Simetria în mecanica cuantică

Simetriile din mecanica cuantică sunt transformări ale spațiului-timp și ale particulelor care lasă neschimbate ecuațiile mecanicii cuantice . Tratat în multe ramuri ale mecanicii cuantice, care includ mecanica cuantică relativistă, teoria cuantică a câmpului , modelul standard și fizica materiei condensate . În general, simetria în fizică , legile invarianței și conservării sunt constrângeri fundamentale pentru formularea teoriilor și modelelor fizice. În practică, acestea sunt metode puternice de rezolvare a problemelor și de previziune a ceea ce s-ar putea întâmpla. Deși legile de conservare nu oferă întotdeauna soluția finală problemei, ele formează restricțiile și contururile corecte pentru rezolvarea multor probleme.

Acest articol descrie legătura dintre forma clasică a simetriilor continue , precum și operatorii lor cuantici , care le raportează la grupurile Lie și transformările relativiste din grupul Lorentz și grupul Poincaré .

Notație

Convențiile utilizate în acest articol sunt următoarele. Tipul aldine denotă vectori , 4-vectori , matrice și operatori vectoriali, în timp ce stările cuantice sunt notate prin paranteze (notația bra și ket). Pălăriile largi sunt pentru operatori , pălăriile înguste sunt pentru vectori unitari (inclusiv componentele lor în indici tensoriali). Dacă nu se menționează altfel, se folosește convenția de însumare a indicilor tensori repetați. Semnătura metrică a spațiului Minkowski (+ −−−).

Transformări de simetrie ale funcției de undă în mecanica cuantică nerelativista

Simetrii continue

În general, corespondența dintre simetriile continue și legile de conservare este dată de analogul cuantic al teoremei lui Noether .

Forma operatorilor cuantici fundamentali, cum ar fi energia ca derivată parțială în raport cu timpul și impulsul ca gradient (din coordonatele spațiale), devine clară dacă luăm în considerare starea inițială și apoi modificăm ușor unul dintre parametrii acesteia. Această abordare funcționează pentru deplasare (lungime), durată (timp) și unghiuri (rotație). In plus, invarianta unor marimi se poate observa prin efectuarea de transformari de lungimi si unghiuri, ceea ce indica conservarea acestor marimi.

În cele ce urmează, vom lua în considerare transformările numai pentru funcțiile de undă cu o singură particule de forma:

{\widehat {\Omega }}\psi (\mathbf {r},t)=\psi (\mathbf {r} ',t')

unde denota operatorul unitar . Unitatea este de obicei necesară pentru operatorii care reprezintă transformări ale spațiului, timpului și spin, deoarece norma de stare (reprezentând probabilitatea totală de a găsi o particulă cu un anumit spin într-un anumit volum de spațiu) trebuie să fie invariantă sub aceste transformări. Transformarea inversă este dată de conjugarea hermitiană . Aceste rezultate pot fi extinse la funcțiile de undă cu mai multe particule. În notația Dirac a transformărilor stărilor cuantice : ${\widehat {\Omega ))$ ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }$

{\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle

Acțiunea operatorului transformă apoi funcția de undă ψ ( r , t ) în ψ ( r ′, t ′) astfel încât operatorul invers înlocuiește ψ ( r ′, t ′) cu ψ ( r , t ), deci oricare operator va fi invariant cu privire la conversia prevăzută ${\widehat {\Omega ))$ ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }$ ${\widehat {A}}$ ${\widehat {\Omega ))$

{\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad { \widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi

prin urmare:

[{\widehat {\Omega }),{\widehat {A}}]\psi =0

pentru orice stări ψ . Operatorii cuantici corespunzători observabilelor trebuie să fie și hermitieni pentru ca valorile lor proprii să fie numere reale , adică operatorul este egal cu conjugatul său hermitian , . ${\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dagger }$

O privire de ansamblu asupra teoriei grupurilor Lie

Mai jos sunt dispozițiile cheie ale teoriei grupurilor legate de teoria cuantică, iar exemplele sunt date pe parcursul articolului. O abordare alternativă utilizează grupuri de matrice (vezi cărțile lui Hall) [1] [2]

Fie G un grup de Lie care este parametrizat local de un număr finit N de parametri reali care variază continuu ξ 1 , ξ 2 ,. . . ξ N. Sau într-o altă limbă, aceasta înseamnă că G este o varietate netedă , care este, de asemenea, un grup, cu operații de grup netede.

Dimensiunea grupului este egală cu N - adică este egală cu numărul de parametri ai grupului.
elementele grupului g din G sunt funcții ale parametrilor:

g=G(\xi _{1},\xi _{2},\cdots )

iar când toți parametrii sunt setați la zero, atunci acesta corespunde elementului neutru al grupului:

I=G(0,0\cdots )

Elementele unui grup sunt adesea reprezentate ca matrici care acționează asupra vectorilor sau transformări care acționează asupra funcțiilor.

Generatoarele de grup sunt derivate parțiale ale elementelor de grup în raport cu parametrii de grup în punctul în care parametrul este zero, și anume

X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j)}}\right|_{\xi _{j}=0)

În limbajul varietăților, generatorii unui grup sunt elementele spațiului tangent la G la identitate. Generatoarele sunt cunoscute și ca elemente ale unui grup infinitezimal sau ca elemente ale algebrei Lie a unui grup G. (Vezi discuția despre comutator de mai jos.) Un avantaj al generatoarelor în fizica teoretică este că acești operatori au simetrii care pot fi scrise ca matrici sau ca operatori diferențiali. În teoria cuantică, pentru reprezentările de grup unitare, generatorii sunt înmulțiți cu i :

X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j)}}\right|_{\xi _{j}=0)

Generatoarele de grup formează un spațiu vectorial , ceea ce înseamnă că combinațiile liniare de generatoare formează și un generator.

Generatoarele (matrice sau operatori diferenţiali) satisfac relaţiile de comutaţie :

\left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c)

unde f abc sunt (în funcție de bază) constantele de structură ale grupului. Împreună cu proprietățile spațiului vectorial, generatorii grupului definesc baza algebrei Lie . Din cauza antisimetriei parantezelor (comutatorul), constantele de structură ale grupului sunt antisimetrice în primii doi indici.

Reprezentările de grup descriu modurile în care un grup G (sau algebra lui Lie) acționează asupra unui spațiu vectorial. (Spațiul vectorial poate fi luat, de exemplu, ca spațiu al vectorilor proprii ai unui hamiltonian având ca grup de simetrie G. ) Notăm reprezentările cu D majusculă. Apoi putem diferenția D pentru a obține o reprezentare algebrică Lie, deseori și notată de D. Aceste două reprezentări sunt legate astfel:

D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j))))

fără însumare peste indicele repetat j . Reprezentările de grup sunt operatori liniari alocați fiecărui element al grupului și pentru care este îndeplinită regula de compunere:

D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).

O reprezentare care nu poate fi descompusă într-o sumă directă a altor reprezentări se numește ireductibilă . Se obișnuiește să se marcheze reprezentările ireductibile cu un indice n în paranteze, ca în D ( n ) , sau, dacă există mai multe numere, atunci scrieți D ( n , m,. . . ) .

O subtilitate suplimentară apare în teoria cuantică: doi vectori care diferă printr-un factor scalar definesc aceeași stare fizică. Atunci noțiunea potrivită de reprezentare este o reprezentare proiectivă care satisface legea compoziției doar până la un factor scalar. În contextul spinului mecanic cuantic, astfel de reprezentări sunt numite reprezentări spinor .

Momentul și energia ca generatoare de transport, evoluție în timp și rotație

Operatorul de translații spațiale acționează asupra funcției de undă, deplasând coordonatele spațiale cu o deplasare infinitezimală Δ r . O expresie explicită pentru operator poate fi obținută folosind expansiunea seriei Taylor ψ ( r + Δ r , t ) într-o vecinătate de r , iar apoi (păstrând termenul de ordinul întâi și neglijând termenii de ordinul doi și superior) înlocuiți derivatele spațiale (gradient) cu operatorul impuls . În mod similar, pentru operatorul time-shift care acționează asupra parametrului de timp, în expansiunea seriei Taylor pentru ψ ( r , t + Δt ) în vecinătatea lui t , derivata în timp este înlocuită cu operatorul energetic . ${\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$ ${\widehat {T}}$ ${\widehat {\mathbf {p} }}$ ${\widehat {E}}$

Nume	Operator de difuzare ${\widehat {T}}$	Operator de evoluție în timp ${\widehat {U}}$
Acțiune asupra funcției de undă	${\widehat {T)}(\Delta \mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} ,t)$	${\widehat {U}}(\Delta t)\psi (\mathbf {r},t)=\psi (\mathbf {r},t+\Delta t)$
Operator infinitezimal	${\widehat {T)}(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}$	${\widehat {U}}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}$
operator final	$\lim _{N\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \mathbf {r} {N}}\cdot {\widehat { \mathbf {p} }}\right)^{N}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} } }\right)={\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$	$\lim _{N\rightarrow \infty }\left(I-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{N}}\cdot {\widehat {E}} \right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}\right)={\widehat {U}}(\Delta t )$
Generator	Operator de impuls ${\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$	Operator de energie ${\widehat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t)}$

Funcțiile exponențiale apar conform definiției date de Euler , iar semnificația lor fizică și matematică este înțeleasă după cum urmează. O purtare pură constă din multe deplasări mici, așa că pentru a obține operatorul de schimbare pentru incrementul final, trebuie să înlocuiți Δ r cu Δ r / N și Δ t cu Δ t / N , unde N este un întreg pozitiv non-zero. Apoi , odată cu creșterea lui N, valoarea lui Δ r și Δ t devine și mai mică, în timp ce valorile lor rămân neschimbate. Acțiunea operatorilor infinitezimali asupra funcției de undă de N ori și trecerea la limită când N tinde spre infinit duce la forma operatorilor finiți.

Traduceri ale spațiului și timpului naveta, ceea ce înseamnă și comutarea operatorilor și generatorilor lor.

Comutatoare

Operatori	$\left[{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{1}), {\widehat {T}}(\mathbf {r} _{2})\right]\psi (\ mathbf {r} ,t)=0$	$\left[{\widehat {U}}(t_{1}), {\widehat {U}}(t_{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$
Generatoare	$\left[{\widehat {p}}_{i},{\widehat {p}}_{j},\right]\psi (\mathbf {r},t)=0$	$\left[{\widehat {E}}, {\widehat {p}}_{i},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$

Pentru un Hamiltonian care nu depinde în mod explicit de timp, energia este conservată în timp, iar stările cuantice sunt numite stări staționare : stările proprii ale Hamiltonianului sunt valorile proprii ale energiei E :

{\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)

iar toate stările staţionare iau forma

\psi (\mathbf {r},t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r}, t_{0})

unde t 0 este timpul inițial, sunt de obicei egale cu zero, deoarece alegerea timpului inițial nu rupe continuitatea.

În altă notație, puteți scrie . ${\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})$

Momentul unghiular ca generator de rotație

Momentul unghiular orbital

Operatorul de rotație acționează asupra funcției de undă în așa fel încât coordonatele spațiale ale particulei sunt rotite cu un unghi constant Δ θ :

{R}(\Delta \theta,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (\mathbf {r},t)=\psi (\mathbf {r} ',t)

unde r ′ reprezintă coordonatele rotite în jurul axei. Axa este stabilită de un vector unitar , iar rotația este definită de incrementul unghiular Δ θ , determinat de formula : ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$

\mathbf {r} '={\widehat {R}}(\Delta \theta, {\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {r} \,.

unde este matricea de rotație în funcție de axă și unghi. În limbajul grupurilor, matricele de rotație sunt elementele grupului, iar unghiurile și axa sunt parametrii grupului ortogonal special tridimensional SO(3). Matrice de rotație în jurul bazei standard a sistemului cartezian prin unghiul Δ θ și generatoarele de rotație corespunzătoare J = ( J x , J y , J z ) : ${\widehat {R}}(\Delta \theta , {\hat {\mathbf {a} }})$ $\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})$ ${\pălărie {\mathbf {e} }}_{x}, {\pălărie {\mathbf {e} }}_{y}, {\pălărie {\mathbf {e} }}_{z}$

${\widehat {R}}_{x}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta, {\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{ pmatrix}1&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}\equiv J_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R)}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x} )}{\partial \theta }}\right\|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{y}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta, {\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{ pmatrix}\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&1&0\\-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}\equiv J_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R)}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y} )}{\partial \theta }}\right\|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{z}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta, {\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{ pmatrix}\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}\equiv J_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R)}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z} )}{\partial \theta }}\right\|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

Într-un sens mai general, pentru rotațiile în jurul axei definite de vectorul , sunt date elementele matricei de rotație [3] ${\pălărie {\mathbf {a} ))$

[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{i}a_{j}) \cos \theta -\varepsilon _{ijk}a_{k}\sin \theta +a_{i}a_{j}

unde δ ij este simbolul Kronecker și ε ijk este simbolul Levi-Civita .

Nu este evident cum se definește operatorul de rotație în comparație cu translațiile spațiului și timpului. Se poate lua în considerare un caz special (rotație în jurul axei x , y , sau z ) și apoi se deduce rezultatul general, sau se poate folosi direct matricea generală de rotație și indicii tensori cu δ ij și ε ijk . Pentru a deriva un operator de rotație infinitezimal care corespunde unui mic Δ θ , folosim aproximațiile cu unghiuri mici sin (Δ θ ) ≈ Δ θ și cos (Δ θ ) ≈ 1 și expansiunea Taylor în jurul lui r sau r i menținând doar prima în ordine și în În cele din urmă, înlocuim componentele operatorului moment unghiular.

	întoarceţi-vă ${\pălărie {\mathbf {e} }}_{z}$	întoarceţi-vă ${\pălărie {\mathbf {a} ))$
Acțiune asupra funcției de undă	${\widehat {R}}(\Delta \theta, {\hat {\mathbf {e} }}_{z})\psi (x,y,z,t)=\psi (x-\ Delta \theta y,\Delta \theta x+y,z,t)$	${\widehat {R}}(\Delta \theta, {\hat {\mathbf {a} }})\psi (r_{i},t)=\psi (R_{ij}r_{j} ,t)=\psi (r_{i}-\varepsilon _{ijk}a_{k}\Delta \theta r_{j},t)$
Operator infinitezimal	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\widehat {L}}_{z}$	${\begin{aligned}{\widehat {R}}(\Delta \theta, {\hat {\mathbf {a} }})&=I-(-\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kij}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i))}\\&=I-(\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kji}r_{j} ){\frac {\partial }{\partial r_{i))}\\&=I-\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot (\mathbf {r} \times \nabla )\\&=I-{\frac {i\Delta \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\\\end {aliniat}}$
Rotații infinitezimale	${\widehat {R}}=1-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} ))\,,\quad {\widehat {\mathbf {L} }}=i\hbar {\hat {\mathbf {a} }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}$	de asemenea
Turnurile de sfârșit	$\lim _{N\rightarrow \infty }\left(1-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \theta {N}}{\hat {\mathbf {a } }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\ mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)={\widehat {R}}$	de asemenea
Generator	z -componenta operatorului moment unghiular ${\widehat {L}}_{z}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}$	Operator moment unghiular total . ${\widehat {\mathbf {L} }}$

Componenta z a operatorului moment unghiular poate fi înlocuită cu o proiecție de-a lungul axei definite de vector folosind produsul scalar . ${\pălărie {\mathbf {a} ))$ ${\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}$

Din nou, o rotație finită poate fi făcută folosind multe rotații mici, înlocuind Δθ cu Δθ / N și mergând la limită pe măsură ce N merge la infinit . Rezultă un operator de rotație pentru rotația finală.

Rotațiile în jurul aceleiași axe fac naveta, de exemplu, rotația prin unghiurile θ 1 și θ 2 în jurul axei i poate fi scrisă

R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e} _{i})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R( \theta _{2}\mathbf {e} _{i})\,,\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i}),R(\theta _{2}\ mathbf {e} _{i})]=0\,.

Cu toate acestea, rotațiile pe diferite axe nu fac naveta. Reguli generale pentru comutarea operatorilor de moment unghiular

[L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.

În acest sens, momentul unghiular orbital descrie rotații. Fiecare dintre comutatoarele de mai sus poate fi imaginat cu ușurință luând un obiect de zi cu zi și rotindu-l secvențial cu același unghi în jurul axei 1 și a axei 2, sau invers în jurul axei 2 și a axei 1 - pozițiile finale ale corpului vor fi diferite.

Există o altă formă de rotație în mecanica cuantică care pare similară din punct de vedere matematic cu cazul orbital, dar are proprietăți diferite, descrise mai jos.

Rotire

Toate cantitățile anterioare au analogi clasici. Spinul este o cantitate deținută de particule în mecanica cuantică fără niciun analog clasic, având dimensiunea unității de moment unghiular. Operatorul vector spin este notat cu . Valorile proprii ale componentelor sale sunt valorile posibile (în unități ) ale măsurării spinului proiectat pe vectorii de bază. ${\widehat {\mathbf {S} }}=({\widehat {S_{x}}}, {\widehat {S_{y}}}, {\widehat {S_{z}}})$ $\hbar$

Rotația (a spațiului obișnuit) în jurul unei axe printr-un unghi θ față de un vector unitar din spațiu, care acționează asupra unei funcții de undă multicomponentă (spinor) într-un punct din spațiu, este reprezentată ca ${\pălărie {\mathbf {a} ))$ ${\hat {a}}$

Operator de rotație de rotire ( finit )

${\widehat {S}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat { \mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}\right)$

Cu toate acestea, spre deosebire de momentul unghiular orbital, în care numărul cuantic l poate lua numai valori întregi pozitive sau negative (inclusiv zero), numărul cuantic de spin s poate lua toate valorile semiîntregi pozitive și negative. Pentru fiecare număr cuantic de spin, există matrici de rotație.

Calcularea exponentului pentru proiecția z - cu un număr cuantic de spin dat s dă o matrice de spin (2s + 1) dimensională. Ce poate fi folosit pentru a defini un spinor ca un vector coloană de 2 s + 1 componente care se transformă prin rotirea sistemului de coordonate conform matricei de spin într-un punct fix în spațiu.

Pentru cel mai simplu caz netrivial pentru o stare cu s = 1/2, operatorul de spin are forma

{\widehat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}

unde sunt matricele Pauli în reprezentarea standard:

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{2}=\sigma _{y }={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&- 1\end{pmatrix}}

Momentul unghiular total

Operatorul momentului unghiular total este suma momentelor orbitale și de spin

{\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}

și este de mare importanță pentru sistemele cu mai multe particule, în special în fizica nucleară și chimia cuantică a atomilor și moleculelor cu mulți electroni.

Matrice de rotație similară

{\widehat {J}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat { \mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {J} }}\right)

Mărimi conservate pentru oscilatorul armonic cuantic

Grupul de simetrie dinamică a unui oscilator armonic cuantic n - dimensional este grupul unitar special SU ( n ). De exemplu, numărul de generatoare infinitezimale ai algebrelor Lie corespunzătoare pentru grupurile SU(2) și SU(3) este de trei și, respectiv, opt. Acest lucru duce la exact trei și opt cantități independente conservate (altele decât Hamiltonianul) în aceste sisteme.

Oscilatorul armonic cuantic 2D are cantitățile conservate așteptate, cum ar fi Hamiltonianul și momentul unghiular, dar are și cantități conservate ascunse suplimentare, cum ar fi diferențele de nivel de energie și o altă formă de moment unghiular.

Grupul Lorentz în mecanica cuantică relativistă

Mai jos luăm în considerare grupul Lorentz (impulsuri și rotații în spațiu-timp). În această secțiune, vezi [4] [5]

Transformările Lorentz pot fi parametrizate prin viteza φ pentru amplificarea în direcția vectorului unitar 3D și unghiul de rotație θ în jurul vectorului unitar 3D , care determină direcția axei. Apoi și împreună definiți șase parametri ai grupului Lorentz (trei pentru rotații și trei impulsuri). Grupul Lorentz are șase dimensiuni. ${\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})$ ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ $\varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})$ $\theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})$

Rotații pure în spațiu-timp

Matricele de rotație și generatoarele de rotație considerate mai sus formează o parte asemănătoare spațială a unei matrice cu patru dimensiuni, care este o rotație pură. Trei elemente ale grupului Lorentz și generatoare J = ( J 1 , J 2 , J 3 ) pentru rotații pure: ${\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y}, {\widehat {R}}_{z}$

${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix))\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0& \sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix))\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta & -\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix))\,.$

Matricele de rotație acționează asupra oricăror 4-vectori A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) și rotesc componentele asemănătoare spațiului conform formulei

\mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta , {\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}

lăsând neschimbată coordonata de timp. În reprezentarea matriceală, vectorul A este tratat ca un vector coloană.

Pure boost spațiu-timp

Boost cu viteza c tanh φ în direcțiile x , y sau z, dat de sistemul de coordonate carteziene cu baza , este matricea de transformare boost. Aceste matrici și generatorii corespunzători K = ( K 1 , K 2 , K 3 ) sunt restul de trei elemente ale grupului și generatorii grupului Lorentz: ${\pălărie {\mathbf {e} }}_{x}, {\pălărie {\mathbf {e} }}_{y}, {\pălărie {\mathbf {e} }}_{z}$ ${\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y}, {\widehat {B}}_{z}$

${\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix} \cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{x}=K_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B)}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x}) }{\partial \varphi }}\right\|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix} \cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{y}=K_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B)}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y}) }{\partial \varphi }}\right\|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix} \cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{z}=K_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B)}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z}) }{\partial \varphi }}\right\|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

Matricele de amplificare acționează asupra oricăror 4-vectori A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) și amestecă componentele temporale și spațiale conform formulei

\mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}

Termenul „boost” se referă la viteza relativă dintre două cadre de referință și nu trebuie combinat cu impulsul ca generator de translație , așa cum se explică mai jos.

Combinație de boosturi și rotiri

Produsul rotațiilor dă o altă rotație (un exemplu comun de subgrup), în timp ce produsele boosturilor sau boosturilor și rotațiilor nu pot fi exprimate în termeni de boost pur sau rotații pure. În general, orice transformare Lorentz poate fi exprimată ca produs al unei rotații pure și al unui impuls pur. Pentru mai multe informații, consultați [6] și referințele din acesta.

Reprezentările generatorului de impuls și rotație sunt notate cu D ( K ) și respectiv D ( J ) , unde un D majuscul în acest context indică o reprezentare de grup .

Pentru grupul Lorentz, reprezentările D ( K ) și D ( J ) ale generatoarelor K și J îndeplinesc următoarele reguli de comutare.

Comutatoare

	Turn net	Boost pur	Transformarea Lorentz
Generatoare	$\left[J_{a},J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}J_{c)$	$\left[K_{a},K_{b}\right]=-i\varepsilon _{abc}J_{c)$	$\left[J_{a},K_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c)$
Reprezentare	$\left[{D(J_{a})}, {D(J_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(J_{c))))$	$\left[{D(K_{a})}, {D(K_{b})}\right]=-i\varepsilon _{abc}{D(J_{c))))$	$\left[{D(J_{a})}, {D(K_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(K_{c))))$

În toate comutatoarele, boost-urile sunt amestecate cu spin-uri, deși comutatoarele cu spin-only conduc la un spin diferit. Maparea exponențială a generatoarelor de grup oferă operatori de amplificare și rotație, care sunt combinați într-o transformare generală Lorentz, în care coordonatele spațiu-timp sunt transformate dintr-un cadru de repaus în altul prin intermediul boosturilor și/sau rotațiilor. În mod similar, maparea exponențială a reprezentărilor generatoarelor oferă reprezentările operatorilor de impuls și rotație, conform cărora câmpul spinor al particulei este transformat.

Legile transformării

	Boost pur	Turn net	Transformarea Lorentz
Transformări	${\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat { \mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} \right)$	${\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat { \mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)$	$\Lambda (\varphi, {\hat {\mathbf {n} )),\theta, {\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{ \hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right )\dreapta]$
Reprezentare	$D[{\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi { \hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K})\right)$	$D[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta { \hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)$	$D[\Lambda (\theta,{\hat {\mathbf {a} )),\varphi,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac { i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )+\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D (\mathbf {J})\dreapta)\dreapta]$

În literatură, generatoarele de impuls K și generatoarele de rotație J sunt uneori combinate într-un singur generator pentru transformările Lorentz M , o matrice antisimetrică cu patru dimensiuni cu intrări:

M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.

și, în consecință, parametrii de amplificare și rotații sunt colectați într-o altă matrice antisimetrică cu patru dimensiuni ω cu elemente:

\omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\, ,

Deci transformarea generală a lui Lorentz este:

\Lambda (\varphi, {\hat {\mathbf {n} )),\theta, {\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{} 2))\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2))\left(\varphi {\hat {\ mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]

cu însumarea peste indici matrici repetaţi α şi β . Matricele Λ acționează asupra oricăror 4 vectori A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) și amestecă componente asemănătoare timpului și spațiului conform formulei

\mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} )),\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A}

Transformări ale funcțiilor de undă spinor în mecanica cuantică relativistă

În mecanica cuantică relativistă, funcțiile de undă nu mai sunt câmpuri scalare cu o singură componentă, ci câmpuri spinoare formate din 2 (2 s + 1) componente, unde s este spinul particulei. Mai jos sunt transformarile acestor functii in spatiu-timp.

Sub transformarea Lorentz ortocronică corectă ( r , t ) → Λ( r , t ) în spațiul Minkowski, toate stările cuantice cu o particulă ψ σ sunt transformate local într-o reprezentare D pentru grupul Lorentz conform formulei [7] [ 8]

\psi _{\sigma}(\mathbf {r},t)\rightarrow D(\Lambda)\psi _{\sigma}(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r},t) )

unde D (Λ) este o reprezentare cu dimensiuni finite, cu alte cuvinte, o matrice pătrată de dimensiunea (2 s + 1) × (2 s + 1) , iar ψ este considerat ca un vector coloană care conține componente cu (2 s + 1) 1) valorile permise ale spinului σ :

\psi (\mathbf {r},t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r},t)\\\psi _{\sigma =s- 1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s} (\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _ {\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }& \cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} , t)}^{\star }\end{bmatrix}}

Reprezentări reale ireductibile și spin

Reprezentările ireductibile D ( K ) și D ( J ) pot fi utilizate pentru a construi reprezentări de spin ale grupului Lorentz. Definiția noilor operatori:

\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} {2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,

deci A și B sunt conjugate complexe unul de celălalt. Rezultă de aici că ele satisfac comutatoarele scrise simetric:

\left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]= \varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,

și aceștia sunt în esență comutatoarele pe care le satisfac operatorii de moment unghiular orbital și spin. Prin urmare, A și B formează algebre operator analoge momentului unghiular; aceiași operatori ladder , z -proiecții etc. independent unul de celălalt, deoarece fiecare dintre componentele lor comută între ele. Prin analogie cu numărul cuantic de spin, introducem numere întregi pozitive sau semiîntregi a, b cu seturile corespunzătoare de valori proprii m = a , a − 1, ... − a + 1, − a și n = b , b − 1, ... − b + 1, − b . Matricele care satisfac relațiile de comutație de mai sus, la fel ca pentru spinii a și b, au componente date prin înmulțirea valorilor deltei Kronecker cu elementele matricei de moment unghiular:

\left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m 'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right )_{n'n}

\left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m 'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right )_{n'n}

\left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m 'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right )_{n'n}

unde în fiecare caz numărul rândului m ′ n ′ și numărul coloanei mn sunt separate prin virgulă. Apoi

\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m )}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\ pm l+1)}}

și în mod similar pentru J ( n ) [ comentariul 1 ] . Trei matrici pătrate J (m) - fiecare cu dimensiuni (2 m + 1) × (2 m + 1) și trei J (n) cu dimensiuni (2 n + 1) × (2 n + 1) . Numerele întregi sau jumătăți întregi m și n enumerează toate reprezentările ireductibile folosind notația echivalentă folosită aici: D ( m , n ) ≡ ( m , n ) ≡ D ( m ) ⊗ D ( n ) , fiecare având forma pătratului matrici de dimensiune [(2 m + 1)(2 n + 1)]×[(2 m + 1)(2 n + 1)] .

Să aplicăm acest raționament particulelor cu spin s ;

stangaci (2s + 1) -spinorii componente se transformă în raport cu reprezentările reale ireductibile D ( s , 0) ,
dreapta (2 s + 1) -spinorii componente sunt transformați în raport cu reprezentările reale ireductibile D (0, s ) ,
luând sume directe, notate cu ⊕ (vezi conceptul mai simplu pentru matrice , suma directă a matricelor ), obținem reprezentări care transformă 2(2 s + 1) - spinori componente: D ( m , n ) ⊕ D ( n , m ) unde m + n = s . Acestea sunt, de asemenea, reprezentări reale ireductibile, dar, așa cum se arată mai sus, ele se descompun în conjugate complexe.

În aceste cazuri, D se referă la oricare dintre D ( J ) , D ( K ) sau transformarea totală Lorentz D (Λ) .

Ecuații de undă relativiste

În contextul ecuației lui Dirac și al ecuației Weyl, spinorii Weyl care satisfac ecuația Weyl se transformă sub cele mai simple reprezentări ireductibile de spin ale grupului Lorentz, deoarece numărul cuantic de spin în acest caz este cel mai mic număr posibil diferit de zero: 1/ 2. Un spinor Weyl stâng cu 2 componente se transformă cu D (1/2, 0) și un spinor Weyl drept cu 2 componente se transformă cu D (0, 1/2) . Spinii Dirac care satisfac ecuația Dirac sunt transformați conform reprezentării D (1/2, 0) ⊕ D (0, 1/2) — suma directă a reprezentărilor reale ireductibile ale spinorilor Weyl.

Grupul Poincare în mecanica cuantică relativistă și teoria câmpului

Translațiile spațiale , translațiile temporale, rotațiile și impulsurile , luate împreună, formează grupul Poincaré . Elementele grupului sunt trei matrici de rotație și trei matrici de impuls (ca în grupul Lorentz), una pentru translații în timp și trei pentru translații spațiale în spațiu-timp. Pentru fiecare element există un generator. Prin urmare, grupul Poincaré este 10-dimensional.

În relativitatea specială , spațiul și timpul pot fi colectate într-un vector cu 4 X = ( ct , − r ) și, în mod similar, energia și impulsul sunt combinate într -un vector de impuls cu patru dimensiuni P = ( E / c , −p ) . Luând în considerare mecanica cuantică relativistă, parametrii intervalului de timp și ai deplasării spațiale (patru parametri în total, unul pentru timp și trei pentru spațiu) sunt combinați în deplasarea spațiu-timp Δ X = ( c Δ t , −Δ r ) , iar operatorii de energie și impuls sunt înlocuiți în impuls 4D pentru a obține operatorul 4D

{\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i \hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t)),\nabla \right)\,,

care sunt generatori de translații spațiu-timp (patru generatori în total, unul pentru timp și trei pentru spațiu):

{\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat { \mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \ cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.

Să scriem relațiile de comutație dintre componentele P cu 4 momente (generatoare de translații spațiu-timp) și momentul unghiular M (generatoare de transformări Lorentz), care definesc algebra Poincaré: [9] [10]

$[P_{\mu},P_{\nu }]=0\,$
${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,$
${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,$

unde η este tensorul metric Minkowski . (Pălăriile sunt de obicei scoase pentru operatorii cu 4 momente în relațiile de comutație). Aceste ecuații conțin proprietățile fundamentale ale spațiului și timpului în măsura în care sunt cunoscute astăzi. Aceste relaţii au o contrapartidă clasică în care comutatoarele sunt înlocuite cu paranteze Poisson .

Pentru a descrie spinul în mecanica cuantică relativistă, este folosit pseudovectorul Pauli-Lubansky

W_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma}J^{\nu \rho}P^{\sigma},

operatorul Casimir , este o contribuție constantă de spin la momentul unghiular total. Relațiile de comutație dintre P și W și dintre M și W pot fi scrise ca

\left[P^{\mu},W^{\nu }\right]=0\,,

\left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]=i\left(\eta ^{\rho \nu }W^{\mu }-\eta ^{\ rho \mu }W^{\nu }\right)\,,

\left[W_{\mu},W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma}W^{\rho }P^{\sigma }\, .

Invarianții construiți din W , invarianții Casimir, pot fi utilizați pentru a clasifica reprezentările ireductibile ale grupului Lorentz.

Simetrii în teoria câmpului cuantic și fizica particulelor

Grupuri unitare în teoria câmpului cuantic

Teoria grupurilor este o modalitate abstractă de analiză matematică a simetriilor. Operatorii unitari sunt de o importanță capitală în teoria cuantică, astfel încât grupurile unitare sunt importante în fizica particulelor. Grupul de matrice pătrate unitare N - dimensionale se notează U( N ). Operatorii unitari păstrează produsul interior, ceea ce înseamnă că și probabilitățile sunt păstrate, deci mecanica cuantică a oricărui sistem trebuie să fie invariantă la transformări unitare. Fie un operator unitar și fie hermitianul adjunct , care comută cu Hamiltonianul: ${\widehat {U}}$ ${\widehat {U}}^{-1}={\widehat {U}}^{\dagger }$

\left[{\widehat {U}), {\widehat {H}}\right]=0

Apoi valoarea observată corespunzătoare operatorului este păstrată, iar Hamiltonianul este invariant sub transformarea . ${\widehat {U}}$ ${\widehat {U}}$

Deoarece predicțiile mecanicii cuantice trebuie să fie invariante sub acțiunea unui grup, oamenii de știință caută transformări unitare pentru a reprezenta grupul.

Subgrupurile importante ale fiecărei grupe U( N ) sunt acele matrici unitare care au determinant de identitate (sau sunt „unimodulare”): acestea se mai numesc și grupuri unitare speciale și se notează SU( N ).

U(1)

Cel mai simplu grup unitar este U(1), care este pur și simplu numerele complexe modulo 1. Acest element al matricei unidimensionale este scris ca

{\displaystyle U=e^{-i\theta ))

unde θ este un parametru de grup. Acest grup este abelian, deoarece matricele unidimensionale fac întotdeauna naveta sub înmulțirea matricei. Lagrangienii în teoria câmpurilor cuantice pentru câmpurile scalare complexe sunt adesea invarianți sub transformările U(1). Dacă există un număr cuantic a asociat cu simetria U(1), cum ar fi un barion și trei numere de leptoni în interacțiuni electromagnetice, atunci

{\displaystyle U=e^{-ia\theta ))

U(2) și SU(2)

Forma generală a unui element de grup U(2) este parametrizată de două numere complexe a și b :

U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{\star }&a^{\star }\\\end{pmatrix))

iar pentru SU(2) determinantul este 1:

\det(U)=aa^{\star }+bb^{\star }={|a|}^{2}+{|b|}^{2}=1

În limbajul teoriei grupurilor, matricele Pauli sunt generatoarele unui grup unitar special în două dimensiuni, notat SU(2). Comutatorul lor este același ca pentru momentul unghiular orbital, cu excepția factorului 2:

[\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\hbar \varepsilon _{abc}\sigma _{c)

Elementul de grup SU(2) poate fi scris:

U(\theta,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=e^{i\theta \sigma _{j}/2}

unde σ j este matricea Pauli, iar parametrii grupului sunt unghiurile de rotație în jurul axei date de vectorul . ${\pălărie {\mathbf {e} }}_{j}$

Un oscilator armonic cuantic izotrop bidimensional are grupul de simetrie SU(2), în timp ce algebra de simetrie a oscilatorului anizotrop este o extensie neliniară a u(2). [unsprezece]

U(3) și SU(3)

Cele opt matrice Gell-Mann λ n (vezi articolul despre ele și constantele structurii) sunt importante pentru cromodinamica cuantică . Ele au apărut inițial în teoria SU(3) pentru aromă, care este folosită și astăzi în fizica nucleară. Ei definesc generatorii grupului SU(3), astfel încât elementul grupului SU(3) poate fi scris în același mod ca și elementul grupului SU(2):

U(\theta,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{n=1}^ {8}\theta _{n}\lambda _{n}\right)

unde θ n sunt opt parametri independenți. Matricele λ n satisfac comutatorul:

\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]=2if_{abc}\lambda _{c)

unde indicii a , b , c iau valorile 1, 2, 3 ... 8. Constantele de structură f abc sunt complet antisimetrice în toți indicii, similar indicilor SU (2). În baza de taxare a culorii standard ( r pentru roșu, g pentru verde, b pentru albastru):

|r\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |g\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}}\,,\quad |b\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

stările de culoare sunt stările proprii ale matricelor λ 3 și λ 8 , în timp ce celelalte matrici sunt responsabile de amestecarea stărilor de culoare.

Stările celor opt gluoni (vectori coloană cu 8 dimensiuni) sunt stările proprii ale reprezentării grupului adjunct SU(3) , o reprezentare cu 8 dimensiuni care acționează pe propria sa algebră Lie su(3) , pentru matricile λ 3 și λ 8 . Formând produse tensorice ale reprezentărilor (reprezentarea standard și duala sa) și luând rapoartele adecvate, protonii, neutronii și alți hadroni sunt reprezentați ca stări proprii ale diferitelor reprezentări de culoare SU(3) . Reprezentările SU(3) pot fi descrise prin „teorema greutății maxime”. [12]

Materia și antimateria

În mecanica cuantică relativistă, ecuațiile de undă relativiste au o simetrie remarcabilă în natură: fiecare particulă are o antiparticulă corespunzătoare . Matematic, aceasta este exprimată prin câmpuri spinori, care sunt soluții ale ecuațiilor de undă relativiste.

Conjugarea încărcăturii schimbă particule și antiparticule. Legile fizice și interacțiunile care sunt neschimbate ca urmare a acestei operații au simetrie C.

Simetrii spațiu-timp discrete

Paritatea reflectă orientarea coordonatelor spațiale ca stânga și dreapta. Informal, spațiul este „reflectat” în oglindă. Legile fizice și interacțiunile care sunt neschimbate ca urmare a acestei operații au simetrie P.
Inversarea timpului inversează coordonatele timpului, adică există timp care curge de la viitor la trecut. O proprietate curioasă a timpului care nu există în spațiu este că este unidirecțională: particulele care se mișcă înainte în timp sunt echivalente cu antiparticulele care se deplasează înapoi în timp. Legile fizice și interacțiunile imuabile prin această operație au simetrie T.

Simetrii C , P , T

Teoria gauge

În electrodinamica cuantică, are un grup de simetrie U(1), care este Abelian . În cromodinamica cuantică , grupul de simetrie SU(3) corespunzător este non-Abelian.

Interacțiunea electromagnetică este realizată de fotoni , care nu au sarcină electrică. Tensorul câmpului electromagnetic este specificat în termeni de un câmp electromagnetic cu 4 potențiali cu simetrie gauge.

Interacțiunea puternică (culoare) este asigurată de gluoni , care diferă în opt încărcături de culoare . Există opt tensori de intensitate a câmpului de gluon cu câmpuri potențiale de 4 gluoni corespunzătoare , fiecare dintre ele având o simetrie gauge.

Interacțiune puternică (culoare)

Taxa de culoare

Prin analogie cu operatorul de spin, există operatori de încărcare de culoare în termenii matricilor Gell-Mann λ j :

{\hat {F}}_{j}={\frac {1}{2}}\lambda _{j}

și deoarece sarcina de culoare este conservată, toți operatorii de încărcare de culoare trebuie să facă naveta cu Hamiltonianul:

\left[{\hat {F}}_{j}, {\hat {H}}\right]=0

Isospin

Isospin este conservat sub interacțiuni puternice.

Interacțiuni slabe și electromagnetice

Transformarea dualității

Monopolurile magnetice ar putea exista teoretic, deși observațiile și teoria actuale sunt în concordanță cu ambele rezultate ale existenței sau inexistenței monopolului. Sarcinile electrice și magnetice pot fi „transformate una în alta” eficient prin transformarea dualității .

Simetrie electroslabă

Supersimetrie

O superalgebră Lie este o algebră în care elementele de bază (adecvate) fie respectă regulile de comutație, fie de anticomutație. În supersimetrie, se presupune că toate particulele fermionice au corespondente bosonice și invers. Această simetrie este teoretic atractivă, deoarece nu se fac ipoteze suplimentare (de exemplu, despre existența șirurilor) care să împiedice simetria. În plus, prin asumarea supersimetriei, pot fi rezolvate o serie de probleme derutante. Aceste simetrii, care sunt reprezentate de superalgebre Lie, nu au fost confirmate experimental. Acum se crede că, dacă există, atunci această simetrie este ruptă. Se presupune că materia întunecată este un gravitino , o particulă cu spin 3/2 (fermion) și masă, iar partenerul său supersimetric este un graviton cu spin 2 (boson).

Simetria permutației

Conceptul de simetrie de permutare este derivat din postulatul fundamental al statisticii cuantice , care afirmă că nicio mărime fizică observabilă nu ar trebui să se schimbe după ce două particule identice sunt înlocuite una de alta. Se spune că, deoarece toate observabilele sunt proporționale cu pătratul funcției de undă pentru un sistem de particule identice , atunci funcția de undă trebuie fie să rămână aceeași, fie să își schimbe semnul într-un astfel de schimb. Mai general, pentru un sistem de n particule identice, funcția de undă trebuie să se transforme ca o reprezentare ireductibilă a grupului simetric finit S n . Conform teoremei Pauli de statistică , stările fermionice se transformă ca o reprezentare antisimetrică ireductibilă S n, iar stările bosonice se transformă ca o reprezentare simetrică ireductibilă. Pentru a clasifica simetria stărilor rovibronice ale moleculelor , Longuet-Higgins [13] a introdus grupul de simetrie moleculară ca un grup de permutări corespunzătoare ale nucleelor indistinse și permutări cu inversiune spațială. $\left|\psi \right|^{2)$ $\psi$ $\psi$

Deoarece schimbul a două particule care nu se pot distinge este echivalent din punct de vedere matematic cu rotirea fiecărei particule cu 180 de grade (și, prin urmare, rotirea cadrului de referință al unei particule cu 360 de grade) [14] , natura simetrică a funcției de undă depinde de spin -ul particula după aplicarea operatorului de rotație asupra acesteia . Particulele cu spin întreg nu își schimbă semnul funcției de undă atunci când sunt rotite la 360 de grade, astfel încât semnul funcției de undă a întregului sistem nu se schimbă. Particulele cu spin semiîntreg își schimbă semnul funcției de undă atunci când sunt rotite la 360 de grade (a se vedea teorema lui Pauli pentru detalii ).

Particulele a căror funcție de undă nu își schimbă semnul în timpul schimbului sunt numite bosoni sau particule cu funcție de undă simetrică . Particulele a căror funcție de undă a sistemului își schimbă semnul după permutare se numesc fermioni sau particule cu o funcție de undă antisimetrică .

Astfel, fermionii respectă o statistică diferită (numită statistică Fermi-Dirac ) decât bosonii (care se supun statisticii Bose-Einstein ). O consecință a statisticii Fermi-Dirac este principiul Pauli pentru fermioni: niciun fermion identic nu poate avea aceeași stare cuantică (cu alte cuvinte, funcția de undă a doi fermioni identici în aceeași stare este zero). Acest lucru, la rândul său, duce la presiunea degenerativă a fermionilor - rezistența puternică a fermionilor la contracție. Această rezistență are ca rezultat „rigiditatea” sau „duritatea” materiei atomice obișnuite (deoarece atomii conțin electroni, care sunt fermioni).

Comentariu

↑ Următoarele denumiri sunt uneori folosite: $\left(\mathbf {A} \right)_{m'n',mn}\equiv \left[\left(A_{x}\right)_{m'n',mn},\left (A_{y}\dreapta)_{m'n',mn},\stanga(A_{z}\dreapta)_{m'n',mn}\dreapta]$ $\left(\mathbf {B} \right)_{m'n',mn}\equiv \left[\left(B_{x}\right)_{m'n',mn},\left (B_{y}\dreapta)_{m'n',mn},\stanga(B_{z}\dreapta)_{m'n',mn}\dreapta]$ $\left(\mathbf {J} ^{(m)}\right)_{m'm}\equiv \left[\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m „m},\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm},\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\ dreapta]$ .

Note

↑ Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — al 2-lea. - Springer, 2015. - Vol. 222.
↑ Hall, Brian C. Teoria cuantică pentru matematicieni. — Springer, 2013.
↑ C. B. Parker. Enciclopedia de fizică McGraw Hill . — al 2-lea. - McGraw Hill, 1994. - P. 1333 . — ISBN 0-07-051400-3 .
↑ T. Ohlsson. Fizica cuantică relativistă: de la mecanica cuantică avansată la teoria cuantică introductivă a câmpurilor . - Cambridge University Press, 2011. - P. 7–10. — ISBN 978-1-13950-4324 .
↑ E. Abers. Mecanica cuantică. - Addison Wesley, 2004. - P. 11, 104, 105, 410-411. - ISBN 978-0-13-146100-0 .
↑ H. L. Berk . Operatorul de transformare Lorentz omogen adecvat e L = e − ω S − ξ K , Unde se duce, Care este răsucirea . Arhivat din original pe 29 octombrie 2013. Preluat la 7 decembrie 2020.
↑ Weinberg, S. (1964). „Reguli Feynman pentru orice rotire” (PDF) . Fiz. Rev. _ 133 (5B): B1318-B1332. Cod biblic : 1964PhRv..133.1318W . DOI : 10.1103/PhysRev.133.B1318 . Arhivat (PDF) din original pe 2020-12-04 . Accesat 2020-12-07 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor ); Weinberg, S. (1964). Reguli Feynman pentru orice rotire. II. Particule fără masă” (PDF) . Fiz. Rev. _ 134 (4B): B882-B896. Cod biblic : 1964PhRv..134..882W . DOI : 10.1103/PhysRev.134.B882 . Arhivat (PDF) din original pe 2022-03-09 . Accesat 2020-12-07 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor ); Weinberg, S. (1969). Reguli Feynman pentru orice rotire. III” (PDF) . Fiz. Rev. _ 181 (5): 1893-1899. Cod biblic : 1969PhRv..181.1893W . DOI : 10.1103/PhysRev.181.1893 . Arhivat (PDF) din original pe 25.03.2022 . Accesat 2020-12-07 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ K. Masakatsu (2012). „Problema de supraradiare a bozonilor și fermionilor pentru găurile negre rotative în formularea Bargmann-Wigner.” arXiv : 1208.0644 .
↑ N.N. Bogolubov. Principii generale ale teoriei câmpurilor cuantice . — al 2-lea. - Springer, 1989. - P. 272. - ISBN 0-7923-0540-X .
↑ T. Ohlsson. Fizica cuantică relativistă: de la mecanica cuantică avansată la teoria cuantică introductivă a câmpurilor . - Cambridge University Press, 2011. - P. 10. - ISBN 978-1-13950-4324 .
↑ D. Bonastos (1994), Symmetry Algebra of the Planar Anisotropic Quantum Harmonic Oscillator with Rational Ratio of Frequencies, arΧiv : hep-th/9402099 .
↑ D. Bonastos (1994), Symmetry Algebra of the Planar Anisotropic Quantum Harmonic Oscillator with Rational Ratio of Frequencies, arΧiv : hep-th/9402099 .
↑ Longuet-Higgins, H.C. (1963). „Grupurile de simetrie ale moleculelor nerigide”. Fizica moleculară . 6 (5): 445-460. Bibcode : 1963MolPh...6..445L . DOI : 10.1080/00268976300100501 .
↑ Feynman, Richard. Prelegerile Memoriale Dirac din 1986. - Cambridge University Press, 13 iulie 1999. - P. 57. - ISBN 978-0-521-65862-1 .

Lectură suplimentară

KJ Barnes. Teoria grupurilor pentru modelul standard și nu numai . — Taylor & Francis, 2010. — ISBN 978-142-007-874-9 .
M. Chaichian. Simetria în mecanica cuantică: de la momentul unghiular la supersimetrie. - Institutul de fizică (Bristol și Philadelphia), 1998. - ISBN 0-7503-0408-1 .
Hall (2013), Teoria cuantică pentru matematicieni , Texte pentru absolvenți în matematică, Springer, ISBN 978-1461471158
Hall (2015), Grupuri de minciună, algebre de minciună și reprezentări: o introducere elementară , Texte pentru absolvenți în matematică, Springer, ISBN 978-3319134666
S. Haywood. Simetrii și legi de conservare în fizica particulelor: o introducere în teoria grupurilor pentru fizicienii particulelor . - World Scientific, 2011. - ISBN 978-184-816-703-2 .
MFC Ladd. Simetrie în molecule și cristale . - Seria Ellis Horwood în chimie fizică, 1989. - ISBN 0-85312-255-5 .
W. Ludwig. Simetrii în fizică. - Springer, 1996. - ISBN 3-540-60284-4 .
B. R. Martin, G. Shaw. fizica particulelor . — Seria Manchester Physics, John Wiley & Sons. - ISBN 978-0-470-03294-7 .
D. McMahon. Teoria câmpului cuantic. - Mc Graw Hill, 2008. - ISBN 978-0-07-154382-8 .
Moretti. Teoria spectrală și mecanica cuantică; Fundamente matematice ale teoriilor cuantice, simetrii și introducere în formularea algebrică ediția a 2-a. - Springer, 2018. - ISBN 978-3-319-70705-1 .