Întreaga funcție rațională

O întreagă funcție rațională (de asemenea o funcție polinomială ) este o funcție numerică definită de un polinom . Cei mai simpli reprezentanți ai unei întregi funcții raționale sunt funcțiile constante , liniare și pătratice .

Alături de funcțiile raționale fracționale , funcțiile raționale întregi sunt un caz special de funcții raționale .

Definiție

O întreagă funcție rațională este o funcție a unei variabile reale de forma:

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x +a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},

unde , și . $n\în \mathbb{N}$ $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}\in \mathbb {R}$ $a_{n}\neq 0$

Cu alte cuvinte, o întreagă funcție rațională este o combinație liniară a mai multor funcții de putere .

Note

Un caz special al unei întregi funcții raționale este funcția , ai cărei coeficienți sunt egali cu zero. $f(x)=0$

Un număr natural (cel mai mare exponent al unei variabile ) determină gradul funcției polinomiale. $n$ $X$
Numerele reale se numesc coeficienții funcției polinomiale. În acest caz, numărul este adesea numit coeficient senior, iar numărul este numit coeficient liber. ${\displaystyle a_{n},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0))$ $un$ $a_{0}$

Tipuri

Pentru , funcția polinomială degenerează într-o funcție constantă $n=0$ $f(x)=a_{0)$
Când , se obține o funcție liniară . $n=1$ $f(x)=a_{1}x+a_{0)$
Când , se obține o funcție pătratică . $n=2$ $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0)$
Când , se obține o funcție cubică . $n=3$ $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0)$
Dacă toți ceilalți coeficienți sunt egali , atunci există o funcție de putere cu un exponent natural. $a_{n}\neq 0$ $0$ $f(x)=a_{n}x^{n)$

Exemple

Funcția este o funcție polinomială de gradul trei cu coeficienți ; ; și . $f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4$ $-2$ $3$ $-5$ $patru$
Funcția este o funcție polinomială de gradul cinci cu coeficienți ; ; ; ; și . $f(x)=x^{5}+3x^{3}+5x$ $unu$ $0$ $3$ $0$ $5$ $0$
Funcția este o funcție polinomială de gradul doi (adică o funcție pătratică) cu coeficienți și . $f(x)={\frac {1}{3}}x^{2}-{\sqrt {2}}$ ${\frac {1}{3))$ $-{\sqrt {2))$

Proprietăți de bază

Domeniu, set de valori, limite

O funcție polinomială peste câmpul numerelor reale este definită peste tot și este continuă în întregul său domeniu de definiție. Setul său de valori este, de asemenea, un subset al mulțimii de numere reale. Pentru un set par de valori, în funcție de semnul coeficientului conducător , acesta va fi mărginit de sus sau de jos (vezi și tabelul). $n$ $un$

Limita unei funcții polinomiale la infinit există întotdeauna, iar valoarea ei specifică depinde de uniformitatea gradului și semnului la cel mai mare coeficient . În acest caz, graficul unei funcții polinomiale se comportă exact în același mod ca și graficul unei funcții de putere : $x\la \pm \infty$ $n$ $un$ $g(x)=a_{n}x^{n)$

	chiar $n$		ciudat $n$
$a_{n}>0$	$f(x)\la +\infty$ la (setul de valori este limitat de jos) $x\la \pm \infty$		$f(x)\la -\infty$ la la $x\la -\infty$ $f(x)\la +\infty$ $x\la +\infty$
$a_{n}<0$	$f(x)\la -\infty$ la (setul de valori este mărginit de sus) $x\la \pm \infty$		$f(x)\la +\infty$ la la $x\la -\infty$ $f(x)\la -\infty$ $x\la +\infty$

Limita funcției polinomiale în fiecare punct coincide cu valoarea funcției în acest punct: . $x_{0}$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

De exemplu, pentru o funcție avem: $f(x)=3x^{8}-5x^{4}+1$

\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }(3x^{8})=+\infty

\lim _{x\to 1}f(x)=f(1)=3-5+1=-1

Paritate și simetrie

O funcție polinomială este chiar dacă toți exponenții din notația sa sunt numere pare . Graficul unei astfel de funcții are simetrie axială față de axa y ) . Această simetrie are loc datorită egalității , care este valabilă pentru funcțiile pare. De exemplu, următoarele funcții polinomiale sunt pare: $f(-x)=f(x)$

$f(x)=-2x^{4}+3x^{2)$ cu indicatori şi $patru$ $2$
$f(x)=-2x^{4}+3x^{2}+1$ cu indicatori ; și $patru$ $2$ $0$
$f(x)=5x^{6}-2$ cu indicatori şi $6$ $0$

O funcție polinomială este impară dacă toți exponenții din notația sa sunt numere impare. Graficul unei astfel de funcții are simetrie centrală față de centrul sistemului de coordonate ). Această simetrie are loc datorită egalității care este valabilă pentru funcțiile impare. De exemplu, următoarele funcții polinomiale sunt impare: $f(-x)=-f(x)$

$f(x)=2x^{7}-3x^{5)$ cu indicatori şi $7$ $5$
$f(x)=-2x^{5}+3x^{3}-2x$ cu indicatori ; și $5$ $3$ $unu$

Dacă o funcție polinomială conține atât exponenți pari, cât și impari, funcția nu este nici pară, nici impară . Din acest motiv, graficul său nu are simetrie nici față de axa y, nici față de centrul sistemului de coordonate. Cu toate acestea, astfel de funcții pot avea cazuri de simetrie mai complexe. În special, următoarele afirmații sunt adevărate:

Dacă pentru un anumit număr , atunci graficul acestei funcții are simetrie axială față de dreapta . $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ $x_{0}\in \mathbb {R}$ $x = x_0$
Dacă pentru o pereche de numere , atunci graficul acestei funcții are simetrie centrală față de punct . $f(x_{0}+x)-y_{0}=-f(x_{0}-x)+y_{0}$ $x_{0},y_{0}\in \mathbb {R}$ $P(x_{0}|y_{0})$

În plus, sunt valabile și următoarele proprietăți:

Graficul fiecărei funcții polinomiale de gradul doi este simetric în raport cu o dreaptă care trece paralelă cu axa y prin vârful parabolei , care este, de asemenea, punctul extrem al acestei funcții.
Graficul fiecărei funcții polinomiale de gradul al treilea este simetric față de punctul său de inflexiune .

Derivată și antiderivată

Reguli de diferențiere

$(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)$
${\displaystyle (a\cdot x^{n})'=a\cdot n\cdot x^{n-1))$
$(a)'=0$

Reguli de integrare

$\int [u(x)+v(x)]dx=\int u(x)dx+\int v(x)dx$
$\int (a\cdot x^{n})dx={\dfrac {a}{n+1}}\cdot x^{n+1}+C$
$\int \!a\,dx=ax+C$

O funcție polinomială este diferențiabilă pe întregul său domeniu de definiție . Derivatul său este ușor de găsit folosind reguli elementare de diferențiere. Deci, derivata unei funcții se calculează după cum urmează: $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1$

{\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'=\\&=(2x^{3})'+(- 4x^{2})'+(5x)'+(-1)'=\\&=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x+5\cdot 1x^{0}-1\cdot 0 =\\&=6x^{2}-8x+5=\end{aliniat}}

O funcție polinomială este, de asemenea, integrabilă în întregul său domeniu de definiție . Antiderivatul său este, de asemenea, ușor de găsit folosind reguli elementare de integrare. De exemplu, antiderivata aceleiași funcții ca în exemplul de mai sus este calculată după cum urmează: $f(x)$

F(x)=\int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1)dx={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {4 }{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}-x+c

, Unde

c\in \mathbb {R} .

Este ușor de observat că derivata și antiderivata unei funcții de grad polinomial sunt, de asemenea, polinomiale în sine. Mai mult, funcția are un grad , iar funcția are un grad (cu excepția cazului banal când ). $f(x)$ $n$ $f'(x)$ $n-1$ $F(x)$ $n+1$ $f(x)=0$

Puncte singulare ale unei funcții polinomiale

Calcularea zerourilor unei funcții

Zerourile funcției polinomiale coincid cu rădăcinile polinomului prezent în ecuația sa. Astfel, pentru a găsi zerouri, este necesar să rezolvăm ecuația . Metoda soluției depinde în mare măsură de ecuația specifică a funcției. $f(x)=0$

Dacă funcția este scrisă într-o formă factorizată , unde fiecare dintre factori este un binom liniar , atunci numerele reale , , ... sunt zerourile funcției , iar numerele naturale , , ... arată multiplicitatea zerourilor corespunzătoare acestei funcții. funcţie. În acest caz, este îndeplinită condiția: . Astfel, gradul unei funcții determină numărul maxim posibil al zerourilor sale peste câmpul numerelor reale . În cazul unei generalizări a unei funcții polinomiale la câmpul numerelor complexe , în conformitate cu teorema fundamentală a algebrei , se va respecta următoarea egalitate: . $f(x)=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0)$ $f(x)=a_{n}\cdot (x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsb (x -x_{m})^{k_{m}}$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{m}$ $f(x)$ $k_{1}$ $k_{2}$ $k_m$ $k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}\leq n$ $n$ $f(x)$ $k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}=n$

Deci, de exemplu, o funcție polinomială are trei zerouri și anume: (multiplicitatea 3), (multiplicitatea 1) și (multiplicitatea 2). Binomul pătrat nu are rădăcini reale, deci nu poate fi factorizat în factori liniari. $f(x)=-0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)$ $x_{1}=0$ $x_{2}=2$ $x_{3}=-3$ $x^{2}+1$

În general, pentru a găsi zerourile unei funcții polinomiale de grad și metodele utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor liniare și , respectiv, pătratice , sunt utilizate . Pentru a găsi zerourile unei funcții polinomiale de grad , acolo unde este posibil, pot fi utilizate diverse metode speciale de rezolvare a ecuațiilor algebrice de grade superioare (în special pentru ecuații biquadratice și de putere ). În cazuri mai generale, se folosesc fie metode universale, cum ar fi împărțirea polinoamelor pe o coloană , fie schema lui Horner , care, totuși, permit găsirea numai a soluțiilor întregi (exacte), fie metode numerice (de exemplu, metoda lui Newton ) pentru a găsi toate (dar doar aproximative) soluții. $n=1$ $n=2$ $n\ge 3$

Metodele pentru găsirea rădăcinilor întregi ale unui polinom se bazează pe un corolar din teorema lui Bézout . În special, pentru a factoriza o funcție polinomială cu coeficienți întregi , mai întâi, dintre toți divizorii coeficientului liber , se selectează una orice rădăcină , adică un astfel de număr întreg pentru care este adevărat: . Apoi, împărțind polinomul la un binom cu o coloană sau folosind schema lui Horner , polinomul original este factorizat la forma , unde este un polinom de grad . Astfel, gradul funcției originale și, prin urmare, complexitatea acesteia, scade. Găsirea zerourilor unei funcții se reduce la găsirea zerourilor unei funcții . $f(x)=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0)$ $a_{0}$ $x_{0}$ $f(x_{0})=0$ $f(x)$ $x-x_{0)$ $f(x)=(x-x_{0})\cdot g(x)$ $g(x)$ $n-1$ $f(x)$ $g(x)$

Deci, de exemplu, pentru a găsi zerourile unei funcții (vezi exemplul) cu coeficienți întregi, o rădăcină este mai întâi „ghicită” (numărul se află printre divizorii numărului ), iar apoi polinomul original este împărțit la binomul . Găsirea în continuare a zerourilor rămase ale funcției se reduce la găsirea zerourilor funcției rezultate , care poate fi găsită cu ușurință prin rezolvarea ecuației pătratice corespunzătoare. $f(x)=x^{3}-12x^{2}+5x+150$ $5$ $150$ $f(x)$ $x-5$ $f(x)$ $g(x)=x^{2}-7x-30$

Monotonitate și puncte extreme

Deoarece o condiție necesară pentru existența unui extremu local al unei funcții într-un punct este valoarea zero a pantei la acesta, atunci pentru a găsi extremele unei funcții polinomiale, este necesar să se rezolve ecuația , adică să se calculeze zerouri ale funcției sale derivate. Deoarece derivata unei funcții polinomiale este ea însăși o funcție polinomială (de un grad inferior), aceleași metode sunt utilizate pentru a găsi punctele extreme potențiale ca și pentru a calcula zerourile funcției în sine. Din proprietatea numărului de rădăcini ale unui polinom, putem concluziona că o funcție polinomială de grad poate avea, teoretic, până la extreme locale. De asemenea, este ușor de observat că între oricare două zerouri ale unei funcții polinomiale există în mod necesar cel puțin un extremum local. $x_{0}$ $f'(x)=0$ $x_{0}$ $n$ $n-1$

Deoarece orice funcție polinomială este continuă și de două ori diferențiabilă în fiecare punct , atunci pentru a verifica existența unui maxim local și a unui minim local al unei funcții polinomiale, este suficient să ne asigurăm că valoarea găsită (zero a derivatei funcției) satisface unul dintre criteriile suficiente . $f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Criteriul pentru derivata a doua:

Dacă și , atunci este un punct maxim local. $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})<0$ $x_{0}$
Dacă și , atunci este un punct minim local. $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})>0$ $x_{0}$
Dacă și , atunci nu se poate trage nicio concluzie despre acest subiect . $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})=0$ $x_{0}$

Criteriul pentru prima derivată:

Dacă și își schimbă semnul de la „plus” la „minus” la trecerea prin punctul , atunci este un punct maxim local. $f'(x_{0})=0$ $f'(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$
Dacă și își schimbă semnul de la „minus” la „plus” atunci când trece prin punctul , atunci este un punct minim local. $f'(x_{0})=0$ $f'(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$
Dacă și nu se schimbă semnul la trecerea prin punctul , atunci nu este un punct de minim local (" punct de șa "). $f'(x_{0})=0$ $f'(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Convexitatea și punctele de inflexiune

O condiție necesară pentru existența unui punct de inflexiune al unei funcții într-un punct (adică un punct în care se modifică convexitatea graficului funcției) este valoarea zero a derivatei a doua la aceasta. Astfel, pentru a găsi punctele de inflexiune ale unei funcții polinomiale, este necesar să se rezolve ecuația . Din proprietatea numărului de rădăcini ale unui polinom, putem concluziona că o funcție polinomială de grad poate avea până la puncte de inflexiune. $x_{0}$ $f''(x)=0$ $n$ $n-2$

Având în vedere continuitatea și diferențiabilitatea multiplă a funcției polinomiale în fiecare punct , pentru a verifica existența punctelor de inflexiune, este suficient să ne asigurăm că valoarea găsită (zero a derivatei a doua) satisface unul dintre criteriile suficiente . $f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Criteriul derivat al treilea:

Dacă și , atunci punctul este un punct de inflexiune. $f''(x_{0})=0$ $f'''(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$
Dacă și , atunci nu se poate trage nicio concluzie despre acest subiect . $f''(x_{0})=0$ $f'''(x_{0})=0$ $x_{0}$

Criteriul pentru derivata a doua:

Dacă și își schimbă semnul la trecerea prin punctul , atunci este un punct de inflexiune. $f''(x_{0})=0$ $f''(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$
Dacă și nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul , atunci nu este un punct de inflexiune. $f''(x_{0})=0$ $f''(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

De exemplu, pentru a găsi punctele de inflexiune ale unei funcții , se efectuează următoarele calcule: $f(x)=x^{3}+2x^{2}$

f'(x)=3x^{2}+4x,\quad f''(x)=6x+4,\quad f'''(x)=6.

Deoarece la și , atunci există un punct de inflexiune. $f''(x)=0$ $x=-{\frac {2}{3}}$ $f'''(-{\frac {2}{3)))=6\neq 0$ $x_{0}=-{\frac {2}{3}}$

În același timp, funcția nu are un punct de inflexiune la , în ciuda faptului că sunt îndeplinite următoarele condiții: $g(x)=x^{4}-x$ $x_{0}=0$

g'(x)=4x^{3}-1,\quad f''(x)=12x^{2},\quad f'''(x)=24x.

Deoarece pentru , dar , este necesar să se folosească criteriul pentru derivata a doua. Deoarece funcția poate lua numai valori pozitive, nu există nicio schimbare de semn, așa că funcția nu are un punct de inflexiune la . $g''(x)=0$ $x_{0}=0$ $g'''(0)=0$ ${\displaystyle g''(x)=12x^{2))$ $g(x)$ $x_{0}=0$

Legătura grafică între puncte singulare

Pentru a determina multiplicitatea zerourilor unei funcții polinomiale, se poate folosi faptul că orice funcție polinomială este diferențiabilă în mod multiplicator. Deci, dacă este zero al multiplicității (dar nu al multiplicității ) funcției polinomiale , atunci următoarele condiții sunt adevărate: $x_{0}$ $k$ $k+1$ $f(x)$

f(x_{0})=0,\quad f'(x_{0})=0,\quad f''(x_{0})=0,\quad \dotsc,\quad f^{ (k-1)}(x_{0})=0,\quad f^{(k)}(x_{0})\neq 0.

De exemplu, pentru o funcție este adevărat: ; și . Deoarece , atunci este zero al funcției . Apoi rulează: , și . Astfel, este un zero al multiplicității 3! $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1$ $f'(x)=3x^{2}-6x+3$ $f''(x)=6x-6$ $f'''(x)=6$ $f(1)=1-3+3-1=0$ $x_{0}=1$ $f(x)$ $f'(1)=3-6+3=0$ $f''(1)=6-6=0$ $f'''(1)=6\neq 0$ $x_{0}=1$

Multiplicitatea zerourilor poate fi văzută din graficul funcției polinomiale:

În cazul multiplicității zero 1, graficul funcției traversează axa x . În același timp, nu există nicio modificare a monotonității funcției în punctul , deoarece derivata a doua în acest punct nu este egală cu zero! $x_{0}$ $x_{0}$
Dacă zero are o multiplicitate pară de 2, 4, 6 etc., atunci este evident că și . Astfel, graficul funcției va atinge axa x în punctul , având în el un extremum . Monotonitatea funcției în se va schimba. $x_{0}$ $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$ $x_{0}$
Dacă zero are o multiplicitate impară de 3, 5, 7 etc., atunci, având în vedere , și , graficul funcției va avea un punct de inflexiune („ punct de șa ”). Monotonitatea funcției în nu se va schimba. $x_{0}$ $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})=0$ $f'''(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$ $x_{0}$

Literatură

Shneider V. E. et al. Funcții întregi și fracționale-raționale // Un scurt curs de matematică superioară. - M . : „Școala superioară”, 1972. - S. 27-28. — 640 p.

Gelfand I.M., Glagoleva E.G., Shnol E.E. Polinoame // Funcții și grafice (tehnici de bază). — M .: MTSNMO , 2006. — 120 p. — ISBN 5-94057-131-X .

Lothar papula. Ganzrationale Funktionen // Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: [ Germană. ] . - Wiesbaden : Vieweg + Teubner, 2009. - T. 1. - S. 190-212. — ISBN 978-3-8348-0545-4 .

Stephen Bucher. Ganzrationale Funktionen höheren Grade // Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker: [ Germană. ] . - München: Cal Hanser Verlag, 2016. - P. 106-114. - ISBN 978-3-446-44244-3 .

Link -uri

Derivată funcției de putere // math24.ru