Notarea analizei

Notația de analiză este un sistem de notație matematică utilizat în analiza matematică , cu diferite școli de matematică folosind diferite notații pentru derivate de funcții sau variabile . Utilizarea uneia sau alteia notații depinde de context și o desemnare poate fi mai convenabilă decât altele într-un anumit caz. Notația cea mai des folosită este Leibniz , Lagrange , Euler , Newton sunt de asemenea utilizate pe scară largă .

Notație Leibniz

Notația originală, folosită de Gottfried Wilhelm Leibniz , este folosită peste tot de matematicieni. Este util mai ales atunci când expresia este considerată ca o relație funcțională între variabile și . Notația Leibniz face această conexiune explicită scriind derivata ca $y=f(x)$ $y$ $X$

{\frac {dy}{dx}}.

Se scrie apoi funcția a cărei valoare la x este derivata lui f față de x

{\frac {df}{dx}}(x){\text{ sau }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ sau }}{\frac {d}{ dx}}f(x).

Derivatele de ordin superior sunt scrise ca

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{ 4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.

Este ca o manipulare formală a caracterului

{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2} y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

În general, aceste egalități nu sunt teoreme . Mai mult, sunt doar definiții de notație. În plus, aplicarea regulii de calcul a derivatei unei fracții la notația de mai sus folosind dd, care nu trebuie confundat cu d 2 , dă

{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {ddy}{dx^{2}}}-{\frac {dy }{dx}}{\frac {ddx}{dx^{2}}}.

Valoarea derivatei lui y într-un punct poate fi exprimată folosind notația Leibniz în două moduri: $x=a$

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ sau }}{\frac {dy}{dx}}(a)

Notația Leibniz vă permite să specificați variabila în funcție de care se realizează diferențierea (în numitor). Acest lucru este util în special atunci când sunt luate în considerare derivatele parțiale . De asemenea, ușurează reținerea și recunoașterea regulii de diferențiere a funcției compuse :

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

Notația Leibniz pentru diferențiere nu necesită acordarea unui sens special unor simboluri precum sau și unii autori nu încearcă să dea acestor simboluri vreo semnificație. Leibniz a interpretat aceste simboluri ca mărimi infinitezimale . Autorii de mai târziu le-au dat alte semnificații, cum ar fi infinitezimale în analiza non-standard sau derivate exterioare . $dx$ $dy$

Unii autori și reviste folosesc simbolul de diferențiere literal d în loc de cursive , adică d x . Standardul ISO/IEC 80000 recomandă acest stil.

Notația Leibniz pentru antiderivată

Pentru funcții de 2 sau mai multe variabile, vezi Integrală multiplă

Leibniz a introdus semnul integral în Analyseos tetragonisticae pars secunda și Methodi tangentium inversae exempla (ambele 1675). Semnul a devenit simbolul standard pentru integrare . $\int$

{\begin{aliniat}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\ ,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right) dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x) \,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}

Notație Lagrange

Una dintre cele mai comune notații de diferențiere este numită după Joseph Louis Lagrange , deși Euler a introdus-o de fapt , iar Lagrange pur și simplu a făcut notația populară. În notația lui Lagrange, primul înseamnă derivată. Dacă f este o funcție, atunci derivata sa a lui x se scrie ca

f'(x)

Notația a apărut tipărit în 1749 [1] .

Derivatele de ordin superior sunt afișate cu semne suplimentare, pentru derivata a doua și pentru derivata a treia . Utilizarea mai multor lovituri duce mai devreme sau mai târziu la expresii greoaie. Unii autori continuă să folosească numere romane , de obicei cu litere mici [2] [3] ca mai jos $f''(x)$ $f'''(x)$

f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots,

pentru a desemna derivatele a patra, a cincea, a șasea și superioare. Alți autori folosesc cifre arabe între paranteze, ca mai jos

f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .

Această notație face posibilă scrierea a n- a derivată, unde n este o variabilă. Se face așa

f^{(n)}(x).

Caractere Unicode pentru notația Lagrange:

U+2032 ◌′ cursă (derivat)
U+2033 ◌″ prim dublu (derivată a doua)
U+2034 ◌‴ prim triplu (derivată a treia)
U+2057 ◌⁗ cvadruplu prim (derivată a patra)

Dacă există două variabile independente pentru funcția f ( x , y ), pot fi urmate următoarele convenții [4] :

{\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {df}{dx}}=f_{x}\\f_{\prime }&={\frac {df}{dy} }=f_{y}\\f^{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dx^{2))}=f_{xx}\\f_{\prime }^ {\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))\ =f_{xy}\\f_{\prime \prime }&={\frac {d^ {2}f}{dy^{2}}}=f_{aa}\end{aliniat}}

Notație Lagrange pentru antiderivată

Pentru a desemna antiderivată, Lagrange a urmat notația lui Leibniz [5] :

f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.

Cu toate acestea, deoarece integrarea este inversul luării unei derivate, notația lui Lagrange pentru derivatele de mari puteri se extinde și la integrare. Integrale multiple ale lui f pot fi scrise ca

f^{(-1)}(x)

pentru integrala ordinară (a nu se confunda cu funcția inversă ),

f^{-1}(x)

f^{(-2)}(x)

pentru integrala dubla,

f^{(-3)}(x)

pentru integrala triplă

f^{(-n)}(x)

pentru o integrală de n ori.

Notația Euler

Notația Euler folosește operatorul diferențial propus de Louis-Francois-Antoine Arbogast , care are notația ( operator D ) [6] sau ( operator Newton-Leibniz ) [7] . Când este aplicat unei funcții , operatorul este definit ca $D$ ${\tilde {D}}$ $f(x)$

(Df)(x)={\frac {df(x)}{dx)).

Derivatele de ordin superior sunt notate ca „puteri” ale operatorului D (unde indicele denotă multiplicitatea operatorului D ) [4]

D^{2}f

pentru derivata a doua,

D^{3}f

pentru derivata a treia

D^{n}f

pentru derivata a n- a.

Notația Euler nu indică în mod explicit variabila în raport cu care se realizează diferențierea. Cu toate acestea, această variabilă poate fi specificată și în mod explicit. Dacă f este o funcție a unei variabile x , aceasta poate fi exprimată scriind [4]

D_{x}f

pentru prima derivată,

D_{x}^{2}f

pentru derivata a doua,

D_{x}^{3}f

pentru derivata a treia

D_{x}^{n}f

pentru derivata a n- a.

Dacă f este o funcție a mai multor variabile, este obișnuit să folosiți „ ∂ ” mai degrabă decât D. Ca mai sus, indicele înseamnă variabila în raport cu care se realizează diferențierea. De exemplu, derivatele a doua parțiale ale unei funcții f ( x , y ) sunt notate ca [4] :

\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2)}},

\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x)),

\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),

\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2)}}.

Vezi § Derivate parțiale .

Notația Euler este utilă pentru formularea și rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare , deoarece simplifică reprezentarea ecuațiilor diferențiale, permițând să se vadă mai ușor elementele esențiale ale problemei.

Notația lui Euler pentru antiderivată

Notația Euler poate fi folosită pentru antiderivată în același mod ca notația Lagrange [8] , după cum urmează [7]

D^{-1}f(x)

pentru primul primitiv,

D^{-2}f(x)

pentru a doua primitivă

D^{-n}f(x)

pentru a n- a antiderivată.

Notația lui Newton

Notația lui Newton pentru diferențiere plasează un punct peste variabila dependentă. Adică, dacă y este o funcție a lui t , atunci derivata lui y față de t este

{\punct {y}}

Derivatele de ordin superior sunt reprezentate prin mai multe puncte, ca mai jos

{\ddot {y}},{\overset {...}{y}}

Newton a răspândit această idee pe scară largă [9] :

{\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\ stânga({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d} {dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\{\overset { ...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3 }y=f'''(t)=y'''_{t}\\{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y }}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\ rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...} {y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y} {dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\{\overset {\, 6}{\punct {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{ 6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\{\overset {\,7}{\ punct {y}}}&={\punct {\overset {...}{\overset {...}{y))))\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{ 7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\{\overset {\,10}{\ punct {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}  \equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^ {(10)}\\{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t} ^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aliniat}}

Caractere Unicode pentru notația Newton:

U+0307 ◌˙ punct de sus (derivat)
U+0308 ◌̈ două puncte de sus (derivată a doua)
U+20DB ◌⃛ trei puncte de sus (derivată a treia).
U+20DC ◌⃜ patru puncte de sus (derivată a patra).
U+030D ◌̍ cursă superioară (integrală)
U+030E ◌̎ două timpi deasupra (integrală dublă)
U+25AD ▭ dreptunghi alb (integral)
U+20DE ◌⃞ pătrat ambiental (integral)
U+1DE0 ◌ᷠ ( derivata a n-a )

Notația Newton este folosită mai ales atunci când timpul este variabila independentă . Dacă poziția y este o funcție a timpului t , atunci denotă viteza [10] , și denotă accelerația [11] . Această notație este populară în fizică și fizică matematică . Ea apare, de asemenea, în domenii matematice legate de fizică, cum ar fi ecuațiile diferențiale . Notația este populară numai pentru prima și a doua derivată, dar derivatele de ordin superior nu sunt necesare în aceste aplicații. ${\punct {y}}$ ${\ddot {y)}$

Când se ia derivata variabilei dependente , există o notație alternativă [12] : $y=f(x)$

{\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}: {\frac {dx}{dt))={\frac {\frac {dy}{dt)){\frac {dx}{dt))}={\frac {dy}{dx))={\frac {d}{dx)){\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.

Newton a dezvoltat următorii operatori de derivate parțiale pe baza punctului de pe latura curbei X (ⵋ). Definițiile date de Whiteside sunt următoarele [13] [14] :

{\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\ partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}= yf_{y}\,,\\\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ sau }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right) \ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}=x^{2}f_{xx}\,,\\{\mathcal { X}}\colon \,{\text{ sau }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))=xyf_{xy}\,,\end{aliniat))

Notația lui Newton pentru integrare

Newton a dezvoltat multe notații diferite pentru integrare în Quadratura curvarum (1704) și mai târziu — el a scris o bară sau liniuță verticală mică deasupra unei variabile dependente ( ), o casetă în fața unei variabile ( ) sau box ( y ) pentru indicați modificarea sau integrala de timp. ${\overset {\,\prime {y)}$ ${\Box }y$

{\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t} ^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y))&=\ Caseta y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}

Pentru a desemna integrale multiple, Newton a folosit liniuțe verticale mici ( ) sau o combinație de simboluri pre-litere pentru a desemna o integrală dublă în timp. ${\overset {\,\prime \prime {y)}$ ${\Box }{\overset {\,\prime }{y)}$ ${\overset {\,\prime {y)}$

{\overset {\,\prime \prime }{y)}=\Box {\overset {\,\prime }{y)}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y} }\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}

Integralele superioare de-a lungul timpului au fost după cum urmează [15] :

{\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y)}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y)}\equiv \int { \overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\ {\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y))&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y))\equiv \int {\overset {\, \prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y))}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y))}\equiv \ int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y))}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y= S(t)+C_{n}\end{aliniat}}

Aceste notații matematice nu au intrat în uz general din cauza dificultății tipăririi și a disputei lui Newton și Leibniz cu privire la precedență .

Derivate parțiale

Atunci când sunt necesare tipuri mai specifice de diferențiere, cum ar fi analiza funcțiilor multor variabile sau analiza tensorială , alte notații sunt utilizate în mod obișnuit.

Având în vedere o funcție f a variabilei independente x , putem exprima derivata folosind indicele ca variabilă independentă:

{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2} }}.\end{aliniat}}

Acest tip de notație este util în special pentru a desemna derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile.

Derivatele parțiale se disting de obicei de derivatele obișnuite prin înlocuirea operatorului de diferențiere d cu simbolul „ ∂ ”. De exemplu, putem exprima derivata parțială față de x , dar nu față de y sau z în mai multe moduri: $f(x,y,z)$

{\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.

Ceea ce face ca această diferență în notație să fie importantă este faptul că o derivată simplă (nu un coeficient) cum ar fi poate , în funcție de context, să fie interpretată ca rata de modificare de la momentul în care toate celelalte variabile se pot schimba în același timp, în timp ce pentru o derivată de cot. , cum ar fi , doar o variabilă se poate modifica. $\textstyle {\frac {df}{dx)}$ $f$ $X$ $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x)}$

Alte notații pot fi găsite în diferite subdomenii ale matematicii, fizicii și ingineriei. A se vedea, de exemplu, relațiile lui Maxwell de termodinamică . Simbolul este derivata temperaturii T în raport cu volumul V menținând constantă entropia (indicele) S , în timp ce este derivata temperaturii în raport cu volumul menținând presiunea constantă P . Acest lucru devine necesar în situațiile în care numărul de variabile depășește numărul de grade de libertate, așa că trebuie să alegeți ce variabile să păstrați constante. $\left({\frac {\partial T}{\partial V)}\right)_{\!S}$ $\left({\frac {\partial T}{\partial V)}\right)_{\!P)$

Derivatele parțiale mai mari în raport cu o variabilă sunt exprimate ca

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2)}}=f_{xx},

{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3)}}=f_{xxx},

si asa mai departe. Derivatele parțiale mixte pot fi exprimate ca

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x)}=f_{xy}.

În acest ultim caz, variabilele sunt scrise în ordine inversă pentru cele două notații:

(f_{x})_{y}=f_{xy},

{\frac {\partial }{\partial y))\!\left({\frac {\partial f}{\partial x))\right)={\frac {\partial ^{2}f }{\partial y\partial x)).

Așa-numitul multi -index este folosit în situațiile în care notația de mai sus devine greoaie sau nu suficient de expresivă. Dacă luăm în considerare funcțiile pe , definim un multi-index ca o listă ordonată de numere întregi nenegative: . Să definim acum notația $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ $\alpha =(\alpha _{1},..,\alpha _{n}),\\alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0)$ $f:\mathbb {R} ^{n}\la X$

$\partial ^{\alpha}f={\frac {\partial ^{\alpha _{1)}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1)}})\cdots {\ frac {\partial ^{\alpha _{n))}{\partial x_{n}^{\alpha _{n))))f$

Cu această definiție, unele rezultate (cum ar fi formula Leibniz ), care altfel sunt greu de scris, pot fi exprimate concis. Câteva exemple pot fi găsite în articolul multi-index [16] .

Notarea în analiza vectorială

Analiza vectorială se ocupă cu luarea derivatei și integrarea unui câmp vectorial sau scalar . Pentru cazul unui spațiu euclidian tridimensional , sunt utilizate în mod obișnuit unele notații.

Să presupunem că este un sistem de coordonate carteziene dat , A este un câmp vectorial cu componente și este un câmp scalar . $(x,y,z)$ $\mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})$ $\varphi =\varphi(x,y,z)$

Operatorul de diferențiere introdus de William Rowan Hamilton , scris și numit nabla , este definit simbolic ca un vector, $\nabla$

\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x)), {\frac {\partial }{\partial y)), {\frac {\partial }{\partial z)} \dreapta)\!,

Aici expresia „în formă simbolică” reflectă faptul că operatorul poate fi tratat ca un vector obișnuit. $\nabla$

Gradient : gradientulcâmp scalareste un vector care este scris simbolic ca înmulțire cu un câmp scalar, $\mathrm {grad\,} \varphi$ $\varphi$ $\nabla$ $\varphi$

{\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x)), {\frac {\partial \varphi }{\partial y )),{\frac {\partial \varphi }{\partial z))\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{ \partial y)),{\frac {\partial }{\partial z))\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned))

Divergența : Divergențaunui câmp vectorial A este un scalar, care este exprimat simbolic ca produs scalar și vector A , $\mathrm {div} \,\mathbf {A}$ $\nabla$

{\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{ \partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z))\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned))

Operatorul Laplace : Laplacianulcâmp scalareste un scalar, care este exprimat simbolic ca înmulțire scalarăcu un câmp scalar, $\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi$ $\varphi$ $\nabla ^{2}$ $\varphi$

{\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\& =\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}

Rotație : Rotația, sau, a unui câmp vectorial A este un vector care este exprimat simbolic ca produs încrucișat și un vector A , $\mathrm {putrecerea} \,\mathbf {A}$ $\mathrm {putrecerea} \,\mathbf {A}$ $\nabla$

{\begin{aligned}\operatorname {rot} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y)}-{\partial A_{y} \over { \partial z)),{\partial A_{x} \over {\partial z))-{\partial A_{z} \over {\partial x)),{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{ y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\ mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x))&{\cfrac {\partial }{\partial y))&{\cfrac {\partial }{\partial z))\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix))\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}

Multe operații derivate simbolice pot fi generalizate într-un mod simplu folosind operatorul gradient în coordonate carteziene. De exemplu, regula produsului pentru o variabilă are o contrapartidă directă în produsul câmpurilor scalare prin aplicarea operatorului gradient

(fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).

Multe alte reguli din analiza unei singure variabile au omoloage în analiza vectorială pentru gradient, divergență, rotație și Laplacian.

Mai mult, notația a evoluat pentru tipuri mai exotice de spații. Pentru calculele în spațiul Minkowski , operatorul d'Alembert , numit și operatorul d'Alembert sau undă, este scris ca sau ca, dacă nu există un conflict cu simbolul laplacian. $\Cutie$ $\Delta$

Vezi și

Note

↑ Nova acta eruditorum : anno ... publicata, ... Año 1749. - Vizualizare completă | Biblioteca digitală HathiTrust . Preluat la 30 octombrie 2021. Arhivat din original la 28 octombrie 2021. (nedefinit)
↑ Morris, Stark, 2015 .
↑ Osborne, 1908 , p. 63-65.
↑ 1 2 3 4 De Morgan, 1842 , p. 267-268.
↑ Lagrange , Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
↑ Operatorul D - Diferenţial - Calcul - Referinţă matematică cu exemple lucrate . www.codecogs.com . Arhivat din original pe 19 ianuarie 2016. (nedefinit)
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. „Operator diferențial”. De la MathWorld --O resursă web Wolfram. Copie arhivată . Data accesului: 7 februarie 2016. Arhivat din original pe 21 ianuarie 2016. (nedefinit)
^ Weisstein, Eric W. „Repeated Integral” . De la MathWorld --O resursă web Wolfram. Copie arhivată . Data accesului: 7 februarie 2016. Arhivat din original la 1 februarie 2016. (nedefinit)
↑
Notația lui Newton luată din:
- Derivatele 1 - 5: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), p. 7 (p. 5r în MS original: Copie arhivată . Recuperat la 5 februarie 2016. Arhivat din original la 28 februarie 2016. (nedefinit) ).
- Derivatele 1-7 , n- a și ( n +1)-a: Method of Fluxions ( Newton , 1736), pp. 313-318 și p. 265 (pag. 163 în MS original: copie arhivată . Preluat la 5 februarie 2016. Arhivat din original la 6 aprilie 2017. (nedefinit) )
- Derivatele 1-5: A Treatise of Fluxions (Colin MacLaurin, 1742), p. 613
- Derivatele 1 - 4 și a n- a: intrările „Diferenţial” și „Fluxion” în Dicționarul de matematică pură și mixtă (Peter Barlow, 1814)
- 1 - a 4-a, a 10-a și a n- a derivate: articolele 622, 580 și 579 din A History of Mathematical Notations (F. Cajori, 1929)
- Derivatele 1 - 6 și a n- a: The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691-1695 (DT Whiteside, 1976), p. 88 și 17
- Derivatele 1 - 3 și a n- a: O istorie a analizei (Hans Niels Jahnke, 2000), pp. 84-85
Punctul pentru derivata a n- a poate fi omis ( ) ${\overset {\,n}{y)}$
^ Weisstein, Eric W. „Overdot” . De la MathWorld --O resursă web Wolfram. Copie arhivată . Consultat la 5 februarie 2016. Arhivat din original la 5 septembrie 2015. (nedefinit)
^ Weisstein , Eric W. „Double Dot”. De la MathWorld --O resursă web Wolfram. Copie arhivată . Data accesului: 5 februarie 2016. Arhivat din original pe 3 martie 2016. (nedefinit)
↑ Cajori, 1929 .
↑ Whiteside, 1961 , p. 361-362.378.
↑ S. I. Engelsman a dat definiții mai riguroase Engelsman (2000 , p. 223-226)
↑
Notația lui Newton pentru integrare este luată din:
- Integrale 1 - 3: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), p. 7 (p. 5r în MS original: copie arhivată . Recuperat la 5 februarie 2016. Arhivat din original la 28 februarie 2016. (nedefinit) )
- Integrale 1 - 3: Method of Fluxions ( Newton , 1736), pp. 265-266 (pag. 163 în MS original: copie arhivată . Recuperat la 5 februarie 2016. Arhivat din original la 6 aprilie 2017. (nedefinit) )
- Integrala a 4-a: Doctrina Fluxions (James Hodgson, 1736), pp. 54 și 72
- Integrale 1 și 2: articolele 622 și 365 din A History of Mathematical Notations (F. Cajori, 1929)
Notația a n- a integrală multiplă este derivată din derivata a n- a . Este posibil să fi fost folosit în Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)
↑ Tu, 2011 .

Literatură

Carla C. Morris, Robert M. Stark, 1930-2017. Fundamentele calculului . - Hoboken, New Jersey, 2015. - ISBN 9781119015314 .
George A. Osborne. Calcul diferențial și integral . - Boston: DC Heath and co., 1908. - pp . 63-65 .
( Augustus De Morgan . Calculul diferențial și integral. - 1842. - S. 267-268.
Dennis G. Zill. capitolul 1.1 // Un prim curs de ecuații diferențiale. - Belmont, CA , 2009. - P. 3. - ISBN 978-0-495-10824-5 .
Florian Cajori. Articolul 580 // O istorie a notațiilor matematice. - New York: Dover Publications, Inc., 1929. - ISBN 0-486-67766-4 .
Loring W Tu. O introducere în varietăți . - 2. - New York: Springer, 2011. - ISBN 978-1-4419-7400-6 .
D.T. Whiteside. Modele de gândire matematică în secolul al XVII-lea târziu // Arhiva pentru Istoria Științelor Exacte. - 1961. - T. 1,. - S. 361-362.378.
S. B. Engelsman. Familiile de curbe și originile diferențierii parțiale. - 2000. - S. 223-226.

Link

Primele utilizări ale simbolurilor calculului , întreținut de Jeff Miller ( Arhivat 6 iulie 2020. ).