Atractor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 iulie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Atractor ( eng. atrage - atrage, atrage) - o submulțime compactă a spațiului de fază al unui sistem dinamic , toate traiectorii dintr-o anumită vecinătate tind către acesta cu timpul tinzând spre infinit. Un atractor poate fi un punct fix atractiv (de exemplu, în problema unui pendul cu frecare împotriva aerului), o traiectorie periodică (de exemplu, oscilații auto-excitate într-o buclă de feedback pozitiv) sau o zonă limitată cu traiectorii instabile în interior. (ca un atractor ciudat).

Există diferite formalizări ale conceptului de aspirație, ceea ce duce la definiții diferite ale atractorului, care definesc, respectiv, mulțimi potențial diferite (deseori imbricate unele în altele). Definițiile cel mai frecvent utilizate sunt atractorul maxim (adesea în cartierul său mic, vezi mai jos), atractorul Milnor și setul nerătăcitor .

Clasificare

Atractoarele sunt clasificate după:

Formalizări ale noțiunii de aspirație: se distinge între atractorul maxim, mulțimea nerătăcitoare, atractorul Milnor, centrul Birkhoff, atractorul statistic și cel minim.
Regularitățile atractorului însuși: atractorii sunt împărțiți în regulați (atragerea punctului fix, atragerea traiectoriei periodice, varietatea ) și ciudate (neregulate - adesea fractale și/sau aranjate într-o anumită secțiune ca un set Cantor ; dinamica lor este de obicei haotică ).
Localitate („ mult atractiv ”) și globalitate (aici – termenul „minimal” în sensul de „indivizibil”).

De asemenea, există exemple binecunoscute de atractori „numiți”: Lorentz , Plykin , solenoid Smale-Williams , atractor heteroclinic ( exemplul lui Bowen ).

Proprietăți și definiții aferente

În toate definițiile, atractorul este considerat a fi o mulțime închisă și (complet) invariantă.

Conceptul de măsură Sinai-Ruelle-Bowen este, de asemenea, strâns legat de conceptul de atractor : o măsură invariantă asupra acestuia, la care mediile de timp ale unui punct de plecare tipic (în sensul măsurării Lebesgue) sau mediile de timp. de iterații ale măsurii Lebesgue tind. Cu toate acestea, o astfel de măsură nu există întotdeauna (ceea ce este ilustrat, în special, de exemplul lui Bowen ).

Tipuri de formalizare a definiției

Întrucât întreg spațiul fazelor este păstrat de dinamică în orice caz, se poate da o definiție formală a unui atractor pe baza filozofiei că „un atractor este cel mai mic set către care tinde totul” - cu alte cuvinte, aruncând tot ce poate fi aruncat din spațiul fazelor.

Atractor maxim

Fie ca unui sistem dinamic să i se atribuie o zonă , care este tradusă strict în sine prin dinamică: $U$

\overline {f(U)}\subset U

Atunci atractorul maxim al sistemului în restricția la U este intersecția tuturor imaginilor sale sub acțiunea dinamicii:

A_{{max}}=\bigcap _{{n=1}}^{{\infty }}f^{n}(U).

Aceeași definiție poate fi aplicată fluxurilor: în acest caz, este necesar să se ceară ca câmpul vectorial care definește fluxul de la limita regiunii să fie direcționat strict în interiorul acestuia.

Această definiție este adesea folosită pentru a caracteriza un set ca un atractor „natural” („este atractorul maxim al vecinătății sale”). Este folosit și în ecuațiile cu diferențe parțiale [1] .

Această definiție are două dezavantaje. În primul rând, pentru aplicarea sa este necesară găsirea unei regiuni absorbante. În al doilea rând, dacă o astfel de zonă a fost aleasă fără succes - să zicem, conținea un punct fix respingător cu bazinul său de repulsie - atunci în atractorul maxim vor exista puncte „extra”, care de fapt nu pot fi localizate de mai multe ori la rând, dar alegerea actuală a zonei acestui „nu se simte”.

Milnor atractor

Prin definiție, atractorul Milnor al unui sistem dinamic este cea mai mică (prin includere) mulțime închisă care conține seturile ω-limită ale aproape tuturor punctelor inițiale în raport cu măsura Lebesgue. Cu alte cuvinte, acesta este cel mai mic set către care tinde traiectoria unui punct de plecare tipic .

Set nerătăcitor

Un punct x al unui sistem dinamic se numește rătăcire dacă iterațiile unora din vecinătatea sa U nu traversează niciodată această vecinătate:

\forall n>0\quad f^{n}(U)\bigcap U=\emptyset .

Cu alte cuvinte, un punct este rătăcire dacă are un cartier pe care orice traiectorie îl poate traversa o singură dată. Mulțimea tuturor punctelor nerătăcitoare se numește mulțime nerătăcitoare .

Atractor statistic

Un atractor statistic este definit ca cea mai mică mulțime închisă de incluziune , în vecinătatea căreia aproape toate punctele petrec aproape tot timpul: pentru oricare dintre vecinătățile sale , pentru aproape orice punct (în sensul măsurării Lebesgue) , avem $A_{{stat}}$ $U$ $X$

{\frac {1}{N}}\#\{j\leq N\mid f^{j}(x)\in U\}\to 1,\quad N\to \infty .

Atractor minim

Atractorul minim este definit ca cel mai mic (în ceea ce privește includerea) set închis , în vecinătatea căruia aproape întreaga măsură Lebesgue petrece aproape tot timpul: pentru oricare dintre cartierele sale , $A_{{min}}$ $U$

{\frac {1}{N}}\sum _{{j=0}}^{{N-1}}(f_{*}^{j}(Leb))(U)\la 1,\quad N\la \infty .

Exemple de nepotriviri

Localitate, minimalitate și globalitate

Atractori obișnuiți și ciudați

Atractori obișnuiți

Punct fix atractiv

(exemplu: pendul cu frecare)

Ciclu limită

(exemplu: microfon+difuzoare, oscilator Van der Pol )

Atractori ciudati

(exemple: atractor Lorenz , atractor Rössler , solenoid Smale-Williams; comentariu asupra efectului fluture și haosului dinamic .)

Un atractor ciudat este un ansamblu atrăgător de traiectorii instabile în spațiul de fază al unui sistem dinamic disipativ [2] . Spre deosebire de un atractor, nu este o varietate , adică nu este o curbă sau o suprafață. Structura atractorului ciudat este fractală . Traiectoria unui astfel de atractor este neperiodică (nu se închide), iar modul de funcționare este instabil (mici abateri de la mod cresc). Principalul criteriu al aleatoriei unui atractor este creșterea exponențială a micilor perturbații în timp. Consecința acestui lucru este „amestecarea” în sistem, neperiodicitatea în timp a oricăreia dintre coordonatele sistemului, un spectru de putere continuu și o funcție de autocorelare care scade în timp .

Dinamica atractorilor ciudați este adesea haotică : prezicerea unei traiectorii care a căzut într-un atractor este dificilă, deoarece o mică inexactitate a datelor inițiale după un timp poate duce la o discrepanță puternică între prognoză și traiectoria reală. Imprevizibilitatea traiectoriei în sistemele dinamice deterministe se numește haos dinamic , deosebindu-l de haosul stocastic care apare în sistemele dinamice stocastice . Acest fenomen se mai numește și efectul fluturelui , implicând posibilitatea de a transforma curenții slabi de aer turbulenți cauzați de baterea aripilor unui fluture într-un punct al planetei într-o tornadă puternică pe cealaltă parte, datorită amplificării lor multiple în atmosferă peste unele . timp. Dar, de fapt, clapeta aripii unui fluture, de obicei, nu creează o tornadă, deoarece în practică există o astfel de tendință încât fluctuații atât de mici, în medie, nu schimbă dinamica unor sisteme atât de complexe precum atmosfera planetei, iar Lorentz însuși a spus despre aceasta: „Dar, în general, susțin că, de-a lungul anilor, șocurile minore nici nu cresc și nici nu scad frecvența de apariție a diferitelor evenimente meteorologice, cum ar fi uraganele. Tot ce pot face este să schimbe ordinea în care apar aceste fenomene.” Și acesta, poate, este un lucru important și surprinzător, fără de care ar fi dificil, dacă nu imposibil, să studiem dinamica haotică (dinamică sensibilă la cele mai mici modificări ale condițiilor inițiale ale sistemului).

Printre atractorii ciudați se numără cei a căror dimensiune Hausdorff este diferită de dimensiunea topologică și este fracțională. Unul dintre cei mai faimoși dintre astfel de atractori este atractorul Lorenz .

Exemple nominale

Lorentz atractor

Sistemul de ecuații diferențiale care creează atractorul Lorentz are forma:

{\punct x}=\sigma (yx)

{\punct y}=x(rz)-y

{\punct z}=xy-bz

cu următoarele valori ale parametrilor: , , . Atractorul Lorenz nu este clasic. De asemenea, nu este ciudat în sensul Smale . [3] $\sigma =10$ $r=28$ $b=8/3$

Solenoid Smale-Williams

Solenoidul Smale-Williams este un exemplu de sistem dinamic reversibil , similar în comportamentul traiectoriilor cu maparea de dublare pe un cerc. Mai precis, acest sistem dinamic este definit pe torul solid , iar într-o iterație a acestuia coordonata unghiulară este dublată; de unde ia naştere automat divergenţa exponenţială a traiectoriilor şi dinamica haotică. Atractorul maxim al acestui sistem se mai numește și solenoid (de unde, de fapt, vine numele): este aranjat ca o uniune (nenumărabilă) de „fire” înfășurate de-a lungul unui tor solid .

Atractor Plykin

Atractorul Plykin este un exemplu de sistem dinamic pe un disc al cărui atractor maxim este hiperbolic . În special, acest exemplu este stabil din punct de vedere structural deoarece satisface axioma A lui Smale .

Exemplul lui Bowen sau atractorul heteroclinic

Atractorul lui Héno

https://web.archive.org/web/20101227004521/http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/en/strange_r.htm

Ipoteze

Conjectura lui Palis [4]

Există o submulțime D atât de densă metric al spațiului T încât atractorul Milnor al oricărui sistem dinamic din mulțimea D poate fi descompus doar într-un număr finit de componente tranzitive ;
Componentele tranzitive ale atractorului au o măsură SRB ;
Componentele tranzitive ale atractorului sunt stocastic stabile în bazinele lor de atracție;
Pentru un sistem tipic al unei familii tipice de dinamică unidimensională, componentele atractor fie reprezintă traiectorii periodice de atragere, fie au o măsură invariantă absolut continuă . [5]

Ipotezele lui Ruelle

Vezi și

Note

↑ Yu. S. Iliașenko. Analiza globală a portretului de fază pentru ecuația Kuramoto-Sivashinsky, Journal of Dynamics and Differential Equations, voi. 4, nr. 4, 1992
↑ Gaponov-Grekhov A.V. , Rabinovich M.I. Fizica neliniară. Stochasticitate și structuri // Fizica secolului XX: dezvoltare și perspective. - M., Nauka, 1984. - p. 237
↑ Atractori ciudați. Rezumat de articole. Moscova. 1981 Traducere din engleză, editată de Y. G. SINAI și L. P. SHILNIKOV
↑ Seminarii: V. A. Kleptsyn, Attractors of dynamical systems . www.mathnet.ru Preluat: 17 august 2018. (nedefinit)
↑ Saltykov, Petr Sergheevici. Noile proprietăți ale atractorilor și seturile invariante ale sistemelor dinamice . - 2011. Arhivat la 17 august 2018. (Rusă)

Referințe și literatură

A. Gorodetski, Yu. Iliașenko. Atractori minimi și ciudați, Jurnalul Internațional de Bifurcație și Haos, voi. 6, nr. 6 (1996), pp. 1177-1183.
A. S. Gorodetsky. Atractori minimi și seturi parțial hiperbolice de sisteme dinamice. Insulta. c.f.-m. n., Universitatea de Stat din Moscova, 2001.
Biblioteca electronică despre dinamica neliniară
Articolul „Atractor” de J. Milnor , Scholarpedia.
Galeria celor mai ciudați atractori . LENTA.RU. Preluat la 28 martie 2013. Arhivat din original la 4 aprilie 2013. (nedefinit)
E. V. Nikulcev. Metoda geometrică de reconstrucție a sistemelor bazată pe date experimentale // Scrisori către ZhTF. 2007. T. 33. Problema. 6. S. 83-89.
E. V. Nikulcev. Identificarea sistemelor dinamice bazate pe simetriile atractorilor reconstruiți Moscova, 2010.