Teorema lui Legendre (trigonometrie sferică)

Teorema lui Legendre în trigonometrie sferică face posibilă simplificarea soluției unui triunghi sferic , dacă se știe că laturile sale sunt suficient de mici în comparație cu raza sferei pe care se află.

Formulare

Să fie dat un triunghi sferic cu laturile mici în comparație cu raza sferei , unghiurile și curtoza . Să construim un triunghi pe planul cu laturile egale în lungime cu laturile corespunzătoare ale triunghiului sferic dat, adică din moment ce laturile triunghiului sferic au o măsură unghiulară și sunt exprimate în radiani, atunci . Să notăm unghiurile unui astfel de triunghi (exprimat în radiani) ca . Teorema lui Legendre afirmă că următoarele relații sunt adevărate [1] : $a,b,c$ $R$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\varepsilon =\alpha +\beta +\gamma -\pi$ $a',b',c'$ $a'=aR,b'=bR,c'=cR$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$

\alpha '\aprox \alpha -{\frac {\varepsilon {3)}

\beta '\aprox \beta -{\frac {\varepsilon {3)}

\gamma '\aprox \gamma -{\frac {\varepsilon {3)}

Astfel, dacă laturile unui triunghi sferic sunt mici în comparație cu raza sferei, îl putem înlocui cu un triunghi plat cu laturile de aceeași lungime și cu o treime din unghiurile mai mici de curtoză și să calculăm elementele unui triunghi plat.

Istorie

Această teoremă a fost formulată de A. M. Legendre în 1787 [2] și demonstrată de acesta în 1798 [3] . Cu toate acestea, conform unor surse, era cunoscut încă din 1740, când Sh.M. de la Condamine l-a folosit în prelucrarea măsurătorilor de grad ale expediției peruane [4] .

Note

↑ Stepanov N. N. §55. Teorema lui Legendre // Trigonometrie sferică. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 141-143. — 154 p.
↑ Legendre AM: Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendent de la figure de la Terre. Histoire de l'Académie royale de sciences, Paris 1787; 352-383.
↑ Legendre AM: Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d'après les observations faites pour la mesure de l'arc include entre Dunkerque et Barcelone, Nota III: Resolution des triangles sphériques dont des côtés sont très petits par rapport au rayon de la sfera. JB Delembre: Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du méridien, Paris 1798; 12-14
↑ Zbynek Nadenik. Teorema Legendre asupra triunghiurilor sferice . Arhivat din original pe 16 ianuarie 2014.

Trigonometrie sferică
Noțiuni de bază	triunghi sferic triunghi polar Exces Bigon
Formule și rapoarte	Teoreme ale cosinusului Teorema sinusului Formula cu cinci elemente Formula pe jumătate regula mnemonică a lui Napier Teorema sferică a lui Pitagora formule Delambre formulele de analogie ale lui Napier teorema lui Legendre Rezolvarea triunghiurilor
subiecte asemănătoare	Sistem de coordonate sferice geometrie sferică unghi triedric