Kantor, George

Georg Kantor ( german  Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor , 3 martie 1845 , Sankt Petersburg  - 6 ianuarie 1918 , Halle (Saale)) - matematician german , student la Weierstrass . El este cel mai bine cunoscut ca inițiatorul teoriei mulțimilor . Fondator și prim președinte al Societății Germane de Matematică , inițiator al creării Congresului Internațional al Matematicienilor .

Cantor a definit mai întâi comparația mulțimilor arbitrare , inclusiv a celor infinite, prin „ cardinalitatea ” lor (o generalizare a conceptului de cantitate) prin noțiunea de corespondență unu-la-unu între mulțimi. El a clasificat mulțimile în funcție de cardinalitatea lor, a definit conceptele de numere cardinale și ordinale și aritmetica numerelor cardinale și ordinale .

Teoria numerelor transfinite a lui Cantor a fost inițial percepută ca o încălcare a tradițiilor vechi de secole stabilite de grecii antici și negând infinitul real ca obiect matematic legal . De-a lungul timpului, teoria mulțimilor a lui Cantor a fost pusă pe o bază axiomatică și a devenit piatra de temelie în construcția modernă a fundamentelor matematicii , se bazează pe analiza matematică , topologie , analiza funcțională , teoria măsurării și multe alte ramuri ale matematicii.

Biografie

Primii ani și pregătire

Kantor s-a născut în 1845 în colonia vestică de negustori din Sankt Petersburg și a crescut acolo până la vârsta de unsprezece ani. Tatăl - Georg-Voldemar Kantor (1814, Copenhaga  - 1863, Frankfurt ) - provenea din evreii portughezi stabiliți la Amsterdam și a fost un subiect danez de credință luterană , broker la Bursa de Valori din Sankt Petersburg . Multe dintre rudele tatălui meu trăiesc de mult în Sankt Petersburg, începând cu străbunicul meu. Vărul tatălui meu este celebrul avocat civil rus D. I. Meyer . În documentele rusești, Georg-Voldemar Kantor se numea Yegor Yakovlevich Kantor. Mama - Maria-Anna Böhm (1819, Sankt Petersburg - 1896, Berlin) - nepoata celebrului violonist maghiar-rus Josef Böhm . Bunicul matern al matematicianului, Franz Böhm (1788-1846), a fost și el violonist. Din 1850, P. L. Cebyshev [2] [3] , în vârstă de 29 de ani, s- a stabilit în aceeași casă (linia a 11-a, casa 24) pe insula Vasilyevsky , unde locuia familia Kantor .

George a fost primul născut, cel mai mare dintre șase copii. A cântat virtuozul viorii, moștenind de la părinți talente artistice și muzicale semnificative. Tatăl familiei scria în 1851 despre fiul său: „Este înzestrat de natură cu o dorință de ordine, care prevalează asupra tuturor celorlalte”. În 1853, Georg a intrat în Petrishula . Când tatăl s-a îmbolnăvit, familia, bazând pe un climat mai blând, s-a mutat în Germania în 1856: mai întâi la Wiesbaden , iar apoi la Frankfurt [3] .

În 1860 Georg a absolvit cu onoare școala adevărată din Darmstadt ; profesorii au remarcat abilitățile sale excepționale în matematică, în special în trigonometrie . În 1862 a intrat la Institutul Politehnic Federal din Zurich . Un an mai târziu tatăl său a murit; După ce a primit o moștenire solidă, Georg s-a transferat la Universitatea Humboldt din Berlin , unde a început să participe la prelegeri ale unor oameni de știință celebri precum Leopold Kronecker , Karl Weierstrass și Ernst Kummer . A petrecut vara lui 1866 la Universitatea din Göttingen , cel  mai mare centru de gândire matematică din acele vremuri. În 1867, Universitatea din Berlin i-a acordat un doctorat pentru lucrarea sa despre teoria numerelor „ De aequationibus secundi gradus indeterminatis ”.

Începutul activității științifice (1869-1878)

După o scurtă perioadă ca profesor la Școala de Fete din Berlin, Kantor și-a ocupat un loc la Universitatea Martin Luther din Galia , unde și-a petrecut întreaga carieră. A primit abilitarea necesară pentru predare pentru teza sa despre teoria numerelor. În 1872, Kantor l-a cunoscut pe Richard Dedekind , care i-a devenit prieten apropiat și asociat. Multe dintre ideile lui Cantor au fost discutate în corespondență cu Dedekind.

Într-un articol din 1872, Kantor a dat o variantă de fundamentare a teoriei numerelor reale [4] . În modelul său, un număr real este definit ca o clasă de secvențe fundamentale de numere raționale [5] . Spre deosebire de definiția newtoniană acceptată anterior a „ Aritmeticii universale ”, abordarea lui Cantor a fost pur matematică, fără referire la geometrie sau alte proceduri de măsurare. O altă versiune, de asemenea pur matematică, a fost publicată în același an de către Dedekind (a fost bazată pe „ Secțiuni Dedekind ”, vezi Metode constructive pentru determinarea unui număr real ) [6] .

În 1874, Kantor s-a căsătorit cu Vally Guttmann ( germană:  Vally Guttmann ). Au avut 6 copii, ultimul dintre care s-a născut în 1886 (4 fiice și doi fii). În ciuda unui salariu academic modest, Kantor a reușit să ofere familiei un trai confortabil datorită moștenirii primite de la tatăl său. Biografii notează că chiar și în timpul lunii de miere din munții Harz , Kantor a petrecut mult timp în conversații matematice cu prietenul său Dedekind. În același 1874, Kantor a publicat un articol în Jurnalul Krell în care a introdus conceptul de cardinalitate a unei mulțimi și a arătat că există tot atâtea numere raționale câte numere naturale și mult mai multe numere reale (la sfatul lui Weierstrass, această concluzie revoluționară a fost atenuată în articol) [7 ] .

Kantor a fost numit profesor adjunct în 1872 și a devenit profesor titular în 1879. A fost o mare realizare să primești acest titlu la vârsta de 34 de ani, dar Kantor a visat la o poziție la o universitate mai prestigioasă, de exemplu, Berlin  - la acea vreme, universitatea de top din Germania, dar teoriile sale au fost serios criticate, iar trecerea în alt loc nu a fost posibilă [8] .

În 1877, Cantor a obținut un rezultat uluitor, pe care l-a raportat într-o scrisoare către Dedekind: seturile de puncte ale unui segment și punctele unui pătrat au aceeași cardinalitate ( continuum ), indiferent de lungimea segmentului și de lățimea segmentului. pătrat. În același timp, a formulat și a încercat fără succes să demonstreze „ ipoteza continuumului ”. Prima lucrare a lui Kantor care prezintă aceste rezultate cheie a apărut în 1878 și a fost intitulată „Despre doctrina soiurilor” (termenul „varietate” a fost înlocuit ulterior de Cantor cu „set”). Publicarea articolului a fost amânată în mod repetat la cererea indignatului Kronecker , care conducea Departamentul de Matematică de la Universitatea din Berlin [9] . Kronecker, considerat precursorul matematicii constructive , a fost ostil teoriei mulțimilor a lui Cantor, deoarece dovezile acesteia sunt adesea neconstructive, fără a construi exemple concrete; Kronecker a considerat conceptul de infinit real ca fiind absurd.

Kantor și-a dat seama că poziția lui Kronecker nu i-ar permite nici măcar să părăsească Universitatea din Galia. Kantor însuși era de aceeași părere cu majoritatea matematicienilor contemporani: orice obiect matematic consistent ar trebui considerat valid și existent [10] .

Conflicte de teorie a multimilor (1878–1889)

Teoria mulțimilor a lui Cantor a fost criticată ascuțită din partea unui număr de matematicieni contemporani celebri - Henri Poincaré [11] ; mai târziu de Hermann Weyl și Leutzen Brouwer (vezi Dispute despre teoria lui Cantor ). Ei și-au amintit că înainte de Cantor, toți luminarii matematicii, de la Aristotel la Gauss , considerau infinitul real ca fiind un concept științific inacceptabil [12] . Situaţia a fost agravată de descoperirea în prima versiune a teoriei mulţimilor de contradicţii pernicioase . Critica a fost uneori foarte agresivă: de exemplu, Poincaré a numit „Cantorismul” o boală gravă care a lovit știința matematică și și-a exprimat speranța că generațiile viitoare se vor vindeca de ea [13] ; iar în declarațiile publice și atacurile personale ale lui Kronecker asupra lui Kantor, epitete precum „șarlatan științific”, „apostat” și „corupător al tineretului” au fulgerat uneori [11] .

Criticile ascuțite din partea unor matematicieni proeminenți au fost opuse de faima mondială și de aprobarea altora. În 1904, Societatea Regală din Londra i-a acordat lui Kantor cel mai înalt premiu matematic, Medalia Sylvester [14] . Kantor însuși credea că teoria numerelor transfinite i-a fost comunicată de sus [15] . Bertrand Russell a lăudat teoria seturilor drept „unul dintre marile succese ale erei noastre”, iar David Hilbert l-a numit pe Cantor „un geniu matematic” și a declarat: „Nimeni nu ne poate alunga din paradisul creat de Cantor” [16] .

În 1881, colegul lui Cantor, Eduard Heine , a murit , lăsând în urmă un post vacant. Conducerea universității a acceptat oferta lui Kantor de a-i invita pe Richard Dedekind, Heinrich Weber sau Franz Mertens (în această ordine) la acest post, dar, spre supărarea lui Kantor, toți au refuzat. Drept urmare, postul a fost preluat de Friedrich Wangerin . În 1882, comunicarea lui Cantor cu Dedekind a încetat, probabil din cauza resentimentelor față de refuzul acestuia din urmă de la postul de la Halle [17] .

În 1883, Kantor a publicat un articol cheie în lucrarea sa, „Fundamentals of the General Doctrine of Varieties” [18] [19] . În același timp, a început o corespondență activă cu Gösta Mittag-Leffler , un matematician proeminent al acelei vremuri, care locuia în Suedia și în curând a început să publice în jurnalul său Acta mathematica . Cu toate acestea, în 1885, Mittag-Leffler s-a alarmat de noțiunile filozofice și de noua terminologie într-un articol trimis lui de Cantor pentru publicare [20] și i-a cerut lui Cantor să-și retragă articolul în timp ce acesta era încă în curs de corectare, scriind că articolul era „ înaintea timpului său cu aproximativ ani". o sută". Kantor a fost de acord să retragă articolul, dar nu a mai publicat niciodată în Acta Mathematica [21] [22] și a întrerupt brusc relațiile și corespondența cu Mittag-Leffler. Kantor a început prima perioadă de depresie, iar de mai bine de cinci ani Kantor nu a publicat nimic, în afară de câteva articole filozofice, limitându-se la predare [23] .

Ultimii ani (1889-1918)

La scurt timp după restaurare (1889), Cantor a făcut imediat câteva completări importante la teoria sa, în special, a dovedit nenumărabilitatea mulțimii tuturor submulților de numere naturale prin metoda diagonalei, dar nu a atins niciodată același nivel ridicat de productivitate ca a avut în 1874-1884. . În cele din urmă, a apelat la Kronecker cu o ofertă de pace, pe care a acceptat-o ​​favorabil. Cu toate acestea, diferențele și dificultățile filozofice care i-au despărțit au rămas. Între timp, unii matematicieni, în special cei tineri, au acceptat teoria mulțimilor, au început să o dezvolte și să o aplice pentru a rezolva diverse probleme. Printre aceștia se numără Dedekind, Hilbert, Felix Bernstein , Henri Lebesgue , Felix Klein , Adolf Hurwitz , Ernst Zermelo , N. N. Luzin și alții.

În 1890, Kantor a ajutat la organizarea Societății Germane de Matematică ( germană:  Deutsche Mathematiker-Vereinigung ) și a fost președinte la primul său congres de la Halle în 1891 ; la acea vreme reputația sa era foarte stabilă chiar și în ciuda opoziției lui Kronecker, drept urmare, Kantor a fost ales primul președinte al societății. Kantor l-a invitat pe Kronecker să facă o prezentare, dar nu a putut accepta oferta din cauza morții tragice a soției sale.

Repetând periodic din 1884 până la sfârșitul zilelor lui Kantor, atacurile de depresie au fost de ceva vreme învinuite contemporanilor săi pentru că au luat o poziție excesiv de agresivă [24] , dar acum se crede că aceste atacuri au fost cel mai probabil dezvoltarea bolilor mintale [11]. ] .

O lucrare din 1892 a făcut prima apariție a celebrei metode diagonale a lui Cantor . Ultima lucrare, un fel de testament al omului de știință, a fost articolul „Despre justificarea doctrinei seturilor transfinite” (în două părți, 1895-1897). Aceasta este una dintre cele mai faimoase lucrări ale lui Cantor, în care, pe lângă rezultatele anterioare ale teoriei mulțimilor, se construiește o ierarhie a alefelor [25] .

În 1897, Cantor a început o corespondență intensă cu Hilbert despre prima contradicție descoperită în teoria mulțimilor, paradoxul Burali-Forti , care l-a îngrijorat extrem de pe Hilbert. Kantor și-a exprimat opinia că în teoria mulțimilor ar trebui să se facă distincția între două tipuri de concepte - transfinit și absolut ("inaccesibil", după cum spunea el), dintre care doar primele sunt susceptibile rațiunii umane, iar în ceea ce privește al doilea, numai este posibilă o aproximare a înțelegerii lor. Această metafizică nu l-a convins pe Hilbert, în opinia sa, nu există probleme matematice de nerezolvat și nu pot fi. Discuția a durat doi ani și a ajuns la nimic. Soluția paradoxurilor (care însă nu au devenit general acceptate) a fost găsită abia 30 de ani mai târziu, după înlocuirea „teoriei naive a mulțimilor” a lui Cantor cu una axiomatică , care excludea mulțimile „inaccesibile” din numărul conceptelor juridice. [26] .

În decembrie 1899, fiul lui Kantor, în vârstă de 13 ani, a murit. Boala mintală a lui Kantor s-a agravat, a treia parte aproape terminată a articolului „Despre justificarea doctrinei seturilor transfinite” nu a fost niciodată finalizată. Până în 1913, Kantor a continuat să predea la universitate (luând din când în când pauze lungi pentru tratament), apoi s-a pensionat. Interesele sale după 1899 s-au referit în principal la filosofia lui Leibniz și problema paternității pieselor lui Shakespeare , de care Kantor a fost fascinat de mulți ani.

Georg Kantor a murit la 6 ianuarie 1918 în urma unui atac de cord într-un spital de psihiatrie din Halle.

Unele obiecte numite după Kantor

• Kantor este un crater de impact pe partea îndepărtată a Lunii.
• Setul Cantor  este un set continuu de măsură zero pe un segment;
• Medalia Kantor este un premiu de matematică acordat de Societatea Germană de Matematică ;
• Funcția de numerotare a lui Cantor  este o mapare a puterii carteziene a mulțimii numerelor naturale în sine;
• Teorema lui Cantor conform căreia cardinalitatea mulțimii tuturor submulților dintr-o mulțime dată este strict mai mare decât cardinalitatea mulțimii în sine;
• Teorema Cantor-Bendixon
• Teorema Cantor-Bernstein privind echivalența mulțimilor A și B cu condiția ca A să fie echivalent cu o submulțime a lui B și ca B să fie echivalent cu o submulțime a lui A ;
• Teorema Cantor-Heine privind continuitatea uniformă a unei funcții continue pe o mulțime compactă ;
• Funcția lui Cantor (Scara lui Cantor).

Compoziții

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.
• Kantor G. Lucrări despre teoria mulţimilor. — M .: Nauka, 1985. — 431 p. - (Clasice ale științei).

Note

1. ↑ Genealogia matematică  (engleză) - 1997.
2. ↑ Sinkevich, 2012 , capitolul 1.
3. ↑ 1 2 Sinkevich, 2018 , p. 182-188.
4. ↑ Kantor. Proceedings on set theory, 1985 , p. 9-10.
5. ↑ Arnold I. V. Aritmetică teoretică. - M. : UCHPEDGIZ, 1938. - S. 277-278.
6. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 91-92.
7. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 37-56.
8. ↑ Dauben, 1979 , p. 163.
9. ↑ Dauben, 1979 , p. 34.
10. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 109.
11. ↑ 1 2 3 Dauben, 2004 , p. unu.
12. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 22-31.
13. ↑ Dauben, 1979 , p. 266.
14. ↑ Dauben, 1979 , p. 248.
15. ↑ Dauben, 2004 , p. 8, 11; 12-13.
16. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 118.
17. ↑ Dauben, 1979 , p. 2-3.
18. ↑ Idei noi în matematică. - Sankt Petersburg. : Educaţie, 1914. - T. 6. - S. 1-77 ..
19. ↑ Kantor. Proceedings on set theory, 1985 , p. 389 (bibliografie).
20. ↑ Dauben, 1979 , p. 138.
21. ↑ Totodată, Kantor nota într-una dintre scrisorile sale: „...după Mittag-Leffler, trebuie să aștept până în 1984, ceea ce mi se pare o cerere prea mare! .. Dar bineînțeles, de acum înainte eu nu vreau să știu niciodată nimic despre „Acta mathematica””.
22. ↑ Dauben, 1979 , p. 139.
23. ↑ Dauben, 1979 , p. 282.
24. ↑ Dauben, 1979 , p. 280.
25. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 122.
26. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 144-145, 154-158.

Literatură

• Bogolyubov A.N. Kantor Georg // Matematică. Mecanica. Ghid biografic . - Kiev: Naukova Dumka, 1983. - 639 p.
• Bourbaki N. Eseuri despre istoria matematicii. - M .: Ed. literatură străină, 1963.
• HM Nagorny. Kantor  // New Philosophical Encyclopedia  : în 4 volume  / prev. științific-ed. sfatul lui V. S. Stepin . — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - M .  : Gândirea , 2010. - 2816 p.
• Katasonov VN Luptă cu infinitul: aspecte filozofice și religioase ale genezei teoriei seturilor lui G. Kantor . — M. : Martis, 1999. — 207 p. - 1500 de exemplare.  — ISBN 5-7248-0067-5 .
• Pinheiro, Gustavo Ernesto. Nenumărabilul este numărabil. Georg Kantor. Infinitul în matematică // Știință. Cele mai mari teorii. - M . : De Agostini, 2015. - Numărul. 30 . — ISSN 2409-0069 .
• Purket V., Ilgauds H. I. Georg Kantor / Per. cu el. N. M. Fleischer. - Harkov: Osnova, 1991. - 128 p.
• Sinkevich G. I. Georg Kantor și Școala poloneză de teorie a mulțimilor. - Sankt Petersburg: Universitatea de Stat de Arhitectură și Inginerie Civilă din Sankt Petersburg, 2012. - 349 p. - ISBN 978-5-9227-0360-4 .
• Sinkevici G. I. Georg Kantor din Sankt Petersburg. Istoria copilăriei și a familiei. Cercetări arhivistice // Cercetări istorice și matematice . - M. : Janus-K, 2018. - Nr. 51 (16) . - S. 182-199 .
• Florensky P. A. Despre simbolurile infinitului (Eseu despre ideile lui G. Kantor) // Lucrări în 4 volume: Volumul 1. - M . : Gândirea, 1994. - P. 79-128. - (Moștenirea filozofică: v. 122). — ISBN 5-244-00241-4 .
• Grattan-Guinness I. Către o biografie a lui Georg Cantor // Analele științei. - 1971. - T. 27 . - S. 345-391 . - doi : 10.1080/00033797100203837 .

Link -uri

• Dauben Joseph W. Georg Cantor and the Birth of Transfinite Set Theory  // In the World of Science ( Scientific American , ed. rusă). - 1983. - Nr. 8 (august) . - S. 76-86 .
• John J. O'Connor și Edmund F. Robertson .  Cantor , Georg  _ _
• Dauben JW Georg Cantor: Matematica și filosofia sa infinitului . - Cambridge (Massachusetts): Harvard University Press, 1979. - 404 p. — ISBN 9780674348714 .
• Dauben JW Georg Cantor și bătălia pentru teoria seturilor transfinite . — Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, CA), pp. 1–22. — 2004.
• Profil de om de știință Arhivat 22 decembrie 2015 la Wayback Machine în baza de date zbMATH .
• Sinkevich GI Georg Cantor din St. Petersburg.

Site-uri tematice	Genealogie matematică zbMATH Deschide Arhiva pentru Istoria Matematicii MacTutor
Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Mare norvegian Rusă mare evreii Brockhaus și Efron in jurul lumii universal lituanian croat Britannica (online) Brockhaus Baza de date cu nume notabile Universalis
Genealogie și necropole	WikiTree
În cataloagele bibliografice BIBSYS: 90104928 BNE : XX999360 BNF : 121371602 CiNii : DA00702697 CONOR : 220613731 GND : 118518887 ICCU : CFIV118898 ISNI : 0000 0001 0889 5716 J9U : 987007259480205171 LCCN : n82252409 LNB : 000306893 NDL : 00435223 NKC : jn20000700275 NLA : 35385091 NLG : 266339 NLP : A11808755 NSK : 000101594 NTA : 070381119 NUKAT : n99011834 PTBNP : 783528 LIBRIS : 20dgg9pl4g26tk4 SUDOC : 027894312 VIAF : 39412881 WorldCat VIAF : 39412881