Quaternion Hurwitz

În matematică , cuaternionul Hurwitz (sau întregul Hurwitz ) este un cuaternion ale cărui componente sunt fie toate numerele întregi , fie toate jumătăți - întregi (jumătăți de numere impare; nu este permis un amestec de numere întregi și jumătate de numere întregi). Setul tuturor cuaternioanelor Hurwitz

Se poate arăta că H este închis la înmulțire și adunare, făcându-l un subinel al inelului tuturor cuaternionilor.

Quaternionul Lipschitz (sau Lipschitz Integer ) este un cuaternion ale cărui componente sunt toate numere întregi . Setul tuturor cuaternioanelor Lipschitz

formează un subinel în inelul cuaternionului Hurwitz H .

Ca grup, H este un grup abelian liber cu generatori {1(1+ i + j + k ), i , j , k }. El formează astfel o rețea în R4 . Această rețea este cunoscută ca rețea F 4 deoarece este rețeaua rădăcină a semisimplei algebrei Lie F 4 . Cuaternionul Lipschitz L formează o subrețea în H .

Grupul de unități din L formează grupul de cuaternioni Q = {±1, ± i , ± j , ± k }. Grupul de unități din H nu este abelian și formează un grup de ordinul 24, cunoscut sub numele de grup tetraedric binar . Acest grup include 8 elemente Q și 16 cuaternioni {½(±1± i ± j ± k )}, unde semnele sunt luate în orice combinație. Grupul de cuaternion este un subgrup normal al grupului binar al tetraedrului U ( H ). Elementele lui U ( H ), având norma 1, formează vârfurile unui 24-edru înscris într-o 3-sferă .

Norma cuaternionului Hurwitz dată de formulă este întotdeauna un număr întreg. Conform teoremei lui Lagrange, orice număr întreg nenegativ poate fi reprezentat ca suma a patru (sau mai puțin) pătrate de numere întregi. Astfel, orice număr întreg nenegativ este norma unui cuaternion Lipschitz (sau Hurwitz). Un întreg Hurwitz este un element prim dacă și numai dacă norma sa este primă .

Vezi și

Link -uri