Torsiunea (algebră)

În algebra generală , termenul de torsiune se referă la elementele unui grup având o ordine finită sau la elementele unui modul anihilate de un element regulat al inelului.

Definiție

Un element g al unui grup G se numește element de torsiune dacă are o ordine finită , adică există un număr natural n astfel încât g n = e , unde e desemnează elementul neutru al grupului. Un grup se numește periodic (sau grup de torsiune ) dacă toate elementele sale sunt elemente de torsiune și un grup fără torsiune dacă singurul element de torsiune este neutru. Se știe că orice grup abelian este un modul peste inelul de numere întregi ; în special, definiția unui element de torsiune pentru acesta poate fi reformulată după cum urmează: există un număr întreg diferit de zero, astfel încât înmulțirea cu acest număr duce acest element la zero. Aceasta motivează următoarea definiție:

Un element m al unui modul M peste un inel R se numește element de torsiune dacă există un element regulat r diferit de zero al inelului R (adică un element care nu este un divizor de zero stânga sau dreapta ) care anihilează m , adică astfel încât rm = 0. În cazul în care se ocupă cu inel integral , ipoteza regularității poate fi renunțată. Modulul de torsiune și modulul fără torsiune sunt definite în mod similar . În cazul în care inelul R este comutativ , mulțimea tuturor elementelor de torsiune ale modulului M formează un submodul numit submodul de torsiune (în special, pentru un modul peste Z se numește subgrup de torsiune ).

Mai general, fie M un modul peste R și S fie un sistem închis multiplicativ al inelului. Un element m al unui modul M se numește element S-torsiune dacă există un element al sistemului multiplicativ care anihilează m . În special, mulțimea elementelor regulate ale unui inel este cel mai mare sistem multiplicativ.

Exemple

Fie M un modul liber peste un inel R , din definiție rezultă imediat că M este un modul fără torsiune. În special, spațiile vectoriale sunt lipsite de torsiune.
Într -un grup modular, orice element de torsiune netrivial fie are ordinul 2 și este conjugat cu S , fie are ordinul 3 și este conjugat cu ST . Elementele de torsiune aici nu formează un subgrup: de exemplu, S · ST = T , iar T are o ordine infinită.
Grupul abelian (care poate fi considerat ca un grup de rotații ale unui cerc printr-un unghi proporțional cu circumferința cercului) este un grup de torsiune. Acest exemplu poate fi generalizat după cum urmează: dacă R este un inel comutativ și Q este câmpul său coeficient , atunci Q/R este un grup de torsiune. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
Fie dat un spațiu vectorial V peste un câmp F cu un operator liniar . Dacă în mod natural considerăm acest spațiu ca un F(x) -modul, atunci acest modul este un modul de torsiune (prin teorema Hamilton-Cayley, sau pur și simplu pentru că spațiul este finit-dimensional).

Cazul domeniului idealurilor principale

Fie R un domeniu ideal principal și M un modul R - generat finit . Conform teoremei de structură corespunzătoare , acest modul poate fi descompus într-o sumă directă

M\simeq F\oplus T(M),

unde F este un R - modul liber și T ( M ) este un submodul de torsiune al lui M . Pentru modulele care nu sunt generate finit, o astfel de descompunere, în general, nu există: chiar și subgrupul de torsiune al unui grup abelian nu este neapărat un sumand direct.

Torsiunea și localizarea

Fie R un domeniu de integritate cu un câmp de fracții Q și M un R - modul. Atunci putem considera un Q -modul (adică un spațiu vectorial)

M_{Q}=M\otimes _{R}Q.

Există un homomorfism natural de la un grup abelian M la un grup abelian M Q , iar nucleul acestui homomorfism este exact submodulul de torsiune. În mod similar, pentru localizarea inelului R în raport cu sistemul multiplicativ S $a\mapsto uneori 1$

M_{S}=M\uneori _{R}R_{S},

nucleul homomorfismului natural este exact elementele S - torsiune. Astfel, submodulul de torsiune poate fi înțeles ca ansamblul acelor elemente care sunt identificate în timpul localizării.

Torsion în algebra omologică

Conceptul de torsiune joacă un rol important în algebra omologică . Dacă M și N sunt module peste un inel comutativ R , functorul Tor dă o familie de R - module Tor i ( M , N ). Mai mult, modulul S - torsion al modulului M este în mod natural izomorf cu Tor 1 ( M , R S / R ). În special, de aici rezultă imediat că modulele plate sunt module fără torsiune. Numele Tor este o abreviere pentru engleza torsion (torsion).

Literatură

Ernst Kunz , Introducere în algebra comutativă și geometria algebrică, Birkhauser 1985 - ISBN 0-8176-3065-1
Irving Kaplansky , Grupuri abeliene infinite, Universitatea din Michigan, 1954.
Michiel Hazewinkel (2001), Submodul Torsion , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4