Gradul al patrulea (algebră)

Puterea a patra a unui număr ( ​​) este un număr egal cu produsul a patru numere identice [1] .

Gradul al patrulea al unui număr este adesea numit biquadrate [2] , din altă greacă. δίς , ( bis ), „de două ori”, deoarece este produsul a două pătrate și, de asemenea, pătratul unui pătrat:

Proprietăți

Puterea a patra a unui număr real , precum pătratul unui număr, ia întotdeauna valori nenegative [3] .

Operația inversă ridicării la puterea a patra este extragerea rădăcinii gradului al patrulea [4] .

O ecuație de gradul al patrulea , spre deosebire de o ecuație de gradul al cincilea , poate fi întotdeauna rezolvată scriind răspunsul în radicali ( teorema lui Abel [5] , metoda lui Ferrari [5] ).

Numere bispătrate

Definiție

A patra putere a numerelor naturale este adesea numită numere biquadratice sau hipercubice (cel din urmă termen poate fi aplicat și puterilor mai mari decât a patra). Numerele bispătrate sunt o clasă de numere figurative care reprezintă cuburi cu patru dimensiuni ( teseract ). Numerele bispătrate sunt o generalizare în patru dimensiuni a numerelor pătrate plate și spațiale cubice [6] .

Începutul unei secvențe de numere bi-pătrate:

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ... (secvența A000583 în OEIS ).

Formula generală pentru al n-lea număr bi-pătrat este:

Din formula binomială a lui Newton :

este ușor de derivat formula recursivă [6] :

Proprietățile numerelor biquadratice

Ultima cifră a unui număr bi-pătrat poate fi doar 0 (de fapt 0000), 1, 5 (de fapt 0625) sau 6.

Orice număr biquadratic este egal cu suma primelor „ numere rombo-dodecaedrice ” [7] de forma [8] .

Fiecare număr natural poate fi reprezentat ca o sumă de cel mult 19 numere bi-pătrate [9] . Maximul indicat (19) este atins pentru numărul 79:

Fiecare număr întreg mai mare de 13792 poate fi reprezentat ca suma a cel mult 16 numere bi-pătrate (vezi problema lui Waring ).

Conform ultimei teoreme a lui Fermat , suma a două numere bi-pătrat nu poate fi un număr bi-pătrat [10] . Conjectura lui Euler a afirmat că, de asemenea, suma a trei numere bi-pătrat nu poate fi un număr bi-pătrat; în 1986, Noam Elkis a găsit primul contraexemplu care respinge această afirmație [11] :

Note

  1. ↑ Licență // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5. - S. 221.
  2. ↑ Cernîșev V.I. Dicționar al limbii literare ruse moderne: A-B. M .: Institutul Limbii Ruse al Academiei de Științe a URSS, 1950, p. 451.
  3. ↑ Stephen Wolfram, Wolfram Alpha LLC. Wolfram|Alpha  (engleză) . www.wolframalpha.com . Data accesului: 4 aprilie 2021.
  4. ↑ Rădăcină // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
  5. ↑ 1 2 Rybnikov K. A. Istoria matematicii . - Editura Universității din Moscova, 1963. - 346 p.
  6. ↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 131-132.
  7. ^ Weisstein, Eric W. Rhombic Dodecahedral Number pe site- ul Wolfram MathWorld .  
  8. ↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 132.
  9. ^ Weisstein , Eric W. Waring's Problem  pe site-ul Wolfram MathWorld .
  10. ↑ Teorema lui Fermat // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5.
  11. ↑ Noam Elkies . Pe A 4 + B 4 + C 4 = D 4  // Matematica calculului [  . - 1988. - Vol. 51 , nr. 184 . - P. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .

Literatură

Link -uri