Ecuația mișcării într-un cadru de referință non-inerțial

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 31 ianuarie 2020; verificările necesită 12 modificări .

Ecuațiile mișcării într-un cadru de referință neinerțial sunt ecuațiile de mișcare ale unui punct material (1) din domeniul forțelor conservatoare din mecanica clasică , scrise într -un cadru de referință neinerțial (NFR) care se deplasează în raport cu un cadru inerțial (ISR) cu o viteză a mișcării de translație și o viteză unghiulară a mișcării de rotație . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega}$

În ISO , ecuația de mișcare Lagrange are forma [1] [2] :

m{\frac {d\mathbf {v} _{0}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )),

în NSO ecuația capătă patru termeni suplimentari (așa-numitele „ forțe de inerție euleriene ”) [3] :

m{\frac {d\mathbf {v} {dt)}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r}}} -m{\frac {d\mathbf {V } }{dt))+m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]+2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[\ mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]],

(unu)

Unde:

caracterele aldine indică mărimi vectoriale, paranteze pătrate - înmulțirea vectorială ;
indicele se referă la valori în ISO; $_{0}$
$t$ - timp;
$m$ este masa punctului;
$\mathbf{v}$ este vectorul viteză punctual;
$\mathbf {r}$ este vectorul rază al punctului;
$U$ - energie potenţială .

Derivarea formulei

Orice mișcare poate fi descompusă într-o compoziție de mișcări de translație și rotație [4] . Prin urmare, trecerea de la IFR K 0 la NSO K poate fi considerată sub forma a două etape succesive: în primul rând, trecerea de la K 0 la cadrul de referință intermediar K' , care se deplasează înainte față de K 0 cu o viteză , și apoi la K , care se rotește în raport cu K ' cu viteza unghiulară . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega}$

Principiul acțiunii minime nu depinde de sistemul de coordonate, împreună cu acesta ecuațiile Lagrange sunt aplicabile și în orice sistem de coordonate.

Lagrangian în K' ,

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}+m\mathbf {v} '\mathbf {V} +{\frac {m\mathbf {V} ^{2}}{2}}-U,

(2)

se obține prin înlocuirea transformării translaționale a vitezei particulelor în Lagrangianul scris în ISO [5] : $\mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} '+\mathbf {V}$

L_{0}={\frac {m\mathbf {v} _{0}^{2}}{2}}-U.

Expresiile atât pentru IFR cât și pentru NFR descriu evoluția unei particule în cadrele de referință corespunzătoare - legea conservării energiei .

După cum se știe, termenii care sunt derivate în timp total ale unor funcții pot fi excluși din Lagrangian, deoarece nu afectează ecuațiile mișcării (vezi mecanica lagrangiană ). În formula (2) este o funcție a timpului și astfel derivata totală a unei alte funcție a timpului, termenul corespunzător poate fi omis. Din moment ce , $\mathbf {V} ^{2)$ $\mathbf {v} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt))$

m\mathbf {v} '\mathbf {V} =m\mathbf {V} {\frac {d\mathbf {r} '}{dt))={\frac {d}{dt)}( m\mathbf {V} \mathbf {r} ')-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} ',

unde derivata de timp total poate fi din nou omisă. Ca urmare, Lagrangianul (2) este transformat în $m\mathbf {V} \mathbf {r} '$

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}-m{\frac {d\mathbf {V} {dt}}\mathbf {r} '- U.

(3)

La trecerea de la K’ la K (rotație pură), viteza se modifică cu . La substituirea în ecuația (3), lagrangianul se formează în K (ținând cont de faptul că ): $[\mathbf {\Omega} \mathbf {r} ]$ $\mathbf {v} '=\mathbf {v} +[\mathbf {\Omega} \mathbf {r} ]$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} '$

L={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega} \mathbf {r} ]+{\frac {m }{2}}[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]^{2}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} -U.

Diferența totală a acestui Lagrangian arată astfel:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega} \mathbf {r} ]+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]+m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ][\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]-m{\frac {d\mathbf {V} } {dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r}

Aplicând formula Lagrange și schimbând ordinea operațiilor în produsul mixt al vectorilor , diferențiala Lagrangiană poate fi rescrisă ca:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega} \mathbf {r} ]+md\mathbf {r} [\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]d\mathbf {r} -m{\frac {d\mathbf {V} }{ dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} .

Derivatele parțiale ale Lagrangianului în raport cu și respectiv vor fi: $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=m\mathbf {v} +m[\mathbf {\Omega} \mathbf {r} ],

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega} ]+m[[\mathbf {\Omega} \mathbf {r } ]\mathbf {\Omega } ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )).

După înlocuirea derivatelor parțiale în ecuația standard a mișcării în forma Euler-Lagrange

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }} ,

se obţine formula (1).

Sensul fizic

Ecuația vectorială (1) descrie mișcarea unui punct material într -un cadru de referință non-inerțial (NRS), deplasându-se relativ la un cadru inerțial (ISR) cu o viteză de translație și o viteză unghiulară a mișcării de rotație . În acest caz, forța externă aplicată corpului, care asigură mișcarea de translație, este înlocuită cu un câmp potențial în care acționează forțele conservatoare . [6]

În același timp, mișcarea NFR-ului în raport cu IFR este numită portabilă, drept urmare vitezele, accelerațiile și forțele asociate NFR-ului sunt numite și portabile. [7] [8]

Expresia este vectorul rezultat al sumei forțelor din partea dreaptă a ecuației (1) [9] . $m{\frac {d\mathbf {v} {dt)}$

Derivata parțială a energiei potențiale a unei particule într-un câmp extern de-a lungul razei-vector al „punctului de aplicare” al forțelor determină suma tuturor forțelor care acționează din surse externe [9] , $U$ $\mathbf {r}$

-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}

Expresia pentru forța portabilă care acționează într-un câmp de forță uniform, care, la rândul său, este cauzată de mișcarea de translație accelerată a sistemului, are forma

m{\frac {d\mathbf {V} {dt)}

unde este accelerația mișcării de translație a sistemului de referință [9] . ${\frac {d\mathbf {V} {dt)}$ $K'$

„Forțele de inerție” din ecuația (1), datorate rotației cadrului de referință, sunt compuse din trei părți.

Prima parte este o forță portabilă asociată cu rotația neuniformă a cadrului de referință [9] :

m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega} {dt))]

A doua parte

2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega} ]

este o expresie a forței Coriolis . Spre deosebire de aproape toate forțele nedisipative considerate în mecanica clasică , valoarea acesteia depinde de viteza particulei [9] .

A treia parte este reprezentată de o forță centrifugă portabilă

m[\mathbf {\Omega} [\mathbf {r} \mathbf {\Omega} ]]

Se află într-un plan care trece prin și , și este direcționat perpendicular pe axa de rotație a HCO (adică direcția ), departe de axă. Mărimea forței centrifuge este , unde este distanța de la particule la axa de rotație. [9] $\mathbf {r}$ $\mathbf {\Omega}$ $\mathbf {\Omega}$ $m\rho \Omega ^{2)$ $\rho$

Note

↑ Landau, Lifshitz, 1988 , p. 163.
↑ Derivata unei mărimi scalare în raport cu un vector aici și mai jos este înțeleasă ca un vector ale cărui componente sunt derivate ale acestei mărimi scalare față de componentele corespunzătoare ale vectorului.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , p. 165.
↑ Arnold, 1979 , p. 107.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , p. 164.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Mișcarea unui corp rigid. //T. I. Mecanica. Fizica teoretica. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 166-168. — 222 p. — ISBN 5-9221-0055-6.
↑ Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. - 20.- Moscova „Școala superioară”, 2010, - S. 156 - 416 p. ISBN 978-5-06-006193-2
↑ Nikolaev V.I. Forțele de inerție în cursul general al fizicii. — „Educația fizică în universități”, v.6, N 2, 2000. - ISSN 1609-3143 (tipărit), 1607-2340 (on-line).
↑ 1 2 3 4 5 6 Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Mișcarea unui corp rigid. //T. I. Mecanica. Fizica teoretica. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 168. - 222 p. — ISBN 5-9221-0055-6.

Literatură

L. D. Landau, E. M. Lifshits. § 39. Mișcarea într-un cadru de referință neinerțial // Fizica teoretică . - M . : Nauka, 1988. - T. I. Mecanica. - S. 163-167. — 216 p. — ISBN 5-02-013850-9 . (Rusă)
V. I. Arnold. § 26. Mișcarea într-un sistem de coordonate în mișcare // Metode matematice ale mecanicii clasice . - M . : Nauka, 1979. - S. 106-110. — 432 p. (Rusă)

mișcare mecanică
sistem de referință	cadru inerțial de referință Cadrul de referință non-inerțial Mișcare compusă Principiul relativității
Punct material	Mișcare uniformă Mișcare rectilinie Ecuația mișcării Ecuații de mișcare într-un cadru de referință non-inerțial Traiectorie (cale) in miscare Viteză Accelerație ( accelerare centripetă accelerație tangențială ) liniuță
Corpul fizic	mișcare de translație Mișcare plan-paralelă ( translație paralelă ) Mișcare sferică ( Mișcare rotativă Mișcare circulară Precesiune nutatie )
continuum	flux laminar curgere turbulentă
Concepte înrudite	Planul de viteză Tracțiunea trenului Șase grade de libertate