Cale (topologie)

În matematică , o cale într-un spațiu topologic X  este o mapare continuă f de la intervalul unitar I = [0,1] la X

Punctul de început al traseului este f (0), iar punctul final  este f (1). Adesea vorbim despre „calea de la x la y ”, unde x și y  sunt punctele de început și de sfârșit ale căii. Rețineți că o cale nu este doar un subset de X care „seamănă” cu o curbă , ci include și o parametrizare . De exemplu, maparea f ( x ) = x și g ( x ) = x 2 reprezintă două căi diferite de la 0 la 1 pe linia reală.

O buclă în spațiul X cu punctul de bază x ∈ X  este o cale de la x la x . O buclă poate fi definită și ca o mapare f  : I → X cu f (0) = f (1) sau ca o mapare continuă de la cercul unitar S 1 la X

Acesta din urmă rezultă din faptul că S 1 poate fi considerat un spațiu de coeficient al lui I când 0 este identificat cu 1. Mulțimea tuturor buclelor din X formează un spațiu numit spațiu de bucle al spațiului X [1] .

Un spațiu topologic în care există o cale care leagă oricare două puncte se numește conectat la cale . Orice spațiu poate fi împărțit într-un set de componente conectate liniar . Mulțimea componentelor conectate liniar ale spațiului X este adesea notat cu π 0 ( X );.

De asemenea, se pot defini trasee și bucle în spații ascuțite , care sunt importante în teoria homotopiei . Dacă X este un spațiu topologic cu un punct distinct x 0 , atunci o cale în X  este o cale al cărei punct de plecare este x 0 . În mod similar, o buclă în X  este o buclă la x 0 .

Homotopia căii

Căile și buclele sunt obiecte centrale de studiu în ramura topologiei algebrice numită teoria homotopiei . Omotopia traseelor ​​face precisă noțiunea de deformare continuă a unei căi păstrând în același timp capetele căii.

În special, o homotopie a căilor în X  este o familie de căi f t  : I → X indexate de I astfel încât

• f t (0) = x 0 și f t (1) = x 1 sunt fixe.
• maparea F  : I × I → X dată de F ( s , t ) = f t ( s ) este continuă.

Căile f 0 și f 1 se spune că sunt homotopice (sau, mai precis, homotopice liniar ) dacă sunt conectate printr-o homotopie. În mod similar, se poate defini o homotopie a buclei care păstrează punctul de bază.

Relația de homotopie este o relație de echivalență pentru căi dintr-un spațiu topologic. Clasa de echivalență a unei căi f sub această relație se numește clasa de homotopie a lui f și este adesea notă [ f ].

Compoziția căilor

Este posibil să se formeze o compoziție de căi într-un spațiu topologic într-un mod evident. Fie f  o cale de la x la y și g  o cale de la y la z . Calea fg este definită ca calea obținută mai întâi prin trecerea f și apoi a g :

Este clar că compoziția traseului este definită numai dacă punctul final f coincide cu punctul de început g . Dacă luăm în considerare buclele în punctul x 0 , atunci compoziția traseului este o operație binară .

Compoziția căii, dacă este definită, nu este o operație asociativă din cauza diferenței de parametrizare. Cu toate acestea, este asociativă până la homotopie. Adică [( fg ) h ] = [ f ( gh )]. Compoziția căii definește structura unui grup pe mulțimea claselor de bucle homotopice din X cu punctul de bază x 0 . Grupul rezultat se numește grupul fundamental al lui X cu punctul x 0 marcat și este de obicei notat π 1 ( X , x 0 ).

Se poate defini o cale în X ca o mapare continuă a intervalului [0, a ] în X pentru orice a real ≥ 0. O cale f de această formă are lungime | f | definit ca a . Compoziția căii este apoi definită ca înainte, cu următoarea modificare:

În timp ce în definiția anterioară f , g și fg au lungimea 1, această definiție dă | fg | = | f | + | g |. Ceea ce în prima definiție a condus la încălcarea asociativității a fost că, deși ( fg ) h și f ( gh ) aveau aceeași lungime, și anume 1, punctul de mijloc al lui ( fg ) h a ajuns între g și h , în timp ce punctul de mijloc al lui f ( gh ) a fost între f și g . În definiția modificată a lui ( fg ) h și f ( gh ) au aceeași lungime și anume | f |+| g |+| h | și aceleași puncte de mijloc găsite în (| f |+| g |+| h |)/2 atât pentru ( fg ) h cât și pentru f ( gh ). Și chiar și ei au aceeași parametrizare.

Grupoid fundamental

Orice spațiu topologic X dă naștere unei categorii ale cărei obiecte sunt punctele lui X și ale cărei morfisme sunt clasele de homotopie a căii. Deoarece orice morfism din această categorie este un izomorfism , această categorie este un grupoid , numit grupoid fundamental al lui X. Buclele din această categorie sunt endomorfisme (toate sunt de fapt automorfisme ). Grupul de automorfism al punctului x 0 din X  este pur și simplu grupul fundamental din X . Se poate defini un grupoid fundamental pe orice submulțime A a lui X folosind clasele de omotopie de căi care leagă punctele din A.

Literatură

• Ronald Brown. Topologie și grupoizi. - Deganwy, Regatul Unit, 2006. - ISBN 1-4196-2722-8 .

• Peter May. Un curs concis de topologie algebrică. - Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999. - ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.

• James R. Munkres. topologie. — 2 ed. - NJ: Prentice Hall, 2000. - ISBN 0-13-181629-2 .
• John Frank Adams. Spații de buclă infinite. - Princeton University Press, 1978. - T. 90. - (Analele studiilor de matematică). — ISBN 9780691082066 .
• O.Da. Viro, O.A. Ivanov, N.Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov. Topologie elementară. - M. : MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .

1. ↑ Adams, 1978 , p. 3.