Operator pozitiv (spațiu Hilbert)

Un operator pozitiv într-un spațiu Hilbert este un operator liniar astfel încât pentru oricare dintre spațiile Hilbert. Pentru un operator pozitiv folosiți notația [1] . Uneori, operatorul nul nu este clasificat ca operator pozitiv și este scris dacă operatorul este pozitiv și dacă este pozitiv sau zero. [2] $A$ $(Ax, x) \ge 0$ $X$ $A\ge0$ $A>0$ $A$ $A\ge0$ $A$

Un operator pozitiv mărginit este autoadjunct , iar spectrul său se află pe semiaxa pozitivă , iar aceasta este o condiție necesară și suficientă [1] . Un operator pozitiv nemărginit este simetric și admite o extensie autoadjunctă, care este și operator pozitiv [3] [4] . $[0, \infty)$

Proprietăți

Următoarele proprietăți sunt valabile pentru operatorii liniari mărginiți .

Dacă operator și număr real , atunci . $A\ge0$ $\alpha \ge 0$ $\alpha A\ge 0$
Dacă există și operatorul invers , atunci . $A\ge0$ $A^{{-1}}$ $A^{-1} \ge 0$
$A^* A \ge 0, \, AA^* \ge 0$ pentru orice operator liniar . În special, pentru orice operator auto-adjunct . Prin urmare, orice operator de proiecție [2] poate servi ca exemplu de operator pozitiv . $A$ $A^2 \ge 0$ $A$
Produsul a doi operatori pozitivi permutabili este de asemenea un operator pozitiv [5] .
Pentru un operator pozitiv și orice elemente ale spațiului Hilbert , inegalitatea generalizată Schwartz este valabilă : $A$ $X y$

|(A x, y)|^2 \le (A x, x) (A y, y)

[6] .

Rădăcină pătrată

Fiecare operator pozitiv mărginit are o rădăcină pătrată pozitivă unică , adică un operator astfel încât . Dacă operatorul este inversabil , atunci este și inversabil. Rădăcina pătrată comută cu orice operator comutabil cu [7] [8] . $A$ $B$ $B^2 = A$ $A$ $B$ $B$ $A$

Expansiunea polară

Orice operator liniar mărginit într-un spațiu Hilbert are o descompunere , unde este un operator pozitiv și este o izometrie parțială. Dacă este un operator normal , atunci operatorul din descompunerea polară este unitar . $T$ $T=SUS$ $P$ $U$ $T$ $U$

Relația de comandă

Pe multimea operatorilor simetrici se introduce o relatie de ordine partiala : sau daca operatorul este pozitiv, cu alte cuvinte, pentru oricare dintre spatiile Hilbert . Această relație de ordine are următoarele proprietăți. $A\ge B$ $B \le A$ $A-B$ $(A x, x) \ge (B x, x)$ $X$

Dacă și , atunci . $A\ge B$ $C \ge D$ $A + C \ge B + D$
Dacă și , atunci . $A\ge B$ $B \ge C$ $A \ge C$
Dacă și , atunci . $A\ge B$ $c>0$ $c A \ge c B$
Orice șir monoton mărginit de operatori simetrici converge către un operator simetric [2] [6] .

Operator semi-mărginit

Un operator simetric se numește semi-mărginit inferior dacă există un număr real astfel încât $S$ $c$

(S x, x) \ge c(x, x)

pentru oricare din domeniul de aplicare al operatorului ; cea mai mare dintre toate valorile pentru care este valabilă această inegalitate se numește infimul operatorului . Operatorul semilimitat superior și limita sa superioară [9] sunt definite în mod similar . $X$ $S$ $c$ $S$

Operatorul pozitiv este un caz special al unui operator semi-mărginit mai jos. Pe de altă parte, orice operator semi-restricționat poate fi exprimat în termeni de operator pozitiv folosind una dintre următoarele formule: $P$

S = P + cI, \quad S = -P + cI,

unde este operatorul de identitate [10] . $eu$

expansiunea lui Friedrich. Orice operator simetric semi-mărginit (în special, un operator pozitiv) poate fi extins la un operator auto-adjunct semi-mărginit , iar operatorul va avea aceeași limită (superioară sau inferioară) ca [11] . $S$ $A$ $A$ $S$

Cazul unui spațiu finit-dimensional

Un operator simetric (un operator cu o matrice simetrică ) într-un spațiu euclidian este numit nenegativ dacă pentru oricare . În acest caz, forma pătratică se numește nenegativă , iar matricea operatorului se numește definită nenegativă . $S$ $R$ $(S x, x) \ge 0$ $x\în R$ $(S x, x)$ $S$

Un operator simetric se numește definit pozitiv dacă pentru orice vector din . În acest caz, forma pătratică și matricea operatorului sunt numite definite pozitive . $S$ $x \ne 0$ $R$ $(S x, x) > 0$ $(S x, x)$ $S$

Este posibil să se determine dacă o matrice este definită pozitivă sau nenegativă folosind criteriul Sylvester [12] .

Exemplu

Un exemplu de operator semi-mărginit mai jos este operatorul Sturm-Liouville

A u(x) = -(p(x)u'(x))' + q(x) u(x),

Unde

p(x) \ge 0, \quad q(x) \ge q_0, \quad (0 \le x \le 1),

daca este considerat in spatiu $L_2(0, 1)$ , referitor la domeniul de definitie al functiei , de doua ori continuu diferentiabil si satisfacand conditiile $u(x)$

u(0) = 0, \quad u'(1) + hu(1) = 0,

unde este o constantă ; funcţiile sunt de asemenea presupuse a fi continue . Într-adevăr, se poate verifica prin calcul direct că $h\ge0$ $p(x), p'(x), q(x)$

(A u, u) = hp(1) |u(1)|^2 + \int\limits_0^1 p(x) |u'(x)|^2 dx + \int\limits_0^1 q(x ) |u(x)|^2 dx \ge \int\limits_0^1 q_0 |u(x)|^2 dx = q_0 (u, u).

Dacă , atunci operatorul este pozitiv [11] . $q_0 \ge0$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Rudin U. Analiza funcțională, 1975 , p.12.32.
↑ 1 2 3 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 317.
↑ Shulman V.S., Lomonosov V.I. Operator pozitiv // Mathematical Encyclopedia : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
↑ Strict vorbind, în cazul unui operator nemărginit, inegalitatea din definiție este luată pentru toți din domeniul operatorului simetric , care este dens în întreg spațiul Hilbert. $(A x, x) \ge 0$ $X$ $A$
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 318.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , p. 104.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 320.
↑ Rudin W. Analiza funcțională, 1975 , p.12.33.
↑ Akhiezer N. I., Glazman I. M. Teoria operatorilor liniari în spațiul Hilbert, 1966 .
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , p. 122.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , p. 124.
↑ Gantmakher F. R. Teoria matricei. - Ed. al 2-lea, suplimentar .. - M . : Nauka, Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1966.

Literatură

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională. - Ed. al 2-lea, revizuit .. - M . : Nauka, 1965. - 520 p.
Rudin W. Analiza functionala. - M . : Mir, 1975. - 444 p.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Prelegeri despre analiza funcțională. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Akhiezer N. I. , Glazman I. M. Teoria operatorilor liniari într-un spațiu Hilbert. - Ed. al 2-lea, revizuit. și suplimentar .. - Știință, cap. ed. fizica si matematica lit., 1966. - 543 p.