Colon conectat

Un colon conectat ( colonul lui Alexandrov ) este un spațiu topologic finit de două puncte de un anumit tip; cel mai simplu exemplu semnificativ de spațiu topologic non- Hausdorff în topologia generală .

Este definit ca un spațiu topologic format dintr-un set de două elemente ("deschis") și ("închis"), a cărui topologie este dată de următoarea listă de trei submulțimi deschise : $\circ$ $\glonţ$

$\varnothing$ - set gol ;
$\{\circ \}$ - un set de un element este „deschis”;
$\{\circ ,\bullet \}$ - tot spațiul.

Pe lângă setul gol și întregul două puncte, subsetul său deschis este doar , iar subsetul său închis este doar . Vedem că un punct nu are altă vecinătate decât întregul spațiu; prin urmare, spațiul încalcă axioma T1 , în special, nu este Hausdorff. Vedem, de asemenea, că punctul nu este un submult închis. $\{\circ \}$ $\{\bullet \}$ $\glonţ$ $\circ$

O mapare dintr-un spațiu topologic la două puncte conectate este continuă dacă și numai dacă preimaginea punctului este deschisă în (sau, echivalent, preimaginea punctului este închisă în ). Această proprietate justifică numele punctelor două puncte legate. Un două puncte conectate este un spațiu conectat și, de asemenea , conectat la cale . $F$ $X$ $F^{{-1}}(\circ )$ $\{\circ \}$ $X$ $F^{{-1}}(\bullet )$ $\{\bullet \}$ $X$

Cubul Alexander , puterea unui colon conectat , este un spațiu universal pentru -spații de greutate la , adică orice - spațiu de greutate este homeomorf unui subspațiu [1] . $F^{m}$ $T_{0}$ $m$ $m\geqslant \aleph _{0}$ $T_{0}$ $m$ $F^{m}$

Note

↑ Engelking, 1986 , Teorema 2.3.26, p. 138.

Literatură

Aleksandrov PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. — ISBN 5-354-00822-0 .
Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.