Metode de integrare

Găsirea exactă a antiderivatei (sau a integralei ) a funcțiilor arbitrare este o procedură mai complicată decât „diferențierea”, adică găsirea derivatei . Adesea, este imposibil să se exprime integrala în funcții elementare .

Integrare directă

Integrarea directă este o metodă în care integrala, prin transformări identice ale integrandului (sau expresiei) și aplicând proprietățile integralei, se reduce la una sau mai multe integrale ale funcțiilor elementare .

Metoda substituției variabile (metoda substituției)

Metoda de integrare prin substituție constă în introducerea unei noi variabile de integrare. În acest caz, integrala dată este redusă la integrala funcției elementare sau redusă la aceasta.

Nu există metode generale de selectare a substituțiilor - capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.

Să fie necesar să se calculeze integrala Să facem o substituție unde este o funcție care are o derivată continuă . $\int F(x)dx.$ $x=\varphi (t),$ $\varphi (t)$

Apoi și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare integrală nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție: $dx=\varphi '(t)\cdot dt$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt.

Această metodă se mai numește și metoda semnului diferențial și se scrie astfel: funcția de vizualizare este integrată după cum urmează: $v(u(x))$

\int v(u(x))dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx))=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x))}.

Exemplu: Găsiți $\int x{\sqrt {x-3}}\,dx$

Soluție: Fie , atunci . ${\sqrt {x-3}}=t$ $x-3=t^{2},x=3+t^{2},dx=2tdt$

$\int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2} )dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t ^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {x-3}}^{5}+2{\sqrt {x-3}}^{3}+C$

În general, diferite substituții sunt adesea folosite pentru a calcula integralele care conțin radicali. Un alt exemplu este înlocuirea lui Abel

$t={d({\sqrt {x^{2}+px+q)}) \over dx},$

folosit pentru a calcula integralele formei

$\int {dx \over (x^{2}+px+q)^{m \over 2)),$

unde m este un număr natural [1] . Uneori se aplică substituții Euler . Vezi, de asemenea, integrarea binomială diferenţială de mai jos .

Integrarea unor funcții trigonometrice

Fie necesar să se integreze expresia , unde R este o funcție rațională a două variabile. Este convenabil să se calculeze o astfel de integrală prin metoda substituției: $R(\sin x,\cos x)$

dacă , atunci se aplică substituția [2] ; $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\cos x$
dacă , atunci se aplică substituția [2] ; $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\sinx$
dacă , atunci se aplică substituția [3] . $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ $t=\operatorname {tg} x$

Un caz special al acestei reguli:

$\int \sin ^{m}x\cdot \cos ^{n}x\cdot dx$

Alegerea înlocuirii se face după cum urmează:

dacă m este impar și pozitiv, este mai convenabil să se facă o substituție ; $\cos x=t$
dacă n este impar și pozitiv, este mai convenabil să se facă o substituție ; $\sin x=t$
dacă atât n cât și m sunt pare, este mai convenabil să se facă o substituție . $\operatorname {tg} x=t$

Exemplu: . $I=\int \sin ^{2}x\cdot \cos x\cdot dx$

Rezolvare: Fie ; atunci și , unde C este orice constantă. $\sin x=t$ $\cos x\cdot dx=dt$ $I=\int t^{2}dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C$

Integrarea binomului diferential

Pentru a calcula integrala binomului diferential

I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,

unde a , b sunt numere reale , a m , n , p sunt numere raționale , metoda substituției este folosită și în următoarele trei cazuri:

$p$ este un număr întreg. Se folosește substituția , este numitorul comun al fracțiilor și ; $x=t^{k}$ $k$ $m$ $n$
${\frac {m+1}{n))$ este un număr întreg. Se folosește substituția , este numitorul fracției . $a+bx^{n}=t^{s}$ $s$ $p$
$p+{\frac {m+1}{n}}$ este un număr întreg. Se folosește substituția , este numitorul fracției . $ax^{{-n}}+b=t^{s}$ $s$ $p$

În alte cazuri, așa cum a arătat P. L. Chebyshev în 1853 , această integrală nu este exprimată în funcții elementare [4] .

Integrare pe părți

Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă pentru integrare:

\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.

\int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.

În special, prin aplicarea acestei formule de n ori, găsim integrala

\int P_{{n+1}}(x)e^{x}\,dx,

unde este un polinom de gradul al treilea. $P_{{n+1}}(x)$ $(n+1)$

Exemplu: Găsiți integrala . $\int x\cdot \ln x\,dx$

Rezolvare: Pentru a găsi această integrală, aplicăm metoda integrării pe părți, pentru aceasta vom presupune că și , apoi, conform formulei de integrare pe părți, obținem $u=\ln x\Rightarrow \displaystyle {du={\frac {dx}{x}))$ $dv=xdx\Rightarrow \int dv=\int xdx\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}$ $\int x\cdot \ln xdx={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {1}{2}}\int x^{2}\cdot { \frac {dx}{x}}={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

Integrarea fracțiilor raționale

Integrala nedefinită a oricărei fracții raționale pe orice interval în care numitorul fracției nu dispare există și se exprimă în termeni de funcții elementare, și anume, este suma algebrică a suprapunerii fracțiilor raționale, arctangente și logaritmi raționali.

Metoda în sine constă în descompunerea unei fracții raționale într-o sumă de fracții simple.

Orice fracție rațională proprie al cărei numitor este factorizat ${\tfrac {P(x)}{Q(x)))$

Q(x)=\prod _{{i=1}}^{{n}}(x-x_{i})^{{k_{i}}}\cdot \prod _{{j=1}} ^{{m}}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{{s_{j}}}

poate fi reprezentat (și unic) ca următoarea sumă de fracții simple:

{\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{{i=1}}^{{n}}{\sum _{{j=1}}^{{k_{n ))}{{\frac {A_{{ij}}}{(x-x_{i})^{j}}}}}+\sum _{{l=1}}^{{m}}{ \sum _{{t=1}}^{{s_{m}}}{{\frac {\alpha _{{lt}}+\beta _{{lt}}x}{(x^{2} +p_{l}x+q_{l})^{t}}}}}

unde sunt niște coeficienți reali, de obicei calculați folosind metoda coeficienților nedeterminați . $A_{{ij}},\alpha _{{lt}},\beta _{{lt}}$

Exemplu : $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.$

Soluție: extindem integralul în fracții simple:

${\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)))={\frac {\alpha }{( x-3)))+{\frac {\beta }{(x+3)))$

Grupăm termenii și echivalăm coeficienții termenilor cu aceleași puteri:

$\alpha (x+3)+\beta (x-3)=2x+3$

$(\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3$

prin urmare ${\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases)),{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2 }}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cazuri}}$

Apoi

{\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {{\frac {3}{2}}}{x-3}}+{\frac {{\frac {1 }{2}}}{x+3}}

Acum este ușor să calculați integrala inițială $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{ \frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2 }}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C$

Integrarea funcțiilor elementare

Pentru a găsi antiderivata unei funcții elementare ca funcție elementară (sau a determina că antiderivata nu este elementară), a fost dezvoltat algoritmul Risch. Este implementat integral sau parțial în multe sisteme de algebră computerizată .

Vezi și

Note

↑ Vinogradova I. A., Olehnik S. N., Sadovnichiy V. A. Sarcini și exerciții de analiză matematică. Cartea 1. - Ed. a II-a. - M . : Şcoala superioară , 2000. - S. 213.
↑ 1 2 Vezi justificarea în carte: I. M. Uvarenkov, M. Z. Maller. Curs de analiză matematică. - M . : Educaţie , 1966. - T. 1. - S. 459-460.
↑ Vezi justificarea în carte: V. A. Ilyin, E. G. Poznyak. Fundamentele analizei matematice. - Ed. a II-a. - M . : Nauka , 1967. - P. 219. - (Curs de matematică superioară și fizică matematică).
↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (franceză) // Journal de mathématiques pures et appliquées :revistă. - 1853. - Vol. XVIII . - P. 87-111 .

Link -uri

Wolfram Integrator - calcularea integralelor online folosind Mathematica
Asistent matematic pe Web - calcule simbolice online
Calculator online de integrale

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale