Comutator

Un comutator într -o algebră generală este un subsistem de algebre care conține o structură de grup ( subgrup , subring , în cel mai general caz, un subgrup al unui grup multioperator ), care arată gradul de necomutativitate al unei operații de grup.

Comutatorul grupului este cel mai mic subgrup normal astfel încât câtul din acesta este un grup abelian . Comutatorul inelului este idealul generat de toate produsele posibile ale elementelor.

Comutatorul grupului multioperator

Comutatorul este definit cel mai universal pentru grupul multioperator . Comutatorul unei algebre multioperator este idealul său generat de comutatoarele săi, adică elemente de forma: ${\mathfrak G}=(G,+,-,0,\Sigma )$

[g_{1},g_{2}]=-g_{1}-g_{2}+g_{1}+g_{2}

precum și elementele:

-\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})-\sigma (h_{1},\dots ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\dots ,g_{n}+h_{n})

pentru fiecare operațiune -ary din semnătura suplimentară a grupului multi-operator. $n$ $\sigma \in \Sigma$

Comutator de grup

Comutatorul unui grup [1] ( un grup derivat sau al doilea membru al rândului central inferior al unui grup ) este un subgrup generat de mulțimea tuturor produselor posibile ale unui număr finit de comutatoare ale perechilor de elemente ale unui grup . Următoarea notație este utilizată pentru subgrupul derivat al grupului : , . (În același timp, comutatoarele sunt scrise diferit în surse diferite: apare (în notația multiplicativă) atât și ). $G$ ${\displaystyle \{[g_{1},g_{2}]\mid g_{1},g_{2}\in G\))$ $G$ $G$ $[G,G],\;G',\;T_{2}(G)$ $KG)$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}g_{2}g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}g_{1}g_{2}$

Subgrupul de comutator al unui grup este un subgrup complet caracteristic , iar orice subgrup care conține subgrupul de comutator este normal .

Rangurile comutatorului

Construcția comutatorului poate fi repetată:

G^{{(0)}}:=G

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

pentru .

n\in \mathbb {N}

Grupurile , , ... se numesc al doilea grup derivat , al treilea grup derivat și așa mai departe. Rând descendent de grupuri: $G^{(2)}$ $G^{(3)}$

G=G^{{(0)}}\vartriangleright G^{{(1)}}\vartriangleright G^{{(2)}}\vartriangleright \ldots

se numește serie derivată , sau serie de comutatoare [2] .

Pentru un grup finit, seria derivată se stabilizează mai devreme sau mai târziu pe un grup al cărui comutator coincide cu el însuși . Dacă acest grup este trivial , se spune că grupul original este rezolvabil . Pentru un grup infinit, seria derivată nu se stabilizează neapărat într-un număr finit de pași, dar poate fi extinsă folosind inducția transfinită , obținându-se o serie derivată transfinită , care mai devreme sau mai târziu va duce la un grup perfect. $G$

Abelizare

Un grup de coeficient în raport cu un subgrup normal este abelian dacă și numai dacă acest subgrup conține subgrupul comutator al grupului. Factorizarea unui grup prin comutatorul său se numește abelizare și se notează prin sau sau . $G$ $G_{{ab}}$ $G^{{ab}}$ $\operatorname {Ab}(G)$

Există o interpretare categorică a cartografierii . Și anume, este universal în ceea ce privește toate homomorfismele de la un grup abelian: pentru orice astfel de homomorfism există un homomorfism unic astfel încât . În mod echivalent, un functor de uitare din categoria grupurilor abeliene în categoria tuturor grupurilor are un adjunct stâng , functorul de abelizare, care atribuie unui grup câtul său prin comutator și acționează asupra morfismelor într-un mod evident. $\varphi :G\to G^{{ab}}$ $\varphi$ $G$ $f:G\la H$ $F:G^{{ab}}\la H$ $f=F\circ \varphi$

Abelizarea unui grup poate fi calculată ca prima omologie de grup întreg : . $G$ $G_{{ab}}=H_{1}(G,{\mathbb {Z}})$

Teorema lui Gurevich în topologia algebrică afirmă că pentru un complex CW conectat . Astfel, teoria omologiei în topologie poate fi văzută ca o abelizare a teoriei homotopiei . Această afirmație poate fi făcută exactă ( teorema Dold-Thomas ). $H_{1}(X)=\pi _{1}(X)_{{ab}}$

Comutator reciproc

Comutatorul reciproc de submulțimi ale suportului unui grup este subgrupul generat de toți comutatoarele de forma . Subgrupul de comutator reciproc al subgrupurilor normale este un subgrup normal. $L,M$ $G$ $[L,M]$ $[l,m]:l\în L,m\în M$

Pentru elementele arbitrare ale grupului , următoarea relație este valabilă: $g\în G$

g[L,M]g^{{-1}}=[gLg^{{-1}},gMg^{{-1}}]

Comutatorul inelului

Comutatorul inelului (și pătratul inelului ) [3] este idealul generat de toate produsele: , notat cu sau . O astfel de simplificare în comparație cu definiția universală a comutatorului apare din cauza comutativității grupului aditiv al inelului - comutatorul elementelor dispare întotdeauna, iar condiția privind semnătura suplimentară (înmulțirea inelului) este exprimată prin necesitatea de a include toate elementele de forma următoare din setul generator: $R$ $\{ab\mid a,b\in R\}$ $[R,R]$ $R^2$ $r_{1},r_{2}\în R$

-r_{1}r_{2} -s_{1}s_{2}+(r_{1}+s_{1})(r_{2}+s_{2})=r_{1}s_ {2}+r_{2}s_{1}

Note

↑ În engleză, comutatorul unui grup se numește „subgrup de comutator” – ing. subgrup de comutator , deci poate exista confuzie cu noțiunea de comutator membru al grupului .
↑ Această construcție nu trebuie confundată cu rândul central de jos al grupului , care este definit ca , nu $G_{n}:=[G_{{n-1}},G]$ $G^{{(n)}}:=[G^{{(n-1)}},G^{{(n-1)}}]$
↑ În teoria inelelor , o altă combinație se numește comutator de elemente: , iar un ideal de comutator este un ideal (inele, algebre) generat de toate comutatoarele; în literatură, uneori un astfel de ideal de comutator este numit și comutatorul unui inel (algebră). $[a,b]=ab-ba$

Literatură

A. G. Kurosh . Grupuri cu multioperatori // Prelegeri de algebră generală. - Ed. a II-a - M . : Nauka, 1973. - S. 114-124. — 400 s. — 30.000 de exemplare.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Fundamentele teoriei grupurilor. - a 5-a ed. - Lan, 2009. - 288 p. — ISBN 978-5-8114-0894-8 .
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Capitolul II. Grupuri // Algebră generală / Sub general. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 p. — (Bibliotecă matematică de referință). — 30.000 de exemplare. — ISBN 5-02-014426-6 .
I. M. Vinogradov. Commutant // Enciclopedia matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)