Simplu unic

În teoria numerelor, un număr prim unic este un anumit tip de număr prim . Se spune că un număr prim p ≠ 2,5 este unic dacă nu există alt prim q astfel încât lungimea perioadei expansiunii zecimale reciproce , 1⁄ p , să fie egală cu lungimea perioadei 1⁄ q . Primele unice au fost descrise pentru prima dată de Samuel Yates în 1980.

Se poate arăta că un prim p este unic cu perioada n dacă și numai dacă există un număr natural c astfel încât

,

unde  este al n -lea polinom circular . În prezent, sunt cunoscute peste cincizeci de numere prime unice sau posibil numere prime . Cu toate acestea, sunt cunoscute doar douăzeci și trei de numere prime unice mai mici de 10100 . Tabelul de mai jos prezintă cele 23 de numere prime unice mai mici de 10.100 ( secvența OEIS A040017 ) și perioadele lor ( secvența OEIS A051627 ):

Durata perioadei Simplu
unu 3
2 unsprezece
3 37
patru 101
zece 9.091
12 9.901
9 333.667
paisprezece 909.091
24 99.990.001
36 999.999.000.001
48 9.999.999.900.000.001
38 909.090.909.090.909.091
19 1.111.111.111.111.111.111
23 11.111.111.111.111.111.111.111
39 900.900.900.900.990.990.990.991
62 909.090.909.090.909.090.909.090.909.091
120 100.009.999.999.899.989.999.000.000.010.001
150 10.000.099.999.999.989.999.899.999.000.000.000.100.001
106 9.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.091
93 900.900.900.900.900.900.900.900.900.900.990.990.990.990.990.990.990.990.990.991
134 909.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.090.909.091
294 142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,571,428,571,428,5714
196 999.999.999.999.990.000.000.000.000.099.999.999.999.999.000.000.000.000.000.999.999.999.999.000

Un număr prim cu o perioadă de 294 este ca reciproca lui 7 (0,142857142857142857...)

Al 24-lea prim unic, care nu este listat în tabel, are 128 de caractere și o perioadă de lungime 320. Poate fi scris ca (9 32 0 32 ) 2 + 1, unde indicele n înseamnă n copii consecutive ale cifrei sau grupului de cifrele care preced indexul.

Deși numerele prime unice sunt rare, există o presupunere bazată pe studiul primelor cu o singură cifră și, eventual, primelor că există un număr infinit de numere prime unice (orice repetare simplă este unică).

Începând cu 2010, reunirea este (10 270343 −1)/9, cel mai mare număr prim unic posibil cunoscut. [unu]

În 1996, cel mai mare prim unic testat a fost (10 1132 + 1)/10001 sau, folosind notația folosită mai sus, (99990000) 141 + 1. Perioada sa este 2264. De atunci, înregistrarea a fost îmbunătățită de mai multe ori. Până în 2010, cel mai mare număr prim unic testat avea 10.081 de cifre. [2]

Link -uri

Note

  1. ↑ PRP Records: Probable Primes Top 10000 . Consultat la 5 ianuarie 2013. Arhivat din original pe 25 februarie 2010.
  2. ↑ Top Twenty Unique ; Chris Caldwell . Consultat la 5 ianuarie 2013. Arhivat din original la 20 noiembrie 2020.