Operatori de permutare

Operatorii de permutare sunt operatorul liniar restrâns și operatorul liniar , pentru care operatorul este o extensie a operatorului : . Dacă operatorii și sunt definiți pe întreg spațiul (mai mult, nu sunt neapărat mărginiți ), atunci ei fac naveta dacă . În acest caz, operatorii de permutare sunt numiți și navetă [1] . În cazul general, egalitatea este incomod de utilizat ca definiție a permutării, deoarece atunci nici operatorul invers nu va permuta cu dacă nu este definit pe întreg spațiul - atunci operatorii și vor avea domenii diferite de definiție . Uneori, operatorii de permutare folosesc notația: sau [2] [3] . $B$ $T$ $TV$ $BT$ $BT\subseteq TB$ $B$ $T$ $BT=TB$ $BT=TB$ $B^{{-1}}$ $B$ $B^{{-1}}$ $BB^{-1}$ $B^{-1}B$ $B\cup T$ $B\zâmbet T$

Proprietăți

Dacă un operator face naveta cu și face naveta cu , atunci face naveta și cu și . $B$ $T_{1}$ $T_{2}$ $B$ $T_{1}+T_{2}$ $T_{1}T_{2}$
Dacă naveta cu și naveta cu , atunci operatorii și naveta cu . $B_1$ $T$ $B_{2}$ $T$ ${\displaystyle B_{1}+B_{2))$ $B_{1}B_{2}$ $T$
Dacă navetă cu și există , atunci navetă cu . $B$ $T$ $T^{-1}$ $B$ $T^{-1}$
Dacă permuabil cu fiecare dintre operatori , atunci permuabil cu . $B$ $T_{n}\,(n=1,2,\dots )$ $B$ $\lim \limits _{n\to \infty }T_{n}$
Dacă fiecare dintre operatori comută cu , atunci navetă cu ipoteza că este mărginit și este închis . $B_{n}\,(n=1,2,\dots )$ $T$ $\lim \limits _{n\to \infty}B_{n)$ $T$ $\lim _{n\la \infty}B_{n)$ $T$
Dacă comută cu și operatorul adjunct există, atunci comută cu [3] . $B$ $T$ $T^{*}$ $B^{*}$ $T^{*}$

Cazul unui spațiu finit-dimensional

Într -un spațiu finit-dimensional , operatorilor de permutare corespund matricilor de permutare : . Problema Frobenius este de a determina toate matricele care fac naveta cu o matrice dată . Toate soluțiile problemei Frobenius au forma $AB=BA$ $X$ $A$

X=UX_{A}U^{-1},

unde este o matrice arbitrară care comută cu , este o matrice care duce la forma normală Jordan : . Numărul de soluții liniar independente ale problemei Frobenius este determinat de formula: $X_{A}$ $A$ $U$ $A$ $J$ $A=UJU^{-1}$

N=n_{1}+3n_{2}+\dots +(2t-1)n_{t},

unde sunt gradele polinoamelor invariante neconstante ale matricei . $n_{1},n_{2},\dots ,n_{t)$ $i_{1}(\lambda), i_{2}(\lambda),\dots, i_{t}(\lambda)$ $A$

Dacă operatorii liniari dintr-un spațiu finit-dimensional sunt permutabili în perechi, atunci întregul spațiu poate fi împărțit în subspații invariante sub toți operatorii : $A_{1},A_{2},\dots ,A_{m)$ $R$ $R$ $A_{i}$

R=I_{1}+I_{2}+\dots +I_{m)

astfel încât polinomul minim al oricăruia dintre aceste subspații în raport cu oricare dintre operatori este gradul unui polinom ireductibil [4] . $A_{i}$

Operatorii de permutare au întotdeauna un vector propriu comun [5] . Având în vedere un set finit sau infinit de operatori normali permutabili în perechi într-un spațiu unitar , atunci toți acești operatori au un sistem ortonormal complet de vectori proprii comuni . În ceea ce privește matricele , aceasta înseamnă că orice set finit sau infinit de matrici de permutare în perechi poate fi redusă la o formă diagonală prin aceeași transformare unitară [6] . $A_{1},A_{2},\dots$

Vezi și

Sistem complet de navetă observabile

Note

↑ Gantmakher, 1966 , p. 263.
↑ Wojciechowski, 1984 .
↑ 1 2 Riess, 1979 , p. 116.
↑ Gantmakher, 1966 , capitolul VIII, §2.
↑ Gantmakher, 1966 , p. 245.
↑ Gantmakher, 1966 , capitolul IX, §15.

Literatură

Voitsekhovsky M.I. Operatori de permutare // Enciclopedie matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Prelegeri despre analiza funcțională. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Gantmakher F. R. Teoria matricei. - Ed. al 2-lea, suplimentar .. - M . : Nauka, Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1966.
Suprunenko D. A. , Tyshkevich R. I. Matrici de permutare. - Minsk: Știință și tehnologie, 1966. - 2500 de exemplare.