Sistemul Zermelo-Frenkel

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 2 iunie 2021; verificările necesită 5 modificări .

Sistemul de axiome al lui Zermelo-Fraenkel ( ZF ) este cea mai utilizată versiune a teoriei axiomatice a mulțimilor , care este standardul de facto pentru bazele matematicii . Formulat de Ernst Zermelo în 1908 ca mijloc de a depăși paradoxurile teoriei mulțimilor și rafinat de Abraham Frenkel în 1921 .

Axioma alegerii este adesea adăugată acestui sistem de axiome și este numită teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel cu axioma alegerii ( ZFC , în engleză teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel cu axioma alegerii ).

Acest sistem de axiome este scris în limbajul logicii de ordinul întâi . Există și alte sisteme; de exemplu, sistemul de axiome von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) ia în considerare așa-numitele clase de obiecte împreună cu mulțimi și este echivalent cu ZF în sensul că orice teoremă de mulțimi (adică fără menționarea claselor) care este demonstrabilă într-un sistem, este demonstrabil și în celălalt.

Axiome ZFC

Axiomele ZFC sunt următoarea succesiune de propoziții ale teoriei mulțimilor :

$\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\Leftrightarrow b\in A_{2})\Rightarrow A_{1}=A_{2} )$ condiția de egalitate a mulțimilor ( axioma volumizității ).
${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\\exists C\\forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow (b=a_{1}\\lor \ b=a_{ 2}){\bigr )))$ existenţa unei mulţimi formată din două elemente. $C=\{a_{1},a_{2}\}$
$\forall A\\exists D\\forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists a\ (a\in A\\land \c\in a){\bigr ))$ existenţa unei uniuni de elemente ale unei mulţimi. $D=\cup a_{i},A=\{a_{i}\}$
$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ existenţa unei mulţimi de submulţimi ale unei mulţimi. $d={\mathcal {P}}(a)$
$\forall A\\exists C\\forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow b\in A\\land \\Phi [b]{\bigr ))$ existenţa unei submulţimi ale cărei elemente satisfac o proprietate dată. $C=\{b:b\în A,\Phi [b]\}$
$\exists A\colon {\bigl (}\varnothing \in A\\land \\forall b\ (b\in A\Rightarrow b\cup \{b\}\in A){\bigr )}$ existenţa unei mulţimi infinite. ${\displaystyle A=\{\varnothing,\{\varnothing \},\{\varnothing,\{\varnothing \}\},...\))$
${\displaystyle \forall x\ \exists !y\ \phi [x,y]\Rightarrow \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists b\ (b) \in A\ \land \ \phi [b,c]){\bigr )))$ existența unei imagini funcționale. $D=\phi (A)$
$\forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\neq \varnothing )\\land \\forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\ \land \ \{b_{1},b_{2}\}\subseteq A\Rightarrow b_{1}\cap b_{2}=\ nimic)$ $\Rightarrow \exists D\forall b\ {\bigl (}b\in A\to \exists c\ (b\cap D=\{c\}){\bigr )}{\Bigr ))$ pentru orice clasă de mulțimi nevide care nu se intersectează, există o mulțime care conține un element din fiecare mulțime ( axiomă de alegere ). Nu chiar: ${\displaystyle D=\{c_{i}:c_{i}\in b_{i},i\in I\},A=\{b_{i}:i\in I\))$
${\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \\forall c\ (c\in b\Rightarrow c\notin A){\bigr )}{\Bigr )))$ Orice clasă nevidă conține o mulțime , ale cărei toate elementele nu sunt elemente ale clasei ( axioma regularității ). Nu chiar: $A$ $b$ $A$ $\exists b\in A:b\cap A=\varnothing$

Enumerarea este dată conform cărții Frenkel A. A., Bar-Hillel I. „Fundamentals of Set Theory”.

Puteți introduce axioma numărul 0 despre existența unei mulțimi goale , dar aceasta nu este altceva decât o notație. Numai unicitatea mulțimii goale este importantă și este derivată din axiomele 1-5. Mulțimea {a} trebuie înțeleasă ca perechea {a, a}. $\exists A\colon \forall b\ (b\notin A)$

Articolul în discuție conține 10 afirmații (inclusiv axioma setului gol), care pot fi grupate după cum urmează.

Explicația axiomelor ZFC

Axiomele ZFC includ:

0) un grup de afirmații despre egalitatea mulțimilor (axioma 1),

1) un grup de afirmații despre existența mulțimilor (axiomele 0, 6),

2) un grup de afirmații despre formarea mulțimilor din mulțimi deja existente (axiomele 2, 3, 4 și schemele 5, 7), în care se pot distinge trei subgrupuri,

3) un grup de enunţuri despre ordonarea mulţimilor formate (axiomele 8, 9).

0. Criterii pentru egalitatea multimilor in ZFC

Următoarea afirmație exprimă o condiție suficientă pentru identitatea a două mulțimi.

Axioma extensivității ( Axioma volumului )

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2} )

Notă

„Axioma subțirii” poate fi formulată după cum urmează: „Dacă fiecare element al primului set aparține celui de-al doilea set și fiecare element al celui de-al doilea set aparține primului set, atunci ambele seturi sunt identice.”

O condiție necesară pentru identitatea a două mulțimi are forma și este derivată din axiomele predicatelor și anume: $\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\la \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) )$ $=$

\forall a\ (a=a)

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))

, unde este orice judecată corectă din punct de vedere matematic despre , și este aceeași judecată, dar despre .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Combinația dintre condiția necesară specificată [identitatea mulțimilor] cu axioma tridimensionalității dă următorul criteriu pentru egalitatea mulțimilor :

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) \ )

1. Axiome ZFC privind existența mulțimilor

„Axioma volumului” ar fi o propoziție inutilă dacă nu ar exista nicio mulțime, sau doar o singură mulțime.

Următoarele două afirmații garantează existența a cel puțin două mulțimi diferite și anume: a) o mulțime fără nimic în ea și b) o mulțime care conține un număr infinit de elemente.

1.0 Axioma setului gol

\există A\forall b\ (b\notin A)

Notă

„Axioma [existenței] unei mulțimi goale” poate fi enunțată după cum urmează: „Există [cel puțin o] mulțime fără un singur element”.

Se dovedește că „axioma mulțimii goale” este echivalentă cu afirmația . Prin urmare, unui singur set i se poate da un nume. Există două denumiri comune: și . Folosind aceste nume, „axioma setului gol” este scrisă după cum urmează: $\există !A\forall b\ (b\notin A)$ $A$ $\varnothing$ $\{\}$

\forall b\ (b\notin \varnothing )

și

\forall b\ (b\notin \{\})

1.1 Axioma infinitului

\exists A\ (\varnothing \in A\\land \\forall b\ (b\in A\to b\cup \{b\}\in A)\ )

, Unde

b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\}

Notă

„Axioma infinitului” poate fi afirmată după cum urmează: „Există [cel puțin un] „ mult infinit ” care constă din ”. $\varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\\ ldots$

Afirmația despre existența unei mulțimi infinite diferă de afirmația (falsă în această axiomatică) despre existența „ mulțimii tuturor mulțimilor ” ( ). $\există A\forall b\(b\in A)$

2. Axiome ZFC privind formarea multimilor

Următoarele cinci afirmații pot fi numite axiomele formării mulțimilor [din mulțimi existente, inclusiv cel puțin una ]. $\varnothing$ $\infty$

Fiecare dintre aceste cinci propoziții este construită pe baza unei propoziții care este derivată din axiomele predicatului . $\forall A\exists b\ (b=\varphi [A])$ $=$

Aceste cinci afirmații pot fi grupate în următoarele subgrupe:

2.0) un grup de postulate despre formarea mulțimilor prin enumerarea elementelor acestora,

2.1) un grup de declarații privind înființarea și desființarea familiilor de seturi,

2.2) un grup de scheme pentru formarea multimilor cu ajutorul judecăților corecte din punct de vedere matematic.

2.0. Postulatul formării mulțimilor prin enumerarea elementelor acestora: Axioma unei perechi

Cea mai simplă modalitate de a forma un nou set [din seturi deja existente] este să „împingeți un deget” la fiecare set care ar trebui să devină un element [al setului care se formează]. În ZFC, acest mod de a forma mulțimi este reprezentat de o axiomă, în care „îndreptarea cu degetul” este modelată folosind predicatul . $=$

2.0 Axioma perechii

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

, ce este

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b\colon b=a_{1}\\lor \b=a_{2}\})

Notă

„Axioma perechii [neordonate]” poate fi formulată după cum urmează: „Din oricare două mulțimi este posibil să se formeze o „pereche neordonată”, adică o astfel de mulțime , fiecare element al cărei element este identic cu o mulțime dată sau un set dat ." $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

Exemple

1.\ a_{1}=0\\land \a_{2}=1\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\\lor \ b=1)

2.\ a_{1}=\varnothing \ \land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \\ lor \ b=\{\varnothing \}\ )

Se dovedește că „axioma perechii” este echivalentă cu afirmația . Prin urmare, unui singur set i se poate da un nume . Folosind numele dat, „axioma perechii” se scrie după cum urmează: $\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\\lor \ b=a_{2})$ $c$ $\{a_{1},a_{2}\}$

\forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\\lor \ b= a_{2})

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\\lor \ b=a_{ 2}\})

2.1. Declarații privind înființarea și desființarea familiilor de mulțimi

Următoarele două axiome, numite „axioma submulțimii” și „axioma uniunii”, pot fi văzute ca o completare naturală a „axiomei perechii”. Pentru a verifica acest lucru, notăm următoarele.

Se știe că fiecare set are subseturi inclusiv [copie a setului gol] și [copie a setului în sine] . Cu alte cuvinte, $z$ $\varnothing$ $z$

\forall z\exists x\exists y\ (x\subseteq z\\land \y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\\land \z\subseteq z)

Ghidați de „axioma perechii”, se poate forma o pereche neordonată din submulțimile numite . Să numim această pereche o familie . $\{\varnothing ,z\}$ $Fam_{2}(z)$

Daca se poate forma o familie din doua submultimi ale multimii , atunci se poate declara formarea unei familii din toate submultimile multimii . $Fam_{2}(z)$ $z$ $Fam_{a}(z)$ $z$

Pentru a declara formarea unei familii este suficient să se ceară ca fiecare element al familiei numite să fie un subset al mulţimii , iar fiecare subset al mulţimii numite să fie un element al familiei . Cu alte cuvinte,

Fam_{a}(z)

b

z

b

Fam_{a}(z)

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\\land \\forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z) \ )

, care este la fel cu oferirea

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)

, ceea ce presupune o ofertă

\există d\forall b\ (b\în d\leftrightarrow b\subseteq z)

, care este un caz special al enunţului

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Dacă se poate declara constituirea unei familii , atunci se poate declara desființarea familiei numite. $Fam_{a}(z)$

Sunt posibile diferite modalități de desființare a familiei , printre care:

Fam_{a}(z)

1) abolirea (distrugerea) sa completă, adică , ceea ce echivalează cu

Del(Fam_{a}(z))=\varnothing

\forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing )

, 2) desființarea (rezervarea) sa fictivă, adică , ceea ce echivalează cu

Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)

\forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))

, 3) abolirea sa inversă (dizolvarea), adică , ceea ce este echivalent cu

Rev(Fam_{a}(z))=z

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

. Pentru că

c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \exists b\ (b=\{c\}\\land \b\in Fam_{a}(z) ))\Leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))

, în măsura în care propunerea

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

echivalează cu o ofertă

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\\land \b\in Fam_{a}(z))\ )

, ceea ce presupune o ofertă

\există d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\\land \b\in Fam_{a}(z))\ )

, care este un caz special al enunţului

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\\land \b\in a)\ )

Din cele de mai sus rezultă că afirmațiile și pot fi considerate condiționate independente. $\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\\land \b\in a)\ )$

2.1.0 Axioma multimii de submultimi (axioma booleana )

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

ce este unde

\forall a\exists d\ (d=\{b\colon b\subseteq a\})

b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\la c\in a)

Notă

„Axioma mulțimii de submulțimi” poate fi formulată după cum urmează: „Din orice mulțime este posibil să se formeze un „superheap”, adică o mulțime constând din submulțimi (proprii sau improprii) ale unei mulțimi date .” $A$ $d$ $b$ $A$

Exemple

1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})

, deoarece

\forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)

2.\ a=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \ există d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \})

3.\ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{1\},\{2 \},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})

4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall b(b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{a_{1} \},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})

Se dovedește că „axioma mulțimii de submulțimi” este echivalentă cu afirmația . Prin urmare, unui singur set i se poate da un nume care se pronunță: „mulțimea tuturor submulților de [mulțimi] ” sau „ [mulții] boolean ”. Folosind numele dat, „axioma setului de submulțimi” este scrisă astfel: $\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $d$ ${\mathcal {P}}(a)$ $A$ $A$

\forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)

\forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})

2.1.1 Axioma unificarii

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\\land \c\in b)\ )

, ce este

\forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\\land \c\in b)\})

Notă

Axioma de unificare [de mulțimi] poate fi formulată astfel: „Din orice familie de mulțimi, se poate forma un „heap-small”, adică o astfel de mulțime , fiecare element aparținând cel puțin unei mulțimi din această familie. ”. $d$ $c$ $b$ $A$

Exemple

1.\ a={\mathcal {P))(\varnothing )=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing )

2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\Rightarrow \există d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P))(\varnothing )\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})

{\begin{aligned}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{ 3\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\}\lor c\in \{1,2\}\lor c\in \{ 3\})\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1,2,3\})\end{aligned}}

4.\ a=\{b,\{b\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \ există d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\ \lor \ c=b)

5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\ {a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_ {1},a_{2}\})

6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\ forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\cup \{a_{1},a_{2}\})

7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnothing,\{a_{1}\},\{a_{2 }\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\ })

Se demonstrează că axioma de unire este echivalentă cu propoziția . Prin urmare, unui singur set i se poate da un nume care se pronunță: „ uniunea seților unei familii ”. Folosind numele dat, axioma uniunii se scrie după cum urmează: $\forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\\land \c\in b)\ )$ $d$ $\cup \,a$ $A$

\forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \c\in b)\ )

sau .

\forall a\ (\cup a=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \c\in b)\}\ )

Unirea mulțimilor familiei ( ) nu trebuie confundată cu intersecția mulțimilor familiei ( ), care este cunoscută: $A$ $\cup a$ $A$ $\cap a$

\forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\la c\in b)

, acesta este

\forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\în a\la c\in b)\})

2.2. Scheme de formare a mulțimilor cu ajutorul judecăților corecte din punct de vedere matematic

Printre afirmațiile matematice, există axiome de conexiune, inclusiv:

a) axioma conexiunii dintre o operație algebrică (adunare) și o operație algebrică (înmulțire) $+$ $\cdot$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z)

b) axioma relației dintre relația de ordine (mai mică sau egală cu) și operația algebrică (adunare) $\leq$ $+$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\ la x+z\leq y+z))

Următoarele două afirmații, numite „schemă de extracție” și „schemă de transformare”, sunt axiome de legătură între mulțimi (de exemplu, mulțime ) și propoziții corecte din punct de vedere matematic (de exemplu, propoziție ). $\{0,1\}$ $x\leq 0$

„Schema de selecție” și „schema de transformare” exprimă următoarea idee simplă: „Orice judecată corectă din punct de vedere matematic despre elementele oricărei mulțimi duce la formarea [aceiași sau a altuia] mulțime”.

Judecățile corecte din punct de vedere matematic care apar în „schema de selecție” permit „aducerea [la o prezentare]” a mulțimilor care se formează, de exemplu, folosind axioma booleană.

Judecățile corecte din punct de vedere matematic care apar în „schema de transformare” vă permit să creați „produse [matematice]” din mulțimi [„grune”] formate, de exemplu, folosind axioma booleană.

2.2.0 Schema de selecție

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\\land \\Phi [b]\ )

, ce este , unde este orice judecată corectă din punct de vedere matematic despre , dar nu despre mulțime și nu despre mulțime .

\forall a\exists c\ (c=\{b\colon b\in a\\land \\Phi [b]\}\ )

\Phi [b]

b

A

c

Notă

Schema de selectare a [subseturilor] poate fi formulată după cum urmează: „Din fiecare set, se poate selecta [cel puțin un] subset făcând o judecată despre fiecare element al acestui set .” $c$ $\Phi$ $b$ $A$

Exemple

1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\Rightarrow \forall a\există c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)

2.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\neq x)\Rightarrow \forall a\există c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\în a\\land \b\neq b )

3.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\in y)\Rightarrow \forall a\există c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\\land \b\in y )

4.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\notin y)\Rightarrow \forall a\există c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\în a\\land \b\notin y )

5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\\land \a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,1\})

\begin{align} 6. \ (\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) \\ \ \Leftrightarrow \exist c \ forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,2,4,6,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \exists u\exists v\ (u\in U\ \land \ v\in V\ \land \ x=(u,v) \ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V \land b=(u,v)))\end{aliniat}}

Se dovedește că schema de selecție este echivalentă cu enunțul . Prin urmare, unui singur subset i se poate da un nume . Folosind numele specificat, schema de alocare este scrisă după cum urmează: $\forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )$ $c$ $\{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}$

\forall a\forall b\ (b\in \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\\land \\Phi [b]\ )

{\displaystyle \forall a(\{x\colon x\in a\\land \\Phi [x]\}=\{b\colon b\in a\\land \\Phi [b]\))

Schema de selecție este echivalentă cu un set numărabil de axiome.

2.2.1 Schema de conversie

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\\to \\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a \ \land \ \phi [b,c]\ )\ )

, ce este

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\\to \\forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\\ teren \ \phi [b,c])\}\ )

Notă

Schema de transformare [mulțime] poate fi formulată după cum urmează: „Orice mulțime poate fi transformată în [aceeași sau alta] mulțime prin exprimarea oricărei judecăți funcționale corecte din punct de vedere matematic despre toate elementele acestei mulțimi ”. $d$ $\phi$ $b$ $A$

Exemple

1.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x)\Rightarrow \forall a\există d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\\ teren \ c=b))\Leftrightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)

{\begin{aligned}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,4,9\})\end{aligned}}

3.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=f(x))\Rightarrow \forall a\există d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=f(b)\ )\ )

{\begin{aligned}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2}) \ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\\ \Rightarrow \ există d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1})) \land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c =a_{2})\end{aliniat}}

\begin{align} 5. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \ există b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,6 ,\ldots\}) \end{align}

\begin{align} 6. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \ leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3 ,5,7,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x\in {\mathbb {N))\ \land \ x<2\to y=x)\ \land \ (x\ în {\mathbb {N}}\ \land \ \neg (x<2)\to y=1))\quad \land \quad a={\mathbb {N}}\\\ \Rightarrow \exists d\ forall c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in {\mathbb {N))\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land b<2\to c=b)\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land \neg (b<2)\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathbb {N}}\ \land \ c<2)\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\})\end{aligned} }

Se dovedește că setul din schema de transformare este unic. Prin urmare, setului specificat poate primi numele . Folosind numele specificat, schema de transformare este scrisă după cum urmează: $d$ $\{y\colon \există x\ (x\în a\\land \\phi [x,y])\)$

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\colon \exists x\ (x\in a\\land \ \phi [x,y])\}\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\colon \exists x\ (x\in a\\land \\phi [x,y] )\}=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )

Schema de transformare este echivalentă cu un set numărabil de axiome.

3. Axiome ZFC privind ordonarea multimilor

Următoarele două afirmații definesc ordonarea mulțimilor care se formează din și fiecare cu ajutorul axiomelor formării mulțimilor. $\varnothing$ $\infty$

3.0 Axioma regularității

\forall a\ (a\neq \varnothing \to \exists b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )

Notă

„Axioma regularității” poate fi enunțată după cum urmează: „În orice familie de mulțimi există [cel puțin o] mulțime , fiecare element din care nu aparține familiei date ”. $b$ $c$ $A$

Exemple

{\begin{aligned}1.\ a=\{x\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\ la c\notin \{x\})\ )\\\ \Leftrightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in \{x\}\la c\notin b))\Rightarrow \forall x(x\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a(a\notin a)\Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\ \lor \ b\in a \la a\neq b)\end{aliniat}}

Comparați cu afirmațiile și , și de asemenea .

\forall a\ (a=a)

\forall a\ (a\nu <a)

\forall a\forall b\ (a<b\\lor \ b<a\la a\neq b)

{\begin{aligned}2.\ a=\{x,y\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\la c\notin \{x,y\}))\\\ \Rightarrow \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\în b\la b\notă a)\end{aliniat}}

Comparați cu afirmațiile și .

\forall a\forall b\ (a=b\to b=a)

\forall a\forall b\ (a<b\la b\nu <a)

{\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\la c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Rightarrow \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\ la c\notă a)\end{aliniat}}

Comparați cu afirmațiile și .

\forall a\forall b\forall c\ (a=b\land b=c\to c=a)

\forall a\forall b\forall c\ (a<b\land b<c\la c\nu <a)

3.1 Axioma alegerii

{\begin{aliniat}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}

Notă

„Axioma alegerii” poate fi formulată după cum urmează: „Din orice familie de mulțimi disjunse în perechi nevide, se poate alege o „delegare”, adică o mulțime care are câte un element din fiecare mulțime din această familie .” $d$ $c$ $b$ $A$

Exemplu Să presupunem că familia este formată din mulțimea numerelor pare nenegative și mulțimea numerelor impare nenegative. În acest caz, sunt îndeplinite toate condițiile „axiomei alegerii”, și anume:

1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing

2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing

3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing

. Prin urmare, este posibil să se formeze cel puțin o „delegație” constând dintr-un „delegat” (de exemplu, numărul zero) din set și un „delegat” (de exemplu, numărul unu) din set . Într-adevăr:

\{0,2,4,\ldots\}

\{1,3,5,\ldots\}

\{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\)

\{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\)

Note

1. Dacă ZFC este consecvent, atunci consistența sa nu poate fi demonstrată prin intermediul ZFC, conform celei de-a doua teoreme a lui Gödel .

Context istoric

Aparent, versiunea originală a teoriei mulțimilor, numită în mod deliberat doctrina mulțimilor de către matematicianul german Georg Cantor , a constat din două axiome și anume:

1) axioma volumului , care ne permite să formulăm un criteriu pentru egalitatea mulțimilor ,

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

2) „axiome ale libertății matematice” , care vă permite să creați mulțimi folosind „judecata libertății” .

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])

\Phi [a,c]

„Axioma libertății matematice” are consecințe raționale, inclusiv următoarele:

\există b\forall c\ (c\în b\leftrightarrow c\neq c)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\\lor \c=x)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))

În 1903, filozoful englez Bertrand Russell a atras atenția asupra următoarelor:

1) ghidat de „axioma libertății matematice”, este imposibil să se facă distincția între „libertate” și „permisivitate”, 2) alegând ca cea mai banală propoziție matematică , obținem o afirmație despre existența „un set de toate mulțimile” , de la care există „un pas” către paradoxul lui Russell .

\Phi [a,c]

c=c

\există b\forall c\ (c\în b\leftrightarrow c=c)

Aceste afirmații critice despre „doctrina germană [a mulțimilor]” l-au determinat pe matematicianul german Ernst Zermelo să înlocuiască „axioma libertății matematice” cu consecințele ei care nu ar provoca proteste din partea matematicienilor.

În 1908, în revista Mathematische Annalen , Ernst Zermelo a publicat următoarele șapte axiome:

1) axioma volumului ( germană Axiom der Bestimmtheit ); 2) axioma despre existența „mulților elementare” ( germană: Axiom der Elementarmengen ) și , care poate fi scrisă sub următoarea formă:

\varnothing

\{A\}

\{a_{1},a_{2}\}

\exists a\forall b\ (b\notin a)\\land \\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\\land \\forall a_{1 }\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

; 3) schema de selecție ( German Axiom der Aussonderung ); 4) axioma mulțimii de submulțimi ( germană: Axiom der Potenzmenge ); 5) axioma unificării ( germană: Axiom der Vereinigung ); 6) axioma alegerii ( germană: Axiom der Auswahl ); 7) axioma infinitului ( germană Axiom der Unendlichkeit ) într-o formulare diferită de formularea modernă.

Astfel „doctrina mulţimilor” s-a transformat în teoria mulţimilor, şi anume teoria lui ZC [ Z ermelo set theory with the Axiom of C hoice].

Ultima axiomă a teoriei ZC (axioma infinitului) i-a adus pe adepții lui Georg Cantor mai aproape de adepții lui Leopold Kronecker , care a considerat mulțimea numerelor naturale drept Sfântul Graal al matematicii. $\mathbb {N}$

Penultima axiomă a teoriei ZC (axioma alegerii) a devenit subiectul unor discuții matematice aprinse. Într-adevăr, această axiomă nu este o consecință a „axiomei libertății matematice”.

În 1922, matematicianul german Abraham Frenkel și matematicianul norvegian Turalf Skolem au completat teoria ZC cu o schemă de transformare . Ca urmare, teoria ZC s-a transformat în teoria ZFC [ Teoria mulțimilor Zermelo - Fraenkel cu Axioma alegerii ].

În 1925, matematicianul maghiar John von Neumann a completat teoria ZFC cu axioma regularității . Una dintre consecințele acestei axiome ( ) a „îngropat” atât „mulțimea tuturor mulțimilor”, cât și „ paradoxul lui Russell ”. $\forall a\ (a\notin a)$

Vezi și

teorema lui Zermelo

Literatură

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Logica matematică. — M.: URSS, 2005. — 240 p.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Fundamentele teoriei mulțimilor. — M.: Mir, 1966. — 556 p.
Fraenkel, Abraham ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, AzrielBazele teoriei multimilor (neopr.) . — North-Holland , 1973.Ultimul cuvânt al lui Fraenkel despre ZF și ZFC.
Hatcher, William. Fundamentele logice ale matematicii. — Pergamon Press, 1982.
Hinman, Peter. Fundamentele logicii matematice. — A. K. Peters, 2005. - ISBN 978-1-56881-262-5 .
Jech, ThomasTeoria seturilor: Ediția a treia a mileniului, revizuită și extinsă . — Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, KennethTeoria seturilor: ointroducere în dovezile de independență . - Elsevier , 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .
Levy, Azriel. Teoria de bază a mulțimilor. - Dover Publications , 2002. - ISBN 0486420795 .
Link, Godhard. Formalism și dincolo: despre natura discursului matematic (engleză) . - Walter de Gruyter GmbH & Co KG , 2014. - ISBN 978-1-61451-829-7 .
Quine, Willard van Orman. Teoria multimilor si logica ei . — Revizuită. - Cambridge, Massachusetts și Londra, Anglia: Harvard University Press , 1969. - ISBN 0-674-80207-1 .
Montage, Richard . Închidere semantică și axiomatizare non-finită // Metode infinitiste. — Londra: Pergamon Press, 1961. - S. 45-69.
Shoenfield, Joseph R. Axiome ale teoriei mulțimilor // Handbook of Mathematical Logic / Barwise, KJ. - 1977. - ISBN 0-7204-2285-X .
Takeuti, Gaisi; Zaring, W M. Introducere în teoria multimilor axiomatice. — 1982.
Tarski, AlfredPe submulțimi bine ordonate ale oricărei mulțimi // Fundamenta Mathematicae : journal . - 1939. - Vol. 32 . - P. 176-183 .

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), ZFC , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Versiunea metamatică a axiomelor ZFC ; O axiomatizare concisă și neredundantă. Logica de prim ordin de fundal este definită în special pentru a facilita verificarea automată a dovezilor
O derivație în Metamath
Axiomatics of Set Theory (engleză) pe site-ul PlanetMath .

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană mare chinezesc Britannica (online)