Distribuție (geometrie diferențială)

O distribuție pe o varietate este un subgrup al mănunchiului tangent al varietății. Cu alte cuvinte, în fiecare punct, se alege un subspațiu liniar al spațiului tangent , care depinde fără probleme de punctul . $M$ $x\în M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $X$

Distribuțiile sunt folosite în teoria integrabilității și în teoria folierilor pe o varietate.

Definiție

Fie o varietate dimensională netedă și . Să presupunem că în fiecare punct este ales un subspațiu -dimensional al spațiului tangente astfel încât orice punct are o vecinătate și câmpuri vectoriale netede liniar independente , iar pentru orice punct , vectorii formează baza subspațiului . $M$ $n$ $k\leq n$ $x \în M$ $k$ $\Delta _{x}\subset T_{x}(M)$ $x\în M$ $U_{x}\subset M$ $k$ $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $y\in U_{x}$ $X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)$ $\Delta _{y}\subset T_{y}(M)$

În acest caz, colecția tuturor subspațiilor , , se numește distribuție dimensională pe varietatea . $\Delta$ $\Delta _{x}$ $x \în M$ $k$ $M$

În acest caz, câmpurile vectoriale sunt numite baza locală a distribuției $\{X_{1},\ldots, X_{k}\}$ $\Delta .$

Distribuții involutive

O distribuție pe se numește involutivă dacă în vecinătatea fiecărui punct există o bază de distribuție locală, astfel încât toate parantezele Lie ale câmpurilor vectoriale aparțin intervalului liniar , adică sunt combinații liniare de vectori . Condiția ca distribuția să fie involutive se scrie ca . $\Delta$ $M$ $x \în M$ $\{X_{1},\ldots, X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots, X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots, X_{k}\}.$ $\Delta$ $[\Delta,\Delta]\subset \Delta$

Distribuțiile involutive sunt spații tangente la foliații . Distribuțiile involutive sunt importante prin faptul că îndeplinesc condițiile teoremei Frobenius și conduc astfel la sisteme integrabile.

Definirea unei distribuții printr-un sistem cu 1 formă

Pe o mulțime deschisă, distribuția -dimensională poate fi dată de un sistem de 1-forme netede definite la și liniar independente în fiecare punct: este definită de ecuațiile . Dacă și sunt sisteme de 1-forme care determină distribuția în și în , atunci la intersecție forma , unde sunt funcții netede astfel încât în . Dacă , spunem că este dat sistemul definitoriu global de forme . $U\subset M$ $k$ $\Delta$ $\omega _{1},\dots,\omega _{nk)$ $U$ $\omega _{i}(\xi )=0$ $\{\omega _{1}\dots,\omega _{nk}\)$ ${\displaystyle \{\omega _{1}',\dots ,\omega _{nk}'\))$ $\Delta$ $U$ $U'$ $U\cap U'$ $\omega _{i}=\sum \phi _{ij}\omega _{j)$ $\phi _{ij}$ $\det(\phi _{ij})\neq 0$ $U\cap U'$ $U=M$

Integrabilitatea distribuției

$k$ Se spune că o distribuție -dimensională este integrabilă dacă există o suprafață integrală -dimensională care trece prin fiecare punct care este tangentă la distribuția din fiecare dintre punctele sale. $x\în M$ $k$

Distribuția unidimensională este dată de un câmp vectorial care nu dispare . O astfel de distribuție este întotdeauna integrabilă datorită teoremei de existență și unicitate locală pentru soluțiile ecuațiilor diferențiale obișnuite.

În cazul -dimensional, , există atât distribuții integrabile, cât și neintegrabile. Teorema Frobenius oferă o condiție necesară și suficientă pentru integrabilitatea unei distribuții. $k$ $k>1$

Teorema lui Frobenius în ceea ce privește câmpurile vectoriale

Teoremă: O distribuție -dimensională este integrabilă dacă și numai dacă mulțimea de vectori tangenți la distribuție este închisă sub paranteza Lie . $k$

Astfel, distribuțiile involutive sunt integrabile.

Teorema lui Frobenius în termeni de 1-forme

Teorema: -distributia dimensionala data de un sistem de 1-forme netede este integrabila daca si numai daca orice diferenta $k$ $\omega _{1},\dots,\omega _{nk)$

$d\omega _{i}=\sum _{j}\eta _{j}^{i}\wedge \omega _{j)$ ,

unde sunt netede 1-forme. Dacă formele definitorii sunt independente, această condiție este echivalentă cu sistemul $\eta _{j}^{i)$ $\omega _{{i}}$

$\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{nk}\wedge d\omega _{i}=0$ .

O distribuție integrabilă definește o folie pe o varietate : fibrele sale sunt suprafețe de distribuție integrale. Rețineți că distribuția -dimensională este întotdeauna integrabilă, prin urmare generează o foliare -dimensională . $\Delta$ $M$ $unu$ $unu$

Teorema lui Thurston

Teorema lui Thurston : Pe o varietate închisă , fiecare distribuție este integrabilă homotopic [1] , [2] .

Pentru o varietate deschisă , un criteriu pentru ca o distribuție să fie homotopică la o distribuție integrabilă a fost găsit de Haefliger [3] .

Vezi și

Note

↑ W. Thurston , Theory of foliations of codimension more than one - Comm. Matematică. Helv. 49 (1974), pp. 214–231.
↑ W. Thurston , Existența unei folii de codimensionare - Ann. of Math., 104:2 (1976), pp. 249–268.
↑ A. Haefliger , Feuilletages sur les variétés ouvertes - Topology, 9:2 (1970), pp. 183–194.

Literatură

Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometrie modernă. Metode și aplicații. — M .: Nauka, 1971.
Fomenko A. T. , Fuchs D. B. Un curs de topologie homotopică. — M .: Nauka, 1989.