Derivată totală a unei funcții

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 11 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Derivata totală a unei funcții este derivata în timp a funcției de -a lungul traiectoriei.

Calculul derivatei totale a unei funcții în raport cu timpul t , (spre deosebire de derivata parțială , ) nu implică faptul că alte argumente (adică, altele decât argumentul, t , cu privire la care se realizează diferențierea completă: x și y ) sunt constante pe măsură ce t se modifică . Derivata totală include aceste dependențe indirecte de t ( adică x(t) și y(t) ) pentru a descrie dependența lui f de t . $f=f(t,x(t),y(t))$ ${\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}t}}$ ${\frac {\partial f}{\partial t))$

Operator \ Funcție	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Diferenţial	unu: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{ y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v$
Derivată parțială	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!X}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\ operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
derivat total	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f '_{X}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f '_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname { d} \!v}{\operatorname {d} \!x));(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}= 0)$

Exemplul #1

De exemplu, pentru funcția menționată f = f(t, x(t), y(t)) derivata totală a funcției se calculează conform următoarei reguli :

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}f(t_{0},x(t_{0}),y(t_{0}))=\left. {\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0))}}{\frac {{\mathrm { d}}t}{{\mathrm {d}}t}}+\stânga.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right|_{{t_{0},x(t_{0 }),y(t_{0})}}{\frac {{\mathrm {d}}x}({\mathrm {d}}t}}+\left.{\frac {\partial f}{\ parțial y}}\right|_{{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}}{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm { d}}t}},

care simplifică la

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}f(t,x(t),y(t))={\frac {\partial f}{\partial t ))+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac ({\mathrm {d}}x}({\mathrm {d}}t}}+{\frac {\partial f} {\partial y}}{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}t}},

unde sunt derivate parțiale . ${\frac {\partial f}{\partial t)),{\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y))$

Trebuie remarcat faptul că desemnarea este condiționată și nu înseamnă împărțirea diferențelor . În plus, derivata totală a unei funcții depinde nu numai de funcția în sine, ci și de traiectorie. ${\frac {df}{dt))$

Exemplul #2

De exemplu, derivata totală a unei funcții : $f(x(t),y(t))$

{df \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over \ dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt)

Nu există aici , deoarece în sine („explicit”) nu depinde de . ${\partial f \over \partial t}$ $f$ $t$

Aplicații

Teorema de conservare a volumului de fază a lui Liouville

Vezi și

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare