Seria Laurent

Seria Laurent a unei funcții complexe este o reprezentare a acestei funcții ca o serie de puteri, în care există termeni cu puteri negative. Numit după matematicianul francez P. A. Laurent .

Definiție

Seria Laurent la punctul final este o serie funcțională în puteri întregi pe câmpul numerelor complexe : $z_{0}\in \mathbb {C}$ $(z-z_{0})$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad

unde este o variabilă și coeficienți pentru .

z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\)

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Această serie este suma a două serii de puteri:

$\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n)$ este partea din puteri nenegative , $(z-z_{0})$
$\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ face parte din puterile negative ale . $(z-z_{0})$

Seria Laurent converge dacă și numai dacă ambele părți (atât în puteri negative, cât și pozitive) converg.

Dacă este regiunea de convergență a seriei Laurent astfel încât , atunci pentru $A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C}}\setminus \{z_{0}\})$ $z_{0}\in \partial {A_{z_{0)}}$ $A_{z_{0)}$

rândul se numește partea dreaptă ,

\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n)

rândul se numește partea principală .

\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

Seria Laurent la infinit este o serie funcțională în puteri întregi pe câmpul numerelor complexe: $z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}$ $z$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad

unde este o variabilă și coeficienți pentru .

z\in \mathbb {C} \setminus \{0\)

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

În aparență, seria pentru coincide cu seria pentru , însă, din punct de vedere formal, s-a obținut prin înlocuirea pentru . $z_{0}=\infty$ $z_{0}=0$ $z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}$ $\zeta _{0}=0$

Dacă este regiunea de convergență a seriei Laurent astfel încât , atunci pentru $A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C}}\setminus \{0\})$ $\infty \in \partial {A_{\infty }}$ $A_{\infty )$

rândul se numește partea dreaptă ,

\sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}

rândul se numește partea principală .

\sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}

Proprietăți

Partea converge în puteri pozitive în interiorul unui cerc de rază , $(z-z_{0})$ $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\)$ $R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\ infty ]$

partea în puteri negative converge în exteriorul unui cerc de rază .

(z-z_{0})

\Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} } }:|z-z_{0}|>r\}

D_{r)

r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]

Prin urmare, dacă , atunci interiorul regiunii de convergență a seriei Laurent este nevid și este un inel circular

r<R\,

A

A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{ R}

Comportamentul seriei Laurent în punctele cercului limită depinde numai de un arbitrar , $C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C}:|z-z_{0}|=R\)$ $\sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ $n_{s}\in \mathbb {N}$

iar în punctele cercului limită - numai de la pentru arbitrar .

C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C}:|z-z_{0}|=r\)

\sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

n_{s}\in \mathbb {N}

Astfel, ca și pentru seriile de putere , comportamentul seriei Laurent la punctele limită ale inelului poate fi variat.

A

Seria Laurent converge absolut în toate punctele inelului . $A$
Pe orice submulțime compactă , seria converge uniform . $K\subset A$
Pentru fiecare punct , există o valoare astfel încât , iar seria Laurent poate fi scrisă ca o serie care converge în puteri ale : $\zeta _{0}\in A$ $\rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist }}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0$ $D_{\rho}(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C}:|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\ }\subset A$ $f(z)$ $D_{\rho}(\zeta _{0})$ $(z-\zeta _{0})$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty } t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad

unde și pentru _

z\in D_{\rho }(\zeta _{0})

t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!)}}

k\in \{0\}\cup \mathbb {N}

acestea. este pentru punctul corect . Astfel, suma seriei lui Laurent este o funcție analitică .

\zeta _{0}

f(z)

A

f(z)

Căci pe cercurile de frontieră ale inelului de convergență , există mulțimi nevide , de puncte care nu sunt regulate pentru. $0<r<R<+\infty$ $A$ $I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})$ $I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})$ $f(z)$
Seria Laurent poate fi diferențiată pe orice termen compact cu termen. $K\subset A$
Integrarea seriei Laurent dă o funcție cu o singură valoare numai pentru , deoarece pentru orice valoare $A$ $c_{-1}=0$ $\rho >0$ $\int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{ \begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\ dreapta.$

Seria reprezentând funcția într-un domeniu dublu conexat pentru orice curbă orientată compactă și rectificabilă poate fi integrată termen cu termen, în timp ce rezultatul integrării depinde doar de punctele inițiale și finale și nu depinde de forma curbei .

\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,

A

f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,

K\subset A

\gamma \subset K

\gamma

\gamma

\gamma

Coeficienții seriei Laurent satisfac relațiile $(c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ $f(z)$

c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0} )^{n+1))}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\ ,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}

, unde este orice curbă rectificabilă situată într-o curbă compactă și ocolând punctul în sens invers acelor de ceasornic o dată . În special, se poate lua ca orice cerc de rază centrat pe , situat în interiorul inelului de convergență și orientat pozitiv (parametrul trebuie să crească).

\gamma

K\subset A

z_{{0}}

\gamma

{\displaystyle C_{\rho}=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\))

\rho \in (r;R)

z_{{0}}

t

Expansiunea într-o serie Laurent este unică , adică dacă pentru două serii Laurent în puteri convergente în și , respectiv, sumele lor coincid pe un anumit cerc sau pe o curbă rectificabilă homotopică acestuia , atunci toți coeficienții acestor serii coincid. $(z-z_{0})$ $A_{1}$ $A_{2}$ $C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C}:|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$ $\gamma \sim C_{\rho }$

Teorema lui Laurent

Aplicarea seriei Laurent se bazează în principal pe următoarea teoremă Laurent:

Orice funcție cu o singură valoare și analitică într-un inel poate fi reprezentată într-o serie Laurent convergentă în puteri .

f(z)

A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \)

A

(z-z_{0})

Reprezentarea unei funcții analitice neechivoce sub forma unei serii Laurent servește ca instrument principal pentru studierea comportamentului acesteia în vecinătatea unui punct singular izolat : $f(z)$ $A_{z_{0)}$

1) dacă punctul este , atunci există o rază astfel încât în vecinătatea perforată $z_{0}\neq \infty$ $R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]$

A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad

funcția este reprezentabilă printr-o serie Laurent (convergentă); $f(z)$

2) dacă punctul este , atunci există o rază astfel încât în vecinătatea perforată $z_{0}=\infty$ $r_{\infty }\in [0;+\infty )$

A_{\infty}=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \)

funcția este reprezentabilă printr-o serie Laurent (convergentă). $f(z)$

Tipul unui punct singular izolat este determinat de partea principală a seriei Laurent din vecinătatea perforată : $z_{{0}}$ $A_{z_{0)}$

Punct singular detașabil - partea principală a seriei Laurent este egală cu 0.
Pol - partea principală conține un număr finit de membri non-zero.
Punct în esență singular - partea principală conține un număr infinit de termeni nenuli.

Literatură

Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Markushevich AI Teoria funcțiilor analitice. Volumul 1: Începuturile teoriei. - Ed. al 2-lea. — M .: Nauka , 1967 . — 486 p.
Privalov II Introducere în teoria funcţiilor unei variabile complexe. - al 13-lea. — M .: Nauka , 1984 . — 432 p.
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Per. din engleza. - Ed. a II-a, revizuită. — M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux