Tigla de împărțire ( eng. rep-tile ) [1] - conceptul de geometrie a mozaicului , o figură care poate fi tăiată în copii mai mici ale figurii în sine. În 2012, în Mathematics Magazine [2] , matematicianul englez Lee Salous a propus o generalizare a plăcilor divizibile numită set de plăci auto-tiling .
Plăcile de împărțire sunt notate rep- n [3] dacă tăierea folosește n copii. Astfel de figuri formează în mod necesar o prototilă plăcuței planului, în multe cazuri formând o placare neperiodică . Tăierea unei plăci fisionabile folosind diferite dimensiuni se numește plăci fisionabile neregulate. Dacă o astfel de tăiere folosește n copii, cifra se numește irrep- n . Dacă toate subtilele au dimensiuni diferite, se spune că tăietura este perfectă. Figurile rep- n sau irrep- n sunt evident irrep-( kn − k + n ) pentru orice k > 1 (înlocuim pur și simplu cel mai mic element al tăieturii cu n elemente chiar mai mici). Ordinea unei plăci, fie că este o placă rep sau o placă irrep, este cel mai mic număr posibil de bucăți în care poate fi tăiată o plăci (păstrând forma pieselor).
Orice pătrat , dreptunghi , paralelogram , romb sau triunghi este rep-4. Hexiamond „Sphinx” (imaginea de sus) este rep-4 și rep-9 și este unul dintre mai multe pentagoane cunoscute cu auto-reproducere. Curba Gosper este rep-7. Fulgul de nea Koch este irrep-7 - șase fulgi de nea mai mici de aceeași dimensiune, împreună cu un fulg de nea de trei ori mai mare, pot fi combinați pentru a face un fulg de nea mai mare.
Un triunghi dreptunghic cu lungimi ale laturilor în raportul 1:2 este rep-5, iar tăierea lui rep-5 formează baza plăcirii aperiodice a roții . După teorema lui Pitagora, ipotenuza triunghiului rep-5 are lungimea √5.
Standardul internațional ISO 216 definește dimensiunile foilor de hârtie folosind √2 - latura lungă a unei foi de hârtie dreptunghiulare până la rădăcina pătrată de 2 ori lungimea laturii scurte. Dreptunghiurile cu această formă sunt rep-2. Un dreptunghi (sau paralelogram) este rep- n dacă raportul său de aspect este √n:1 (dar nu numai, de exemplu √3: √2 este rep-6, la fel ca un dreptunghi √6:1). Triunghiul dreptunghic isoscel este rep-2.
Unele plăci divizibile, cum ar fi pătratul și triunghiul obișnuit , sunt simetrice și rămân identice atunci când sunt reflectate . Altele, cum ar fi sfinxul , sunt asimetrice și există în două forme distincte legate prin reflexia în oglindă. Tăierea sfinxului și a altor plăci divizoare asimetrice necesită utilizarea ambelor tipuri - figura originală și imaginea în oglindă.
Unele plăci despărțitoare se bazează pe poliforme , cum ar fi poliamondele și poliominoele , sau pe forme create prin îmbinarea triunghiurilor și pătratelor obișnuite margine la margine.
Dacă un poliomino este pătrabil sau poate țiglă un dreptunghi , atunci va fi o țiglă divizibilă, deoarece un dreptunghi poate țiglă un pătrat (care în sine este un caz special al unui dreptunghi). Acest lucru poate fi observat cu ușurință în elementele octamino , constând din opt pătrate. Două copii ale unor elemente octamino umplu pătratul, astfel încât aceste elemente sunt, de asemenea, plăci de împărțire rep-16.
Patru copii ale acelorași nonominoe și nonakings până la pătrat, astfel încât aceste poliforme sunt, de asemenea, împărțind plăci rep-36.
În același mod, dacă o țiglă de poliamond este un triunghi obișnuit, va fi și o țiglă de divizare.
Poliformele bazate pe triunghiuri dreptunghiulare isoscele (cu unghiuri de 45°-90°-45°) sunt cunoscute sub numele de poliabolo . Un număr infinit dintre ele sunt plăci fisionabile. În plus, cea mai simplă dintre toate plăcile divizibile este triunghiul dreptunghic isoscel (singur). Este rep-2 când este împărțit la înălțimea ipotenuzei . Plăcile de împărțire Rep-2 sunt plăci rep-2 n și triunghiuri rep-4,8,16+ generează plăci de împărțire suplimentare. Plăcile de mai jos sunt găsite aruncând jumătate din plăci și rearanjand restul până când sunt complementare cu simetria oglinzii în interiorul unui triunghi dreptunghic. O țiglă seamănă cu un pește format din trei triunghiuri regulate .
Plăcile de despărțire triunghiulare și pătrate (cu patru fețe) sunt comune, în timp ce plăcile de separare pentagonale sunt rare. Sfinxul a fost mult timp considerat a fi singurul exemplu, dar matematicianul german / Noua Zeelandă Karl Scherer și matematicianul american George Zicherman [4] au găsit exemple suplimentare, inclusiv o piramidă dublă și o versiune alungită a sfinxului. Aceste plăci divizoare pentagonale sunt ilustrate în paginile Math Magic întreținute de matematicianul american Erich Friedman [5] [6] . Cu toate acestea, Sfinxul rămâne singura placă pentagonală fisionabilă cunoscută ale cărei subcopii au aceeași dimensiune.
Plăcile de împărțire pot fi folosite pentru a crea fractali sau forme care sunt auto-similare în dimensiuni din ce în ce mai mici. Un fractal (al unei plăci divizoare) se formează prin împărțirea unei plăci divizoare prin ștergerea (eventual) a mai multor copii ale figurii divizate, continuând procesul recursiv . De exemplu, covorul Sierpinski se formează în acest fel dintr-o țiglă despărțitoare (pătrat) prin împărțirea în 27 de pătrate mai mici, iar triunghiul Sierpinski se formează dintr-o țiglă despărțitoare (triunghi obișnuit) prin împărțirea în patru triunghiuri mai mici. Dacă una dintre copii este îndepărtată, rep-4 L- tromino poate fi folosit pentru a crea patru fractali, dintre care doi sunt identici dacă nu se ia în considerare orientarea .
Deoarece fractalii sunt auto-asemănători, mulți dintre ei sunt, de asemenea, auto-tiling și, prin urmare, plăci divizibile. De exemplu, Triunghiul Sierpinski este rep-3 placat cu trei copii ale lui însuși, iar covorul Sierpinski este rep-8 placat cu opt copii ale lui însuși.
Multe dintre plăcile divizibile cunoscute sunt rep- n 2 pentru toate valorile pozitive ale lui n . În special, acest lucru este valabil pentru trei trapeze , inclusiv pentru cel format din trei triunghiuri regulate, pentru trei pentomino (L-tromino, L-tetramino, P-pentamino) și heximondul Sfinx. [7]
Dintre poligoane obișnuite, doar un triunghi și un dreptunghi pot fi tăiate în copii egale mai mici ale lor. Cu toate acestea, un hexagon regulat poate fi tăiat în șase triunghiuri echilaterale, fiecare dintre acestea putând fi tăiat într-un hexagon obișnuit și trei triunghiuri regulate. Aceasta este baza pentru o placare infinită a unui hexagon cu hexagoane. Astfel, hexagonul este o țiglă de divizare irrep-∞ sau irrep-infinită.
| mozaicuri geometrice | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Periodic |
| ||||||||
| Aperiodic |
| ||||||||
| Alte |
| ||||||||
| Prin configurarea vârfurilor |
| ||||||||
| Poliforme | |
|---|---|
| Tipuri de poliforme | |
| Poliomino după numărul de celule | |
| Puzzle-uri cu policuburi | |
| Sarcina de stivuire |
|
| Personalități |
|
| subiecte asemănătoare | |
| Alte puzzle-uri și jocuri | |