Punct limită

Un punct limită al unei mulțimi în topologia generală este un punct, a cărui vecinătate perforată se intersectează cu această mulțime.

Definiția și tipurile de puncte limită

Un punct se numește punct limită al unei submulțimi dintr-un spațiu topologic dacă fiecare vecinătate perforată a punctului are o intersecție nevide cu . $X$ $A$ $X$ $X$ $A$

Un punct se numește punct de acumulare de submulțime dacă fiecare vecinătate a punctului are un număr infinit de puncte în comun. Pentru T 1 -spații (adică spații în care toate punctele (mulțile de un punct) sunt închise), conceptele de punct limită și punct de acumulare sunt echivalente. $X$ $A$ $X$ $A$

Un punct se numește punct de condensare submulțime dacă fiecare vecinătate a punctului conține un set nenumărat de puncte . $X$ $A$ $X$ $A$

Un punct se numește punct de acumulare completă a unei submulțimi dacă pentru orice vecinătate a punctului puterea de intersecție este egală cu puterea mulțimii . $X$ $A$ $U$ $X$ $U\cap A$ $A$

Concepte și proprietăți înrudite

Un punct se numește punct de tangență al unei submulțimi dintr-un spațiu topologic dacă fiecare vecinătate a punctului are o intersecție nevide cu . Setul tuturor punctelor de contact ale unui set constituie închiderea acestuia . $X$ $A$ $X$ $X$ $A$ $A$ $\bar A$

Se spune că un punct este izolat dacă are o vecinătate care nu are alte puncte comune decât . O submulțime în , constând din acest punct, este deschis în (în topologia indusă ). $x\în A$ $A$ $X$ $A$ $A$

Astfel, toate punctele de atingere ale oricărui set (adică punctele de închidere ) sunt împărțite în două tipuri: puncte limită și puncte izolate . Acestea din urmă constituie un submult , în timp ce primele îi pot aparține sau nu. $A\subset X$ $\bar A$ $A$ $A$

Mulțimea tuturor punctelor limită ale unei mulțimi se numește mulțime derivată și se notează . Toate punctele limită ale setului sunt incluse în închiderea acestuia . Mai mult, este adevărată următoarea egalitate: , din care se obține cu ușurință următorul criteriu de închidere a submulților : Mulțimea A este închisă dacă și numai dacă conține toate punctele sale limită. $A$ $A'$ $\bar A$ ${\bar A}=A\cup A'$

Dacă este un punct limită al mulțimii , atunci există o direcție a punctelor de la , care converg către . $X$ $A$ $A$ $X$

În spațiile metrice , dacă este un punct limită al mulțimii , atunci există o succesiune de puncte de la convergență la . Spațiile topologice pentru care această proprietate este valabilă se numesc spații Fréchet-Urysohn . $X$ $A$ $A$ $X$
Un spațiu topologic este compact dacă și numai dacă fiecare submulțime infinită din el are cel puțin un punct de acumulare completă în . $X$ $X$

Un spațiu topologic este numărabil compact dacă și numai dacă fiecare submulțime infinită din el are cel puțin un punct limită strict în . Fiecare compact este numărabil compact. Pentru spațiile metrice, este adevărat și invers (criteriul pentru compactitatea unui spațiu metric): un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este compact numărabil. $X$ $X$

(În special, deoarece un segment de linie este compact, este compact numărabil. Prin urmare, fiecare submulțime infinită mărginită a unei linii are cel puțin un punct limită.)

O mulțime închisă într-un spațiu Hausdorff se numește perfectă dacă fiecare dintre punctele sale este limită (adică dacă mulțimea nu conține puncte izolate). Exemple de mulțimi perfecte sunt un segment de linie, mulțimea Cantor .

Exemple

Se consideră mulțimea numerelor reale cu topologia standard generată de intervale deschise. Apoi, în ceea ce privește această topologie, avem: $\mathbb {R}$
- $(a,b)'=[a,b];$
- ${\mathbb {Q}}'={\mathbb {R}},$ unde este mulțimea
numerelor raționale ; $\mathbb {Q}$
${\mathbb {Z}}'=\varnothing ,$ unde este mulțimea numerelor întregi ; $\mathbb {Z}$

Fie primul ordinal nenumărat . Consider - ordinal cu topologie de ordine . Punctul este punctul limită al mulțimii , dar nu există o succesiune de elemente din această mulțime care să convergă către .

\omega_{1}

[0,\omega _{1}]

\omega _{1}+1

\omega_{1}

[0,\omega _{1})

\omega_{1}

Punct limită al unui set de numere

În special, punctul limită al unei mulțimi numerice care are un număr infinit de elemente este un punct pe dreapta numerică , în orice vecinătate a căruia există infinit de elemente din această mulțime. De asemenea, puteți lua în considerare punctul limită al unei astfel de mulțimi dacă din unele dintre elementele sale este posibil să compuneți o secvență infinit de mare cu elemente negative diferite în perechi. Dacă este posibil să se compună o secvență infinit de mare cu elemente pozitive diferite în perechi, atunci poate fi considerat un punct limită [1] . $-\infty$ $+\infty$

Punctul limită superior al unui set de numere este cel mai mare dintre punctele sale limită.

Punctul limită inferioară al unui set de numere este cel mai mic dintre punctele limită ale acestuia.

Proprietăți

Orice set de numere limitate care are un număr infinit de elemente are atât puncte limită superioară, cât și inferioară (în mulțimea numerelor reale ). Dacă adăugăm la mulțimea numerelor reale și , atunci în mulțimea rezultată, toate mulțimile numerice cu un număr infinit de elemente au puncte limită. $-\infty$ $+\infty$

Din elementele oricărei mulțimi numerice limitate având un număr infinit de elemente, se poate evidenția o secvență convergentă ale cărei elemente sunt distincte pe perechi.

Punct limită al unei secvențe de numere

Punctul limită al unei secvențe este un punct din orice vecinătate din care există infinit de elemente ale acestei secvențe [1] .

X

este punctul limită al secvenței

\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb{N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{ i}-x\right|<\varepsilon

Cel mai mare punct limită al unei secvențe se numește limita superioară , iar cel mai mic punct limită se numește limita sa inferioară .

Uneori, „ ” și „ ” sunt incluse în setul de posibile puncte limită. Deci, dacă o subsecvență infinit de mare poate fi selectată dintr-o secvență, ale cărei elemente sunt toate negative, atunci ei spun că „ ” este punctul limită al acestei secvențe. Dacă este posibil să selectați o subsecvență infinit de mare cu elemente exclusiv pozitive din șir, atunci ei spun că „ ” este punctul său limită [1] . În acest caz, desigur, secvența poate avea și alte puncte limită. $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$

Proprietăți

Un punct este un punct limită al unei secvențe dacă și numai dacă este posibil să se selecteze o subsecvență din această secvență care converge către acest punct (adică punctul este o limită parțială a secvenței ). $X$ este punctul limită al secvenței $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow \exists \left\{k_{n}\right\}_{{n=1} }^{{\infty }}\forall i\in \mathbb{N} \colon k_{{i}}<k_{{i+1}}\land \lim _{{n\to \infty }}x_ {{k_{n}}}=x$ Uneori, această proprietate este luată ca o definiție, iar definiția de mai sus este o proprietate.
Fiecare succesiune de numere convergente are un singur punct limită. $x,x'$ sunt punctele limită ale secvenței $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow x =x'$
Punctul limită al oricărei secvențe numerice convergente coincide cu limita sa . $X$ este punctul limită al secvenței $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow \ lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$
Pentru orice set finit de puncte, se poate construi o secvență pentru care aceste puncte vor fi puncte limită și nimeni altul decât ele.
O secvență de numere arbitrară are cel puțin un punct limită (fie real , fie infinit ).

Exemple

Secvența celor are un punct limită unic 1 (deși nu este punctul limită al setului de valori ale elementelor secvenței, care constă dintr-un element). $\left\{1\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
Secvența are un singur punct limită 0. $\left\{1/n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
Secvența numerelor naturale nu are puncte limită (sau, în alți termeni, are un punct limită ). $\left\{n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $+\infty$
Secvența are două puncte limită: −1 și +1. $\left\{\left(-1\right)^{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
O succesiune a tuturor numerelor raționale , numerotate arbitrar, are infinite de puncte limită. $\left\{q_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Punct limită de direcție

Fie direcția elementelor spațiului topologic . Atunci se numește punct limită de direcție dacă pentru orice vecinătate a punctului și pentru oricare există un indice astfel încât și ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $X$ $X$ $U$ $X$ $\alpha \in \mathrm {A}$ $\beta \in \mathrm {A}$ $\beta \geqslant \alpha$ $x_{\beta}\in U$

Proprietăți

Un punct este un punct limită de direcție dacă și numai dacă există o subdirecție care converge către acel punct.
- În special, un punct este un punct limită al unei secvențe dacă și numai dacă există o subdirecție care converge către acel punct.
- Dacă fiecare punct al unui spațiu topologic are o bază numărabilă, atunci în paragraful anterior putem vorbi despre subsecvențe.

Exemple

Let - direcționat în ordine crescătoare. Direcția are un singur punct limită în spațiul topologic . $A=[0,1)$ $\left\{\alpha \right\}_{\alpha \in A)$ ${unu}$ $[0, 1]$

Vezi și

punct izolat

Note

↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 3. Teoria limitelor // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92-105. — 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

Literatură

Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
L.V. Kantorovich , G.P. Akilov . Analiza functionala. — M .: Nauka, 1984. — 752 p.