Sfârșitul spațiului topologic

Sfârșitul unui spațiu topologic este, în linii mari, o componentă conexă a „graniței sale ideale”. Adică, fiecare capăt este o modalitate de a te deplasa către infinit în spațiu.

Adăugarea unui punct la fiecare capăt are ca rezultat o compactare a spațiului original, cunoscută sub numele de compactificare finită .

Definiție

Fie X un spațiu topologic și fie

K_{1}\subset K_{2}\subset \dots

este o succesiune crescătoare de submulțimi compacte în X ale căror interioare acoperă X . Atunci X are un capăt pentru fiecare secvență

U_{1}\supset U_{2}\supset \dots

unde fiecare U n este o componentă conexă a complementului X \ K n .

Este ușor de demonstrat că numărul de capete nu depinde de o anumită secvență { K n } de mulțimi compacte.

Exemple

Spațiul compact nu are sfârșit.
O linie reală are două capete, ∞ și −∞. $\scriptstyle \mathbb {R}$
Spațiul euclidian pentru n > 1 are un singur capăt. Acest lucru se datorează faptului că există o singură componentă nemărginită pentru orice mulțime compactă K . $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K$
- Mai mult, dacă M este o varietate compactă cu graniță , atunci numărul de capete ale interiorului său este egal cu numărul de componente conexe ale graniței lui M .
Unirea a n raze emanate de la origine la are n capete. $\scriptstyle \mathbb {R} ^{2)$
Un arbore binar complet infinit are un număr nenumărat de capete. Aceste capete pot fi văzute ca „coroana” unui copac infinit. Într-o compactare finită, mulțimea de capete este homeomorfă cu mulțimea Cantor .

Istorie

Conceptul de sfârșit al spațiului topologic a fost introdus de Hans Freudenthal în 1931.

Variații și generalizări

Definiția unui capăt dată mai sus se aplică numai spațiilor X care pot fi epuizate prin compacte. Totuși, poate fi generalizat după cum urmează: fie X orice spațiu topologic, considerăm un sistem direct { K } de submulțimi compacte în X cu mapări de incluziune. Se consideră sistemul invers corespunzător de componente conexe ale complementelor { π 0 ( X \ K )}. Apoi , mulțimea de capete în X este definită ca limita inversă a acestui sistem invers.

Link -uri

Diesel, Reinhard & Kühn, Daniela (2003), Graph-theoretical versus topological ends of graphs , Journal of Combinatorial Theory , Seria B vol. 87 (1): 197–206 , DOI 10.1016/S0095-8956(02)00034-5 .
Freudenthal, Hans (1931), Über die Enden topologischer Räume und Gruppen , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) . — T. 33: 692–713, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01174375
Ross Geoghegan, Metode topologice în teoria grupurilor , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 .
Peter Scott, Terry Wall, Metode topologice în teoria grupurilor , London Math. soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Presa (1979) 137-203.