Produsul spațiilor topologice

Un produs al spațiilor topologice este un spațiu topologic obținut ca mulțime prin produsul cartezian al spațiilor topologice originale și dotat cu o topologie naturală numită topologia produsului [1] [2] sau topologia Tikhonov . Cuvântul „natural” este folosit aici în sensul teoriei categoriilor și înseamnă că această topologie satisface o anumită proprietate universală .

Această topologie a fost studiată pentru prima dată de matematicianul sovietic Andrei Tikhonov în 1926 .

Definiții

Lăsa:

\{X_{\alpha }:\alpha \in A\}

este o familie de spații topologice,

X=\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }

este produsul lor cartezian (ca mulțimi),

p_{\alpha }:X\la X_{\alpha }

este proiecția produsului pe factorul corespunzător.

Topologia Tikhonov activată este cea mai brută topologie (adică topologia cu cele mai puține seturi deschise ) pentru care toate proiecțiile sunt continue . Mulțimi deschise ale acestei topologii sunt toate uniunile posibile de mulțimi de forma , unde fiecare este o submulțime deschisă și numai pentru un număr finit de indici. În special, mulțimile deschise ale produsului unui număr finit de spații sunt pur și simplu uniuni ale produselor submulților deschise ale spațiilor originale. $X$ $p_{\alpha }$ $\prod _{i\in I}U_{i}$ $U_{i}$ $X_{i}$ $U_{i}\neq X_{i}$

De asemenea, topologia Tikhonov poate fi descrisă după cum urmează: o familie de mulțimi este luată ca prebază a topologiei . Baza topologiei este toate intersecțiile finite posibile de mulțimi din , iar topologia este toate uniunile posibile de mulțimi de la bază. $X$ ${\mathfrak {P}}=\{p_{\alpha }^{-1}(U):\alpha \in A,\,U\in {\mathfrak {T}}_{\alpha }\}$ ${\mathfrak {P}}$

Topologia Tikhonov este mai slabă decât așa-numita topologie „cutie”, pentru care baza topologiei este formată din toate produsele posibile ale submulților deschise de spații de multiplicare. O astfel de topologie nu are proprietatea universală de mai sus și teorema lui Tihonov nu este adevărată pentru ea .

Exemple

Topologia obișnuită pe (topologia indusă de metrică ) este topologia produsului pe gradul cartezian $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} .$

Mulțimea Cantor este homeomorfă la produsul unui număr numărabil de copii ale spațiului discret {0,1}, iar spațiul numerelor iraționale este homeomorf la produsul unui număr numărabil de spații de numere naturale (cu topologie discretă).

Proprietăți

Spațiul topologic , împreună cu proiecțiile la fiecare componentă , poate fi definit folosind proprietatea universală : dacă este un spațiu topologic arbitrar și pentru fiecare este dată o mapare continuă, atunci există o mapare unică astfel încât pentru fiecare diagrama următoare este comutativă: $X$ $X_{i}$ $Y$ $i\în eu$ $Y\la X_{i},$ $Y\la X,$ $i\în eu$

Aceasta arată că produsul Tikhonov este un produs din categoria spațiilor topologice . Din proprietatea universală rezultă că o mapare este continuă dacă și numai dacă fiecare mapare este continuă.În multe situații, continuitatea este mai ușor de verificat. $f:Y\la X$ $f_{i}=p_{i}\circ f,$ $f_{i}$

Proiecțiile nu sunt doar continue, ci și mapări deschise (adică fiecare set deschis al produsului, atunci când este proiectat pe o componentă, intră într-un set deschis). Reversul, în general, nu este adevărat (un contraexemplu este o submulțime care este complementul unui cerc deschis). De asemenea, proiecțiile nu sunt neapărat mapări închise (un contraexemplu este că imaginile proiecțiilor unui set închis pe axele de coordonate nu sunt subseturi închise ale liniei). $p_{i}$ $\mathbb {R} ^{2},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\},$

Topologia unui produs este uneori numită topologia convergenței punctuale. Motivul pentru aceasta este următorul: o secvență de elemente dintr-un produs converge dacă și numai dacă imaginea sa converge atunci când este proiectată pe fiecare componentă. De exemplu, topologia unui produs pe spațiul funcțiilor cu valori reale pe este o topologie în care o secvență de funcții converge atunci când converge punctual. $\mathbb {R} ^{I},$ $eu$

Relația cu alte concepte topologice

Axiome de separabilitate :

Produsul lui -spații are proprietatea . $T_{0}$ $T_{0}$
Produsul lui -spații are proprietatea . $T_{1}$ $T_{1}$
Produsul spațiilor Hausdorff este Hausdorff.
Produsul spațiilor regulate este regulat.
Produsul spațiilor complet regulate este complet regulat.
Produsul spațiilor normale nu este întotdeauna normal .

Compactitate :

Produsul spațiilor compacte este compact .
Produsul spațiilor compacte local nu este întotdeauna compact local. Totuși, produsul unei familii de spații compacte local în care toate componentele, cu excepția unui număr finit, sunt compacte, este compact local.

Conectivitate :

Produsul spațiilor conectate (respectiv, conectate la cale) este conectat (respectiv, conectat la cale).
Produsul spațiilor complet deconectate este complet deconectat.

Compactitatea produselor Tikhonov

Teorema lui Tikhonov : dacă toate mulțimile sunt compacte , atunci produsul lor Tikhonov este de asemenea compact. $X_{\alpha }$

Pentru a demonstra afirmația, conform teoremei prebazei a lui Alexander , este suficient să demonstrăm că fiecare acoperire de elemente ale unei prebaze admite o subacoperire finită. Pentru orice , să fie uniunea tuturor seturi pentru care setul este conținut în capac. Atunci partea neacoperită a spațiului X este exprimată prin formula: ${\mathfrak {P}}$ $\alfa$ $V_{\alpha }$ $U\în X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }^{-1}(U)$

\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }\setminus V_{\alpha }

Deoarece acest set este gol, cel puțin un factor trebuie să fie gol. Aceasta înseamnă că, pentru unii , învelișul luat în considerare conține -preimaginea acoperirii spațiului . Datorită compactității spațiului , o subcopertă finită poate fi distinsă de capacul său, iar apoi imaginea sa inversă față de mapare va fi o subcopertă finită a spațiului . $\alfa$ $\pi _{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }$ $X$

Vezi și

cubul Tihonovski

Note

↑ Iu. G. Borisovici, N. M. Bliznyakov, T. N. Fomenko. Introducere în topologie. Ed. a II-a, adaugă. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 . S. 107.
↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Topologie elementară. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 . S. 158.

Literatură

Engelking R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.