Ars Magna (Cardano)

„ Ars Magna ” (din  latină  –  „Marea Artă”) este o carte în latină despre algebră , scrisă de matematicianul italian Gerolamo Cardano , cel mai mare algebriist al secolului al XVI-lea [1] . A fost publicat pentru prima dată în 1545 sub titlul Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis ( Marea Artă sau Regulile Algebrei ). În timpul vieții lui Cardano a existat o a doua ediție, extinsă, publicată în 1570. În această carte, a fost rezolvată (în mare măsură) o problemă căreia cei mai buni matematicieni ai lumii nu au putut face față timp de două milenii - găsirea într-o formă explicită (algebrică) a rădăcinilor ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea ( Cardano ). formule ) [2] .

Valoarea aplicată a formulelor lui Cardano nu era prea mare, deoarece până atunci matematicienii dezvoltaseră deja metode numerice pentru calcularea rădăcinilor ecuațiilor de orice grad cu o bună acuratețe. Cu toate acestea, cartea lui Cardano a fost prima lucrare a unui matematician al noii Europe, care nu conținea un rezumat al rezultatelor cunoscute anterior, ci descoperirea unei noi metode teoretice necunoscute nici matematicienilor greci , fie islamicilor . Acest succes i-a inspirat pe matematicienii Europei la noi realizări, care nu au întârziat să urmeze [3] .

Formulele lui Cardano au devenit și baza introducerii unuia dintre cele mai importante obiecte matematice - numerele complexe [4] . În plus, cartea lui Cardano a început o lungă istorie de cercetare a soluției ecuațiilor în radicali , ceea ce l-a condus pe Evariste Galois la crearea teoriei grupurilor trei secole mai târziu . Prin urmare, Oistin Ore a numit această lucrare începutul algebrei moderne și una dintre cele mai mari trei cărți științifice ale Renașterii timpurii - împreună cu tratatele „ Despre rotația sferelor cerești ” de Copernic și „ Despre structura corpului uman ” de Vesalius . Primele ediții ale tuturor acestor trei cărți au apărut în perioada 1543-1545 și au marcat începutul revoluției științifice în matematică , astronomie și , respectiv , medicină [5] [3] .

Istorie

În 1535, matematicianul italian Niccolo Tartaglia a devenit faimos pentru că a găsit o modalitate de a rezolva în mod explicit ecuațiile cubice de forma și unde (numerele negative au fost considerate apoi invalide, astfel încât aceste două tipuri de ecuații au fost considerate a fi semnificativ diferite). Primul dintre aceste două tipuri de ecuații a fost rezolvat ceva mai devreme de del Ferro , care și-a păstrat metoda secretă, dar Tartaglia a făcut independent o descoperire similară și a extins această metodă la ambele tipuri de ecuații [6] .

În 1539, matematicianul milanez Gerolamo Cardano i-a cerut lui Tartaglia să-i dezvăluie metoda. După o oarecare rezistență, Tartaglia a fost de acord, dar i-a cerut lui Cardano să nu împărtășească aceste informații cu nimeni până când nu le va publica el însuși. În următorii câțiva ani, Cardano a lucrat la cum să extindă formula lui Tartaglia la alte tipuri de ecuații cubice. Mai mult, elevul său Lodovico Ferrari a găsit o modalitate de a rezolva ecuațiile de gradul al patrulea . Întrucât Tartaglia nu a făcut niciun efort pentru a-și publica metoda (și, în plus, prioritatea lui del Ferro a fost dezvăluită), Cardano s-a considerat eliberat de obligații și și-a publicat propria lucrare, atribuind în același timp cu onestitate paternitatea lui Tartaglia și del Ferro. Cu toate acestea, din punct de vedere istoric, acest algoritm a fost denumit „ formula Cardano ” [7] .

Conținutul lucrării

Cartea, împărțită în patruzeci de capitole, conține o descriere detaliată a metodei de soluție algebrică a ecuațiilor cubice , precum și, folosind o ecuație cubică auxiliară, și gradul al patrulea . În prefață, Cardano a recunoscut că Tartaglia a fost autorul formulei și că aceeași formulă a fost descoperită de del Ferro . El a mai spus că studentul său Ferrari [8] a descoperit o metodă de rezolvare a ecuațiilor de gradul al patrulea .

Conceptul de rădăcină multiplă apare pentru prima dată în Ars Magna (Capitolul I). Cardano știa despre posibilitatea ca o ecuație cubică să aibă trei rădăcini reale și, de asemenea, că suma acestor rădăcini este egală (în valoare absolută) cu coeficientul lui (una dintre formulele lui Vieta ) [9] . Rădăcini negative Cardano, în spiritul acelui timp, le numește „fictiv” ( fictae ), deși le-a ținut cont atunci când analiza ecuațiile și le folosea uneori ca mijloc intermediar pentru a obține un rezultat „adevărat” (pozitiv). Cu mult înainte de Descartes , el a formulat „ regula semnelor ” [10] . El cunoaște și faptul, generalizat ulterior și numit teorema lui Bezout : un polinom este divizibil fără rest printr-un binom unde este una dintre rădăcini [8] .

La începutul tratatului, Cardano explică cum se reduce o ecuație cubică a unei forme generale: la o formă canonică (fără termenul ). Deoarece la acel moment coeficienții negativi nu erau recunoscuți, el a trebuit să ia în considerare treisprezece tipuri diferite de ecuații cubice (Capitolele XI-XXIII). În capitolele următoare, până la capitolul XXXVIII, sunt date metode pentru soluția numerică aproximativă a unei ecuații cubice prin metoda acordurilor [8] .

În notația modernă, formula Cardano pentru cele trei rădăcini ale ecuației este:

Cardano, ca și înainte Tartaglia, lasă deschisă întrebarea ce să faci cu ecuația cubică, pentru care , din cauza căreia, se obține un număr negativ sub semnul rădăcinii pătrate. De exemplu, în capitolul I, este dată o ecuație pentru care , însă, Cardano nu și-a aplicat niciodată formula în astfel de cazuri. În mod paradoxal, doar acest „cel mai complex” caz corespunde setului „cel mai real” de rădăcini de ecuație - toate cele trei rădăcini se dovedesc a fi reale. Curând analiza acestei situații (numită Casus irreducibilis , „caz ireductibil”) a dus la începutul legalizării unei noi clase de numere; aritmetica numerelor complexe a fost dezvăluită pentru prima dată în Algebra de Bombelli (1572) și în tratatul lui Albert Girard O nouă descoperire în algebră (1629) [3] .

Ars Magna conține prima apariție în matematică a numerelor complexe (capitolul XXXVII), dar nu a fost încă asociat cu formulele lui Cardano. Cardano a pus următoarea problemă [11] : găsiți două numere a căror sumă este 10 și al căror produs este 40. Răspuns: Cardano a numit această soluție „sofistică” pentru că nu a văzut niciun sens real în ea, dar a scris cu îndrăzneală „totuși, noi” Voi funcționa” și a calculat oficial că produsul lor este într-adevăr 40. Cardano spune apoi că acest răspuns este „pe cât de subtil, pe atât de inutil”.

Capitolul XXXIX este dedicat ecuațiilor de gradul al patrulea, pentru care sunt luate în considerare în mod similar 20 de soiuri cu coeficienți pozitivi.

Text pe Internet

• Ars Magna în format PDF  (lat.)
• Cardano, Gerolamo . Ars magna sau Regulile algebrei . - Dover, 1993. - 308 p. - ISBN 0-486-67811-3 .  (Engleză)

Note

1. ↑ Guter, 1980 , p. 151.
2. ↑ Gindikin S. G. Povești despre fizicieni și matematicieni. - M . : Nauka, 1982. - (Bibl. „Quantum”, numărul 14).
3. ↑ 1 2 3 Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 295-296.
4. ↑ Gindikin, 2001 , p. 27-29.
5. ↑ Traducere în engleză, 1993 , Prefață.
6. ↑ Guter, 1980 , p. 153-156.
7. ↑ MacTutor .
8. ↑ 1 2 3 Ribnikov, 1960-1963 , p. 119-120.
9. ↑ Nikiforovsky, 1979 , p. 80.
10. ↑ Guter, 1980 , p. 160, 164-165.
11. ↑ Nikiforovsky, 1979 , p. 81.

Literatură

• Gindikin S. G. Great art // Povești despre fizicieni și matematicieni. - Ediția a 3-a, extinsă. - M. : MTSNMO , 2001. - S. 8-42. — 448 p. — ISBN 5-900916-83-9 .
• Guter R. S., Polunov Yu. L. Girolamo Cardano. - M . : Cunoașterea , 1980. - 192 p. - ( Creatori de știință și tehnologie ).
• Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - 352 p.
• Nikiforovsky V. A. Din istoria algebrei secolelor XVI—XVII. - M . : Science , 1979. - S. 42-88. — 208 p. — (Istoria științei și tehnologiei).
• Rybnikov K. A. Istoria matematicii în două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1960-1963. - T. 1.

Link -uri

• Ars magna: Marea Artă . Istoria matematicii . Data accesului: 22 aprilie 2021. (nedefinit)
• John J. O'Connor și Edmund F. Robertson . Girolamo Cardano  (engleză)  este o biografie din arhiva MacTutor .

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană
În cataloagele bibliografice	LCCN : n2012030695 VIAF : 250780129 WorldCat VIAF : 250780129