Funcția lui Multiparticle Green

În teoria cu mai multe corpuri , termenul funcție a lui Green (sau funcție a lui Green ) este uneori folosit ca sinonim pentru funcția de corelare , dar se referă la corelatorii operatorilor de câmp sau la operatorii de creare și anihilare .

Numele provine de la funcțiile lui Green folosite pentru a rezolva ecuații diferențiale neomogene, cu care acestea sunt înrudite. În special, numai funcțiile lui Green în două puncte în cazul unui sistem care nu interacționează sunt funcțiile lui Green în sens matematic; operatorul liniar pe care îl inversează este operatorul Hamilton , care în cazul neinteracționat este pătratic în raport cu operatorii de câmp.

Caz spațial omogen

Definiții de bază

De obicei, luați în considerare teoria multor corpuri cu un operator de câmp (operator de anihilare, scris pe o bază de coordonate) . $\psi (\mathbf {x} )$

Operatorii Heisenberg pot fi scrii în termenii operatorilor Schrödinger ca

\psi (\mathbf {x},t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} Kt}\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-\mathrm {i }Kt},

şi operatorul de creaţie , unde este Hamiltonianul marelui ansamblu canonic . ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x},t)]^{\dagger }$ $K=H-\mu N$

La fel și pentru operatorii scriși în timp imaginar

\psi (\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau }

{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi ^{\dagger}(\mathbf {x} )\mathrm { e} ^{-K\tau }.

Aici, operatorul de creare în timp imaginar nu este adjunctul hermitian al operatorului de distrugere . ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )$ $\psi (\mathbf {x} ,\tau )$

Funcția lui Green în timp real este definită ca $2n$

G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle {\hat {T))\psi (1)\ldots \psi (n ){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,

unde sunt folosite abrevieri, în care înseamnă și, de asemenea, înseamnă . Operatorul reprezintă ordonarea după operator de timp , care specifică că operatorii de câmp care îl urmează trebuie să fie ordonați astfel încât argumentele lor de timp să crească de la dreapta la stânga. $j$ $(\mathbf {x} _{n},t_{n})$ $n'$ $(\mathbf {x} _{n}',t_{n}')$ ${\hat {T}}$

Pentru timpul imaginar, definiția corespunzătoare este:

{\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle {\hat {T}}\psi (1)\ldots \psi ( n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,

unde index înseamnă coordonate și timp . Variabilele de timp imaginare sunt limitate la intervalul de la temperatura reciprocă . $n$ $\mathbf {x} _{n},\tau _{n}$ $\tau_n$ $0$ $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$

Aici, semnele funcțiilor lui Green au fost alese astfel încât transformata Fourier a funcției Matsubara Green în două puncte ( ) pentru o particulă liberă să fie egală cu $n=1$

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\ mathbf {k} }}},

iar funcţia lui Green retardat este

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta)+\xi _{\mathbf {k} }}},

Unde

\omega _{n}={[2n+\theta (-\zeta )]\pi }/{\beta }\,,

unde ω n sunt frecvențele Matsubara .

$\zeta$ este egal pentru bozoni și pentru fermioni și denotă comutatorul sau anticomutatorul în funcție de statistici . $+1$ $-unu$ ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta ))$

Funcții în două puncte

Funcția lui Green cu o pereche de argumente ( ) se numește funcție în două puncte sau propagator . În prezența simetriei translaționale atât spațiale, cât și temporale, aceasta depinde doar de diferența dintre argumentele sale. Transformarea Fourier în spațiu și timp dă $n=1$

{\mathcal {G)}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})\mathrm {e} ^{\mathrm { i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')},

unde este suma peste frecvențele Matsubara corespunzătoare (și integrala include un factor implicit ). $(L/2\pi )^{d)$

În timp real, o funcție ordonată în timp este indicată cu un superscript T:

G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int { \frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega (tt')}.

Funcția lui Green în două puncte în timp real poate fi scrisă în termeni de funcții „întârziate” și „conducătoare” lui Green, care se dovedesc a avea proprietăți analitice mai simple. Funcțiile Green retardate și avansate sunt definite ca

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t ),{\bar {\psi ))(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (tt')

G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t) ,{\bar {\psi ))(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),

respectiv.

Ele sunt legate de funcția lui Green ordonată în timp prin relație

G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} , \omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),

Unde

n(\omega)={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta \omega}-\zeta ))

este funcția de distribuție Bose-Einstein sau Fermi-Dirac.

Ordonare în timp imaginar și periodicitate β

Funcțiile lui Matsubara Green sunt definite numai atunci când ambele argumente de timp imaginare sunt în intervalul de până la . Funcția lui Green în două puncte are următoarele proprietăți. (Coordonatele și impulsul sunt omise în această secțiune.) $0$ $\beta$

În primul rând, funcția lui Green depinde doar de diferența de timp imaginară:

{\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').

Argumentul variază de la la . $\tau -\tau '$ $-\beta$ $\beta$

În al doilea rând - ${\mathcal {G}}(\tau )$

aceasta este o funcție (anti)periodică cu privire la deplasări . Datorită dimensiunii reduse a domeniului de aplicare în care este definită funcția, aceasta înseamnă că $\beta$

{\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau),

pentru . Ordonarea în timp este crucială pentru această proprietate, care poate fi dovedită direct folosind ciclicitatea operației de urmărire. $0<\tau <\beta$

Aceste două proprietăți sunt luate în considerare în reprezentarea transformării Fourier directă și inversă,

{\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta}\mathrm {d} \tau \,{\mathcal {G}}(\tau ) \,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{n}\tau }.

${\mathcal {G}}(\tau )$ are o discontinuitate la ; acest lucru este în concordanță cu comportamentul la distanță lungă . $\tau=0$ ${\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|$

Reprezentare spectrală

Propagatorii de timp real și imaginar sunt legați de densitatea spectrală (sau greutatea spectrală) prin formula

\rho (\mathbf {k},\omega)={\frac {1}{\mathcal {Z)}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\ alfa }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left( \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right),

unde | α ⟩ se referă la starea proprie multiparticule a hamiltonianului marelui ansamblu canonic H − μN cu valoarea proprie E α .

Apoi propagatorul în timp imaginar este dat de

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega ' }{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}~,

iar propagatorul retardat

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{ 2\pi )){\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega ')),

unde limita este implicită la . $\eta \rightarrow 0^{+)$

Propagatorul principal este dat de aceeași expresie, dar cu un termen la numitor. $-\mathrm {i} \eta$

O funcție ordonată în timp poate fi exprimată în termeni de și . După cum sa menționat mai sus, și au proprietăți analitice simple: primul (ultimul) are toți polii și discontinuitățile în semiplanul inferior (superior). $G^{\mathrm {R} }$ $G^{\mathrm {A} }$ $G^{\mathrm {R} }(\omega )$ $G^{\mathrm {A} }(\omega )$

Propagatorul Matsubara are toți polii și discontinuitățile pe axele imaginare. ${\mathcal {G}}(\omega _{n})$ $\omega_{n}$

Densitatea spectrală poate fi găsită utilizând teorema Sochacki-Weierstrass pentru funcții generalizate $G^{\mathrm {R} }$

\lim _{\eta \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x\pm \mathrm {i} \eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi\delta(x),

unde P reprezintă valoarea principală a integralei Cauchy . Asta duce la

\rho (\mathbf {k},\omega)=2\operatorname {Im} \,G^{\mathrm {R}}(\mathbf {k},\omega).

În plus, respectă următoarea relație între părțile sale reale și imaginare: $G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )$

\operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm { d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\operatorname {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},

unde denotă valoarea principală a integralei. $P$

Densitatea spectrală respectă regula sumei,

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega {2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,

care dă asimptoticele sub formă

G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |))

la . $|\omega |\rightarrow \infty$

Transformă Hilbert

Asemănarea reprezentărilor spectrale ale funcțiilor lui Green în timp imaginar și real ne permite să definim funcția

G(\mathbf {k},z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},

care se referă la și cum ${\mathcal {G}}$ $G^{\mathrm {R} }$

{\mathcal {G}}(\mathbf {k},\omega _{n})=G(\mathbf {k},\mathrm {i} \omega _{n})

precum și

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +\mathrm {i} \eta).

O expresie similară este valabilă pentru . $G^{\mathrm {A} }$

Relația dintre și se numește transformată Hilbert . $G(\mathbf {k} ,z)$ $\rho (\mathbf {k} ,x)$

Dovada reprezentării spectrale

Pentru a demonstra reprezentarea spectrală a propagatorului funcției lui Matsubara Green, se definește ca

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\ bară {\psi ))(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .

Datorită simetriei translaționale, este necesar să se țină cont doar de dat în formă ${\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)$ $\tau >0$

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf { 0} ,0)\mid \alpha '\rangle .

Înlocuirea întregului set de stări proprii duce la

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \ alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .

deoarece și sunt stări proprii , operatorii Heisenberg pot fi rescriși în termenii operatorilor Schrödinger. $|\alpha \rangle$ $|\alpha '\rangle$ $H-\mu N$

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha , \alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\mathrm {e} ^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha ' \mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .

După transformarea Fourier, obținem

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '} \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha ')){\frac {1-\zeta \mathrm {e} ^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha )))) ) {-\mathrm {i} \omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '))}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \ alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .

Conservarea impulsului ne permite să scriem ultimul termen în formă (până la posibili coeficienți volumetrici)

|\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},

ceea ce confirmă expresiile pentru funcţiile lui Green în reprezentarea spectrală.

Regula sumei poate fi demonstrată luând în considerare valoarea așteptată a comutatorului,

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid \mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)} [\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,

și apoi înlocuind setul complet de stări proprii în ambii membri ai comutatorului:

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\left(\ langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).

Înlocuirea etichetelor în primul termen dă

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}} -\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\ interval |^{2}~,

care este rezultatul integrării lui ρ .

Caz de non-interacțiune

Pentru particulele care nu interacționează, este o stare proprie (mare ansamblu canonic) cu energie , unde este relația de dispersie a unei particule măsurată în raport cu potențialul chimic. Deci densitatea spectrală $\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle$ ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} ))$ $\xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu$

\rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z)}}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k } }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha „\rangle (1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}.

Din relaţiile de comutaţie

\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,

cu posibili factori de volum. Suma, care include media termică a operatorului numărului de particule, apoi este egală cu , rezultând în $[1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z))$

\rho _{0}(\mathbf {k},\omega)=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k}}-\omega).

Deci propagatorul din timpul imaginar

{\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\ mathbf {k} }}}

iar propagatorul retardat

G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _ {\mathbf {k} }}}.

Limită de temperatură zero

Ca β → ∞, densitatea spectrală ia forma

\rho (\mathbf {k},\omega)=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega)|\langle \ alfa \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\rangle |^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )|\ langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle |^{2}\right]

unde α = 0 corespunde stării fundamentale. Aici doar primul (al doilea) termen contribuie atunci când ω este pozitiv (negativ).

Caz general

Definiții de bază

Pentru cazul general, se folosesc „operatori de câmp”, ca mai sus, sau operatori de creare și anihilare asociați cu alte stări de o singură particulă, eventual stări proprii ale energiei cinetice (neinteracționează). Sunt utilizate

\psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau),

unde este operatorul de anihilare a stării unei particule și este funcția de undă a acestei stări în reprezentarea de coordonate. Asta da $\psi _{\alpha )$ $\alfa$ $\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )$

{\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\ tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1))(\tau _ {1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}' )\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle

cu aceeași expresie pentru . $G^{(n))$

Funcții în două puncte

Funcțiile lui Green în două puncte depind doar de diferența dintre argumentele lor de timp, astfel încât

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta}(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{ \mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ') }

și

G_{\alpha \beta}(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega {2\pi }}\ ,G_{\alpha \beta }(\omega )\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega (tt')}.

Este posibil să se definească funcțiile ecologice de întârziere și de conducere într-un mod evident; sunt legate de ordonarea timpului în același mod ca mai sus.

Aceleași proprietăți de periodicitate descrise mai sus se aplică pentru . Specific, ${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }$

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta}(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta}(\tau -\tau ')

și

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta}(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta}(\tau +\beta),

pentru . $\tau <0$

Reprezentare spectrală

În acest caz,

\rho _{\alpha \beta}(\omega)={\frac {1}{\mathcal {Z)}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}- E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \ stânga(\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}\right),

unde și sunt stări cu mai multe particule. $m$ $n$

Expresiile pentru funcțiile lui Green sunt modificate într-un mod evident:

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta}(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}

și

G_{\alpha \beta}^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{ 2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega '}}.

Proprietățile lor analitice sunt identice. Dovada se realizează exact în același mod, cu excepția faptului că aceste două elemente de matrice nu mai sunt conjugate complexe.

Caz care nu interacționează

Dacă stările particulare ale unei particule alese sunt „stări proprii de energie dintr-o particulă”, adică

[H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },

atunci pentru este o stare proprie: $|n\rangle$

(H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle,

asa este : $\psi _{\alpha }\mid n\rangle$

(H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle,

si similar pentru : $\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle$

(H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^ {\pumnal }\mid n\rangle .

Deci elementul matricei

\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _ {\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n \rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .

moeno rescrie în formă

\rho _{\alpha \beta}(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z)}}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\ alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta ))\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _ {\alpha }}\dreapta),

prin urmare

\rho _{\alpha \beta}(\omega)={\frac {1}{\mathcal {Z)}}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha } -\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),

folosind

\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta}\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle

și faptul că media termică a operatorului numărului de particule dă o funcție de distribuție Bose-Einstein sau Fermi-Dirac.

În cele din urmă, densitatea spectrală este simplificată la expresie

\rho _{\alpha \beta}=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta},

deci funcția Matsubara Green

{\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta}(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta}}{-\mathrm {i} \omega _ {n}+\xi _{\beta ))))

iar funcţia lui Green retardat este

G_{\alpha \beta}(\omega)={\frac {\delta _{\alpha \beta}}{-(\omega +\mathrm {i} \eta)+\xi _{\beta }}}.

Funcția lui Green care nu interacționează este diagonală, dar nu este cazul în cazul interacțiunii.

Recomandări

Cărți

Bonch-Bruevich VL, Tyablikov SV (1962): Metoda funcției lui Green în mecanica statistică. North Holland Publishing Co.
Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinskii I. E. (1963): Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics Englewood Rocks: Prentice-Hall.
Naegele, J. W. și Orland, H. (1988): Sisteme cuantice de multe particule, Addison-Wesley.
Zubarev D. N. , Morozov V., Ropke G. (1996): Mecanica statistică a proceselor de non-echilibru: concepte de bază, teoria cinetică (vol. 1). John Wiley & Sons. ISBN 3-05-501708-0 .
Mattuck, Richard D. (1992), A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem , Dover Publications, ISBN 0-486-67047-3 .

Articole

Bogolyubov N. N. , Tyablikov S. V. Întârzie și avansează funcțiile lui Green în fizica statistică, Dokl. 4 , p. 589 (1959).
D. N. Zubarev , Two-time Green's functions in statistical physics , Uspekhi Mat. Nauk 3: 3 (1960), 320-345.

Link -uri

Funcții de răspuns liniar în Eva Pavarini, Eric Koch, Dieter Vollhardt și Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT la 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014. ISBN 978-3-89336-953-9