Octamino

Octamino  - poliomino cu opt celule , adică figuri plate formate din opt pătrate egale conectate prin laturi. Cu cifrele octamino, ca și cu toate poliomino-urile, există multe probleme ale matematicii distractive.

Dacă nu numărăm diferitele figuri care coincid în timpul rotațiilor și reflexiile în oglindă, atunci există 369 de forme diferite ("libere") de octamino (vezi figura) [1] . Există 704 tipuri de octamino „unilateral” (dacă reflexiile în oglindă sunt considerate cifre diferite) și 2725 de tipuri de octamino „fixe” (întoarcerile sunt, de asemenea, considerate diferite) [2] .

Clasificarea figurilor octamino în funcție de proprietățile lor de simetrie

369 de figuri octamino libere în funcție de proprietățile lor de simetrie pot fi împărțite în 8 categorii:

• 316 cifre octamino (prezentate cu gri în figură) sunt asimetrice;
• 23 octamino (reprezentați cu roșu) au o axă de simetrie paralelă cu liniile rețelei pătrate;
• 5 octamino (reprezentați în verde) au o axă diagonală de simetrie;
• Cele 18 octamino (prezentate cu albastru) au simetrie centrală (de rotație) de ordinul doi;
• 1 octamino (ilustrat cu galben) au o simetrie centrală (de rotație) de ordinul al patrulea;
• 4 octamino (reprezentat în violet) au două axe de simetrie paralele cu liniile grilei;
• 1 octamino (prezentat în portocaliu) are două axe diagonale de simetrie.
• 1 octamino (reprezentat în albastru-verde) are patru axe de simetrie - două paralele cu liniile grilei și două diagonale.

Octamino este cea mai mică ordine de poliomino în care sunt realizate toate cele opt tipuri posibile de simetrie. Următorul ordin de poliomino cu această proprietate este dodecamino (douăsprezece celule poliomino).

Dacă imaginile în oglindă ale figurilor sunt considerate diferite, atunci prima, a patra și a cincea categorii sunt dublate ca număr, ceea ce oferă un număr suplimentar de 335 octamino, adică un total de 704 octamino unilateral.

Dacă rotațiile sunt, de asemenea, considerate ca cifre diferite, atunci

• figurile din prima categorie pot fi orientate în opt moduri diferite;
• cifre din categorii de la a doua la a patra - patru;
• cifre din categoriile cinci până la șapte - doi;
• singura figură din ultima categorie poate fi orientată într-un mod unic.

Acest lucru dă octamino fix.

Desen figuri din octamino

Printre cei 369 de octamino liberi sunt 6 figurine cu gauri ("non-simply connected"). De aici rezultă că o acoperire completă a oricărui dreptunghi cu o zonă de pătrate de către un set complet de octamino este imposibilă. Cu toate acestea, ele pot fi stivuite în unele dreptunghiuri cu o suprafață de 2958 pătrate cu șase găuri cu o celulă. Deoarece numărul 2958 este un produs al factorilor primi 2×3×17×29, putem pune problema întocmirii dreptunghiurilor 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 și 51×58.

Pentru un dreptunghi de 51×58, există o soluție cu un aranjament simetric de găuri, prezentată în figură. Există, de asemenea, o stivuire de octamino în trei dreptunghiuri de 29x34, fiecare cu două găuri în apropierea centrului. Combinându-le în diferite moduri, puteți obține un dreptunghi de 34x87 sau 29x102 cu un aranjament simetric de trei perechi de găuri. Soluțiile pentru dreptunghiuri 6×493 și 17×174 nu sunt încă cunoscute.

Octamino spațial

Din 369 octamino spațial, în formă de octamino „plat” obișnuit, poate fi asamblat un cuboid de 8  ×  9  ×  41. O soluție folosește toate, cu excepția octaminoului drept, pentru a asambla opt straturi separate de 1  ×  9  ×  41; octamino direct trece prin centrele tuturor celor opt straturi [3] .

Pseudooctamino

Pseudopoliomino este o generalizare a poliomino, un set de câmpuri ale unei table de șah infinite pe care regele le poate ocoli [1] . Există 18.770 libere (cu două fețe) [4] , 37.196 cu o singură față [5] și 147.941 fixe [6] pseudo-octamino.

Note

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Octomino  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
3. ↑ Ed Pegg, Jr. material adăugat la 11 martie 2001 . Patrick Hamlyn a împachetat octominoele solide într-un mod impresionant, cu un tricolor! . MathPuzzle.com . Consultat la 20 noiembrie 2015. Arhivat din original la 26 ianuarie 2016. (nedefinit)
4. ↑ Secvența OEIS A030222 _
5. ↑ Secvența OEIS A030233 _
6. ↑ Secvența OEIS A006770 _

Literatură

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Per. din engleza. V. Firsova. cuvânt înainte şi ed. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 p.