatea lui Noether)
$c_{1}^{2}+c_{2}$ este divizibil cu 12.

Majoritatea perechilor de numere întregi care îndeplinesc aceste condiții sunt numere Chern pentru o suprafață complexă de tip general.

Exemple: Cele mai simple exemple sunt produsul a două curbe de gen cel puțin 2 și o hipersuprafață de gradul cel puțin 5 în P 3 . Sunt cunoscute un număr mare de alte structuri. Cu toate acestea, nu se cunoaște nicio construcție care să ofere o suprafață „tipică” de tip general pentru numere mari Chern. De fapt, nici nu se știe dacă există o noțiune acceptabilă de suprafață „tipică” de tip general. Au fost găsite multe alte exemple, inclusiv cele mai multe suprafețe Hilbert modulare , planuri proiective false , suprafețe Barlow și așa mai departe.

Literatură

Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Suprafețe compacte și complexe. - Springer-Verlag, Berlin, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Arnaud Beauville . Suprafețe algebrice complexe. — al 2-lea. - Cambridge University Press , 1996. - V. 34. - (London Mathematical Society Student Textes). - ISBN 978-0-521-49510-3 .
Enrico Bombieri , David Mumford . Clasificarea suprafețelor de către Enriques în char. p. II // Analiză complexă și geometrie algebrică. - Tokyo: Iwanami Shoten, 1977. - S. 23-42.
Enrico Bombieri , David Mumford . Clasificarea suprafețelor de către Enriques în char. p. III. // Inventiones Mathematicae . - 1976. - T. 35 . — S. 197–232 . - doi : 10.1007/BF01390138 .
Enriques F. Sulla classificazione delle superficie algebriche e particolarmente sulle superficie di genere p 1 =1 // Atti. conform Lincei V Ser.. - 1914. - T. 23 .
Federigo Enriques. Le Superficie Algebriche. - Nicola Zanichelli, Bologna, 1949.
Kunihiko Kodaira. Despre structura suprafețelor analitice complexe compacte. I // Jurnalul American de Matematică . - 1964. - T. 86 . — S. 751–798 . - doi : 10.2307/2373157 . — .
Kunihiko Kodaira. Despre structura suprafețelor analitice complexe compacte. II // Jurnalul American de Matematică . - 1966. - T. 88 . — S. 682–721 . - doi : 10.2307/2373150 . — .
Kunihiko Kodaira. Despre structura suprafețelor analitice complexe compacte. III // Jurnalul American de Matematică . - 1968. - T. 90 . — p. 55–83 . - doi : 10.2307/2373426 . — .
Kunihiko Kodaira. Despre structura suprafețelor analitice complexe. IV // Jurnalul American de Matematică . - 1968. - T. 90 . — S. 1048–1066 . - doi : 10.2307/2373289 . — .
David Mumford . Clasificarea suprafețelor de către Enriques în char p I // Global Analysis (Lucrări în onoarea lui K. Kodaira). Tokyo: Univ. Tokyo Press, 1969, p. 325–339.
Miles Reid . Capitole despre suprafețe algebrice // Geometrie algebrică complexă (Park City, UT, 1993). - Providence, RI: Societatea Americană de Matematică , 1997. - V. 3. - P. 3-159. — (IAS/Park City Math. Ser.).
Shafarevich IR, Averbuh BG, Vaĭnberg Ju. R., Zhizhchenko AB, Manin Ju. I., Moĭ\vsezon BG, Tjurina GN, Tjurin AN Suprafeţe algebrice. — Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - Providence, RI: Societatea Americană de Matematică , 1967. - V. 75. - P. 1-215. — ISBN 978-0-8218-1875-6 .
Shafarevich I. R., Averbukh B. G., Weinberg Yu. R., Zhizhchenko A. B., Manin Yu. I., Moishezon B. G., Tyurina G. N., Tyurin A. N. Suprafețe algebrice. - 1965. - T. 75. - S. 3-215. - (Tr. MIAN URSS).
Antonius Van de Ven. Despre clasificarea Enriques a suprafețelor algebrice // Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77) . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1978. - T. 677. - S. 237-251. — (Note de curs la matematică).