Obiecte banale în algebră

În algebră (o ramură a matematicii), multe structuri algebrice sunt banale , adică cele mai simple obiecte . Ca și seturile, ele constau dintr-un singur element , notat cu simbolul „ 0 ”, și obiectul în sine - ca „ {0} ” sau pur și simplu „0” în funcție de context (de exemplu, în secvențe exacte ). Obiectele corespunzătoare cazurilor banale sunt importante pentru unificarea raționamentului: de exemplu, este mai convenabil să spunem că „soluțiile ecuației T  x = 0 formează întotdeauna un spațiu liniar” decât să se facă rezervarea „... sau o mulțime. { 0 }”.

Cele mai importante dintre aceste obiecte sunt:

În ultimele trei cazuri, înmulțirea cu un scalar este definită ca κ0 = 0  , unde κ ∈ R .

Orice algebră zero este, de asemenea, trivială ca inel. Algebra nulă peste un câmp este un spațiu liniar nul, iar peste un inel este un modul nul.

Interpretare cu teoria categoriei

În ceea ce privește teoria categoriilor , un obiect trivial este un obiect terminal și uneori (în funcție de definiția unui morfism ) obiect nul (adică atât terminal, cât și inițial ).

Un obiect banal este unic până la izomorfism .

Terminalitatea unui obiect trivial înseamnă că morfismul A → {0} există și este unic pentru orice obiect A din categorie. Acest morfism mapează fiecare element al obiectului A la 0 .

2↕ _  = [ ]  ‹0
↔
1 		^
0 		↔
1
Elementul spațiu nul, scris ca un vector coloană gol (dreapta), este înmulțit cu o matrice 2×0 goală pentru a obține un vector nul bidimensional (stânga). Se respectă regulile de înmulțire a matricei .

În categoriile Rng (inele fără unitate obligatorie), R - Mod și Vect R , un inel banal, un modul nul și, respectiv, un spațiu sunt obiecte nule. Obiectul nul este, prin definiție, inițial, adică morfismul {0} → A există și este unic pentru orice obiect A din categorie. Acest morfism mapează 0 , singurul element al obiectului {0} , la zero 0 ∈ A . Acesta este un monomorfism , iar imaginea sa (un submodul/subspațiu în A generat de zero elemente ) este izomorfă la {0}.

Structuri cu o unitate

În structurile cu o unitate ( un element neutru al înmulțirii), lucrurile nu sunt atât de simple. Când definirea unui morfism într-o categorie necesită păstrarea lor, obiectul banal este fie doar terminal (dar nu inițial), fie nu există deloc (de exemplu, când definirea unei structuri necesită inegalitatea 1 ≠ 0 ).

În categoria Inele de inele unitare, inelul numerelor întregi Z este obiectul inițial, nu {0}.

Vezi și

Link -uri