Succesiunea numerică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 septembrie 2020; verificările necesită 7 modificări .

O secvență numerică (mai devreme în literatura de matematică în limba rusă exista o variantă de termen [1] [2] , aparținând lui Sh. Mere [1] ) este o succesiune de numere .

Secvențele numerice sunt unul dintre principalele obiecte de luat în considerare în analiza matematică .

Definiție

Fie fie multimea numerelor reale , fie multimea numerelor complexe . Apoi succesiunea de elemente ale mulțimii se numește șir numeric . $X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}$ $X$

Exemple

Funcția este o succesiune infinită de numere întregi . Elementele acestei secvențe, începând de la prima, au forma . $\left((-1)^{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle$
Funcția este o succesiune infinită de numere raționale . Elementele acestei secvențe, începând de la prima, au forma . $(1/n)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle$

Operații pe secvențe

Pe setul tuturor secvențelor de elemente ale mulțimii , pot fi definite operații aritmetice și alte operații , dacă sunt definite pe mulțime . Astfel de operații sunt de obicei definite într-un mod natural, adică element cu element. $X$ $X$

Lăsați operația -ary să fie definită pe mulțime : $X$ $N$ $f$

f\coloan X^{N}\rightarrow X

Apoi, pentru elementele , , …, mulțimea tuturor secvențelor de elemente ale mulțimii, operația va fi definită după cum urmează: $x_{1}=(x_{{1n)))_{{n=1}}^{\infty }$ $x_{2}=(x_{{2n)))_{{n=1}}^{\infty }$ $x_{N}=(x_{{Nn)))_{{n=1}}^{\infty }$ $X$ $f$

f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\right)=(f\left(x_{{1n}},x_{{2n}},\cdots ,x_{{ Nn}}\right))_{{n=1}}^{\infty }

De exemplu, așa sunt definite operațiile aritmetice pentru secvențele numerice.

Suma șirurilor de numereesteo secvență de numereastfel încât $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}+y_{n}$

Diferența de secvențe numericeesteo secvență numericăastfel încât. $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}-y_{n}$

Produsul secvențelor numericeesteo secvență numericăastfel încât. $x_{n}$ $y_{n}$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$

Secvența de numere șisecvența de numere private , ale căror elemente sunt diferite dezero, se numesc o secvență de numere. Dacă există încă un element zero în secvențăla poziție, atunci rezultatul împărțirii printr-o astfel de secvență poate fi totuși definit ca șirul. $x_{n}$ $y_{n}$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{\infty }$ $y_{n}$ $k\neq 1$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{{k-1}}$

Desigur, operațiile aritmetice pot fi definite nu numai pe setul de secvențe numerice, ci și pe orice seturi de secvențe de elemente de set pe care sunt definite operații aritmetice, fie că este vorba de câmpuri sau chiar inele .

Subsecvențe

O subsecvență a unei secvențe este o secvență, unde este o secvență crescătoare de elemente ale mulțimii numerelor naturale. $(x_{n})$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Cu alte cuvinte, o subsecvență se obține dintr-o secvență prin eliminarea unui număr finit sau numărabil de elemente.

Exemple

Sirul numerelor prime este o subsecventa a sirului numerelor naturale.
Secvența numerelor naturale care sunt multipli ai lui 12 este o subsecvență a șirului numerelor naturale pare .

Proprietăți

Fiecare secvență este propria sa subsecvență.
Pentru orice urmarire este adevarat ca . $(x_{{k_{n}}})$ $\forall n\in \mathbb{N} \colon k_{n}\geqslant n$
O subsecvență a unei secvențe convergente converge la aceeași limită ca și secvența originală.
Dacă toate subsecvențele unei secvențe originale converg, atunci limitele lor sunt egale.
Orice subsecvență a unei secvențe infinit de mare este, de asemenea, infinit de mare.
Din orice secvență de numere nelimitată, se poate selecta o subsecvență infinit de mare, toate elementele care au un anumit semn.
Din orice succesiune numerică, se poate selecta fie o subsecvență convergentă, fie o subsecvență infinit de mare, toate elementele cărora au un anumit semn.

Punct limită al unei secvențe

Un punct limită al unei secvențe este un punct din orice vecinătate din care există infinit de elemente ale acestei secvențe. Pentru secvențele numerice convergente, punctul limită coincide cu limita .

Limita secvenței

Limita unei secvențe este obiectul pe care membrii secvenței îl abordează pe măsură ce numărul crește. Astfel, într-un spațiu topologic arbitrarlimita unei secvențe este un element în orice vecinătate a căruia se află toți membrii secvenței, începând cu unul. În special, pentru secvențele numerice, limita este un număr în orice vecinătate din care se află toți membrii secvenței, începând de la unul.

O limită parțială a unei secvențe este limita uneia dintre subsecvențele sale. Pentru secvențele numerice convergente, aceasta coincide întotdeauna cu limita obișnuită.

Limita superioară a unei secvențe este punctul limită cel mai înalt al acelei secvențe.

Limita inferioară a unei secvențe este cel mai mic punct limită al acelei secvențe.

Unele tipuri de secvențe

O secvență staționară este o secvență în care toți membrii, începând de la unii, sunt egali. $(x_{n})$ staționar . $\Leftrightarrow \left(\există N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\ geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)$

Secvențe restricționate și nerestricționate

Sub ipoteza unei ordonari liniare a multimii elementelor unei secvente, se pot introduce conceptele de secvente marginite si nemarginite. $X$

O secvență mărginită este o secvență de elemente ale mulțimii, toți ai căror membri nu depășesc un element din această mulțime. Acest element se numește limita superioară a secvenței date. $X$ $(x_{n})$ mărginit deasupra . $\Leftrightarrow \exists M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\leqslant M$
O secvență mărginită mai jos este o secvență de elemente ale mulțimiipentru care există un element în această mulțime care nu depășește toți membrii săi. Acest element se numește infimul secvenței date. $X$ $(x_{n})$ mărginit de jos . $\Leftrightarrow \exists m\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\geqslant m$
O secvență mărginită ( mărginită pe ambele părți ) este o secvență mărginită atât deasupra cât și dedesubt. $(x_{n})$ limitat . $\Leftrightarrow \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M$
O secvență nemărginită este o secvență care nu este mărginită. $(x_{n})$ nelimitat . $\Leftrightarrow \forall m,M\in X~\exists n\in \mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\ dreapta)$

Criteriul de mărginire a unei secvențe numerice

O secvență numerică este mărginită dacă și numai dacă există un astfel de număr încât valorile absolute ale tuturor membrilor secvenței să nu-l depășească.

(x_{n})

limitat .

\Leftrightarrow \exists A\in \mathbb{R} ~\forall n\in \mathbb{N} \colon |x_{n}|\leqslant A

Proprietăți ale secvențelor mărginite

O secvență numerică cu mărgini superioare are infinit de limite superioare.
O succesiune numerică mărginită de jos are infinite de limite inferioare.
O secvență mărginită are cel puțin un punct limită .
O secvență mărginită are o limită superioară și inferioară .
Pentru orice număr pozitiv luat în avans, toate elementele succesiunii numerice limitate , începând de la un număr în funcție de , se află în intervalul . $\varepsilon$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}+\varepsilon \right)$
Dacă numai un număr finit de elemente dintr-o succesiune numerică limitată se află în afara intervalului , atunci intervalul este conținut în interval . $\left(a,b\dreapta)$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n},\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}\right)$ $\left(a,b\dreapta)$
Teorema Bolzano- Weierstrass este valabilă . Din orice șir mărginit, se poate distinge o subsecvență convergentă.

Secvențe infinitezimale și infinitezimale

O secvență infinitezimală este o secvență a cărei limită este zero .
O secvență infinit de mare este o secvență a cărei limită este infinitul .

Proprietăți ale secvențelor infinitezimale

Secvențele infinit de mici au o serie de proprietăți remarcabile care sunt utilizate în mod activ în calcul , precum și în discipline conexe și mai generale.

Suma a două secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.
Diferența a două secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.
Suma algebrică a oricărui număr finit de secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.
Produsul unei secvențe mărginite și o secvență infinitezimală este o secvență infinitezimală.
Produsul oricărui număr finit de secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.
Orice succesiune infinitezimală este mărginită.
Dacă succesiunea staționară este infinit de mică, atunci toate elementele sale, începând de la unele, sunt egale cu zero.
Dacă întreaga secvență infinitezimală constă din elemente identice, atunci aceste elemente sunt zerouri.
Dacă este o secvență infinit de mare care nu conține termeni zero, atunci există o secvență infinit de mică. Dacă încă conține zero elemente, atunci secvența poate fi totuși definită pornind de la un număr , și totuși să fie infinitezimală. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $n$
Dacă este o secvență infinitezimală care nu conține termeni zero, atunci există o secvență care este infinit de mare. Dacă încă conține zero elemente, atunci secvența poate fi încă definită pornind de la un număr și va fi în continuare infinit de mare. $(\alpha _{n})$ $(1/\alpha _{n})$ $(\alpha _{n})$ $(1/\alpha _{n})$ $n$

Secvențe convergente și divergente

O secvență convergentă este o secvență de elemente dintr-o mulțimecare are o limită în această mulțime. $X$
O secvență divergentă este o secvență care nu este convergentă.

Proprietățile secvențelor convergente

Fiecare succesiune infinitezimală este convergentă. Limita sa este zero .
Eliminarea oricărui număr finit de elemente dintr-o secvență infinită nu afectează nici convergența, nici limita acelei secvențe.
Orice succesiune convergentă de elemente ale unui spațiu Hausdorff are o singură limită.
Orice șir convergent este mărginit. Cu toate acestea, nu toate șirurile mărginite converg.
O secvență converge dacă și numai dacă este mărginită și limitele ei superioare și inferioare coincid.
Dacă șirul converge, dar nu este infinit de mic, atunci, pornind de la un număr, se definește o secvență care este mărginită. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$
Suma secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.
Diferența secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.
Produsul secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.
Coeficientul a două secvențe convergente este definit pornind de la un element, cu excepția cazului în care a doua secvență este infinitezimală. Dacă este definit câtul a două secvențe convergente, atunci este o secvență convergentă.
Dacă o secvență convergentă este mărginită mai jos, atunci niciuna dintre limitele sale inferioare nu depășește limita.
Dacă o secvență convergentă este mărginită de sus, atunci limita sa nu depășește niciuna dintre limitele sale superioare.
Dacă pentru orice număr termenii unei secvențe convergente nu depășesc termenii unei alte secvențe convergente, atunci limita primei secvențe nu depășește nici limita celei de-a doua.
Dacă toate elementele unei anumite secvențe, începând de la un anumit număr, se află pe segmentul dintre elementele corespunzătoare ale altor două secvențe care converg către aceeași limită, atunci și această secvență converge către aceeași limită.
Orice succesiune convergentă poate fi reprezentată ca , unde este limita șirului și este o secvență infinitezimală. $(x_{n})$ $(x_{n})=(a+\alpha _{n})$ $A$ $(x_{n})$ $\alpha_{n}$
Fiecare succesiune convergentă este fundamentală . Mai mult, șirul numeric fundamental converge întotdeauna (la fel ca și orice succesiune fundamentală de elemente ale spațiului complet).

Secvențe monotone

O secvență monotonă este o secvență care nu crește sau nu descrește. Se presupune că pe mulțimea din care sunt luate elementele șirului se introduce relația de ordine .

Secvențe fundamentale

O secvență fundamentală ( secvență auto-convergentă , succesiune Cauchy ) este o succesiune de elemente ale unui spațiu metric în care, pentru orice distanță predeterminată, există un astfel de element, distanța de la care până la oricare dintre elementele care îl urmează nu depășește dat unul. Pentru secvențele numerice, conceptele de secvențe fundamentale și convergente sunt echivalente, dar în cazul general nu este cazul.

Note

↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Cursul calculului diferențial și integral / Ed. al 7-lea, stereotip. - M . : Nauka , 1969. - T. 1. - S. 44. - 608 p.
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Dicționar matematic explicativ. Termeni de bază: aproximativ 2500 de termeni / Ed. Ph.D. A. P. Savina. - M . : Limba rusă , 1989. - S. 16 . — 244 p. — ISBN 5-200-01253-8 .

Vezi și

Enciclopedia secvențelor întregi

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux