Metoda covariantă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 16 iunie 2011; verificările necesită 8 modificări .

Metoda covariantă este o abordare în fizica teoretică dezvoltată de F. I. Fedorov bazată pe algebră liniară și calcul tensor direct . Ea a devenit larg răspândită în aplicarea la descrierea fenomenelor optice și, parțial, în fizica particulelor elementare.

Esența metodei

Metoda covariantă este o formulare matematică concisă a teoriilor fizice folosind algebra tensorială. Principalele domenii de aplicare ale metodei sunt optica teoretică și acustica . Metoda covariantei simplifică foarte mult expresiile greoaie care apar la descrierea propagării câmpurilor în medii complexe ( anizotrope , girotrope , bianizotrope ). Cu ajutorul acestei metode, este introdusă o parametrizare vectorială a grupului Lorentz , convenabilă în aplicații, care poate fi aplicată în continuare în teoria particulelor elementare .

În general, câmpurile electromagnetice și acustice sunt descrise prin vectori . Dacă spațiul în care se propagă unda are simetrie , atunci vectorul câmpului și tensorii care descriu mediul pot fi specificați prin componentele lor într-un sistem de coordonate , în concordanță cu simetria sistemului, care este de obicei folosită în optică și acustică. Cu toate acestea, vectorii și tensorii pot fi scrieți fără a ține cont de sistemul de coordonate, pur și simplu ca obiecte geometrice, care este ceea ce este folosit în metoda covarianților. Din acest motiv, metoda covariantei se mai numește și fără coordonate (la rezolvarea problemei, nu este specificat un anumit sistem de coordonate ). Descrierea propagării undelor într-un cristal se reduce la efectuarea de operații pe tensori și vectori , pentru care s-au dezvoltat metode care simplifică lucrul cu tensori și folosesc în mod explicit invarianții acestora (în spațiul tridimensional pentru tensorii de a doua valență, aceștia sunt urmă , determinantul tensorului și determinantul tensorului reciproc ). Simetriile cristalului în această abordare sunt exprimate ca anumite relații între invarianți, iar tensorii care descriu cristalul au expresii convenabile.

Tipuri de tensori

Principalele tipuri de tensori ai spațiului tridimensional utilizați în metoda covarianților sunt

este tensorul unitar , ${\textbf {1}}$

— operator de proiecție pe direcția vectorului unitar — diada , ${\textbf {n)}$ ${\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}$

este un operator de proiecție pe un plan ortogonal cu vectorul unitar , $I={\textbf {1}}-{\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}=-{\mathbf {n} ^{\times }}^{2}$ ${\textbf {n)}$

este tensorul dual cu vectorul : . ${\textbf {n}}^{\times }$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {n} _{ij}^{\times}=\epsilon _{ilj}n_{l)$

Cristalele optice pot fi izotrope , uniaxiale sau biaxiale . Anizotropia cristalelor este determinată de tensorul de permitivitate , care poate fi reprezentat sub formă axială:

1. mediu izotrop , $\varepsilon =\varepsilon {\textbf {1})$

2. cristal uniaxial (vectorul stabilește direcția axei optice ), $\varepsilon =\varepsilon _{1}{\textbf {1}}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}) {\textbf {c}}\otimes {\textbf {c} }$ ${\textbf {c))$

3. cristal biaxial . $\varepsilon =a{\textbf {1}}+b({\textbf {c}}'\otimes {\textbf {c}}''+{\textbf {c}}''\otimes {\ textbf{c}}')$

Vectorii care definesc direcțiile axelor optice sunt complet determinați în ceea ce privește valorile proprii și axele principale ale tensorilor corespunzători [1], [3], [4].

Parametrizare vectorială a grupului Lorentz

Grupul general Lorentz poate fi reprezentat ca un grup de transformări ale formei ${\textbf {}}L$

$L=\left({\begin{array}{cc}\alpha &i{\textbf {u}}\\i{\textbf {v}}&k\end{array}}\right)$ ,

satisfacerea conditiilor , . Matricea Lorentz poate fi parametrizată de un vector complex tridimensional și are forma ${\textbf {}}(\det L)^{2}=1$ ${\textbf {}}LL^{T}=L^{T}L=1$ ${\textbf {}}L$ ${\textbf {q)}$

$L={\frac {(1+{\textbf {q}}_{+})(1+{\textbf {q}}_{-}^{\ast })}{|1+{ \textbf {q}}^{2}|}}$ ,

unde și sunt matrici antisimetrice cu patru dimensiuni , care sunt atribuite vectorului tridimensional complex . Matricele de mai sus sunt determinate de vector și respectiv de vectorul său complex conjugat și sunt egale cu ${\textbf {q}}_{+}$ ${\textbf {q}}_{-}^{\ast }$ ${\textbf {q)}$ ${\textbf {q)}$ ${\textbf {q}}^{\ast }$

${\textbf {q}}_{+}=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\times }&{\textbf {q}}\\- {\textbf {q}}&0\end{array}}\right),\qquad {\textbf {q}}_{-}^{\ast }=\left({\begin{array}{cc}{ \textbf {q}}^{\ast \times }&-{\textbf {q}}^{\ast }\\{\textbf {q}}^{\ast }&0\end{array}}\right )$ .

Pentru parametrii vectoriali ai grupului Lorentz este valabilă următoarea lege de compoziție

${\textbf {q}}''={\frac ({\textbf {q}}+{\textbf {q}}'+{\textbf {q}}\times {\textbf {q}} „}{1-{\textbf {q}}{\textbf {q}}'}}$ .

Parametrizarea vectorială poate fi introdusă și pentru grupul de rotație , iar în acest caz parametrii vectoriali vor aparține spațiului real tridimensional, iar legea compoziției lor va fi aceeași.

Aplicarea metodei

Metoda covariantă vă permite să efectuați calcule cu vectori și tensori în forma lor directă, fără a apela la notația de index. În acest caz, se realizează compactitatea și simplitatea expresiilor rezultate.

De exemplu, criteriile de polarizare au următoarea formă:

$\mathbf {E} ^{2}=0$ - polarizare circulară

$[\mathbf {E} ,\mathbf {E} ^{*}]=0$ - polarizare liniară

Există mai multe variante ale criteriului de polarizare circulară și liniară [3]. Dacă niciunul dintre criteriile de mai sus nu este îndeplinit, avem de-a face cu cazul general al polarizării eliptice, iar dimensiunile și orientarea axelor elipsei de polarizare se află într-o formă mult mai compactă decât se realizează în sistemul de coordonate carteziene. 7].

Suplimente

Angajații Departamentului de Fizică Teoretică a Universității de Stat din Belarus sunt angajați în generalizarea metodei covariante. O astfel de metodă generalizată a fost numită operator [6], deoarece se bazează pe aplicarea operatorilor de evoluție care conectează câmpuri în două puncte din spațiu. Metoda operatorului este aplicabilă pentru a descrie sisteme stratificate (inclusiv cele cu simetrie cilindrică și sferică ).
Metoda covariantă a fost folosită cu succes nu numai în lucrările fizicienilor belarusi, ci și în studiile angajaților Institutului de Cristalografie al Academiei de Științe a URSS [1] [2] .

Vezi și

Forme diferențiale în electromagnetism

Note

↑ Yu.I. Sirotin, M.P. Shaskolskaya. Fundamentele fizicii cristalelor. - M.: Nauka, 1975.
↑ A.F. Konstantinova, B.N. Grechushnikov, B.V. Bokut, E.G. Valyashko. Proprietățile optice ale cristalelor. - Minsk: Știință și tehnologie, 1995.

Literatură

[1] F.I. Fedorov. Optica mediilor anizotrope. - Minsk: de la Academia de Științe a BSSR, 1958; a 2-a ed. M.: URSS, 2004.
[2] F.I. Fedorov. Teoria undelor elastice în cristale. - M.: Nauka, 1965; New York: Plenum Press, 1968.
[3] F.I. Fedorov. Teoria girotropiei. - Minsk: Știință și tehnologie, 1976.
[4] F.I. Fedorov, V.V. Filippov. Reflexia și refracția luminii prin cristale transparente. - Minsk: Știință și tehnologie, 1976.
[5] F.I. Fedorov. grupul Lorentz. - M.: Nauka, 1979; a 2-a ed. M.: URSS, 2003.
[6] L.M. Barkovsky, A.N. Blanuri. Metode operator pentru descrierea câmpurilor optice în medii complexe. - Minsk: Știința belarusă, 2003.
[7] M. Born, E. Wolf Fundamentele opticii
[8] IS Res. Plagiat fără exemplu în teoria undelor electromagnetice. - Cristal. Res. Technol., 1988, voi. 23, nr. 4, K77-K79.