Axioma alegerii

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 august 2021; verificările necesită 6 modificări .

Axioma alegerii , ing. abr. AC (din axioma alegerii ) este următoarea afirmație din teoria mulțimilor :

Pentru orice familie [1] de mulțimi nevide, există o funcție care asociază cu fiecare mulțime a familiei unul dintre elementele acestei mulțimi [2] . Funcția se numește funcție de selecție pentru familia dată. $X$ $f$ $f$

În limbajul formal :

\forall X\left[\varnothing\notin X\Rightarrow\exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\ ,.

Dacă ne limităm să luăm în considerare numai familii finite de mulțimi, atunci afirmația axiomei de alegere poate fi demonstrată pe baza altor axiome ale teoriei mulțimilor [2] și nu trebuie postulată ca o axiomă separată. Se poate dovedi și pentru unele familii infinite, dar în cazul general pentru familii infinite axioma alegerii nu decurge din alte axiome și este o aserțiune independentă.

Istoric și evaluări

Axioma alegerii a fost formulată și publicată de Ernst Zermelo în 1904 (deși a fost observată pentru prima dată de Beppo Levi cu 2 ani mai devreme). Noua axiomă a provocat o controversă aprinsă și totuși nu toți matematicienii o acceptă necondiționat [3] . S-au exprimat opinii că dovezile obținute cu implicarea ei au „o valoare cognitivă diferită” decât dovezile care nu depind de ea [3] [4] . Apariția axiomei alegerii a provocat și o discuție despre ce înseamnă conceptul de „existență” în matematică – în special, despre dacă o mulțime poate fi considerată ca există dacă niciunul dintre elementele sale nu este cunoscut [5] .

Respingerea axiomei alegerii de către unii matematicieni este justificată, în primul rând, de faptul că ea nu face decât să afirme existența unei mulțimi , dar nu oferă nicio modalitate de a o defini; o asemenea opinie a fost exprimată, de exemplu, de Borel și Lebesgue [4] . Opinia opusă a fost susținută, de exemplu, de Hilbert , Hausdorff și Frenkel , care au acceptat axioma alegerii fără nicio rezervă, recunoscând pentru aceasta același grad de „evident” ca și pentru alte axiome ale teoriei mulțimilor : axioma volumului , axioma existenţei unei mulţimi goale , axioma unei perechi , axioma sume , axioma gradului , axioma infinitului . $d$

Mai mult, printre consecințele axiomei alegerii se numără multe mai degrabă paradoxale care provoacă un protest intuitiv din partea matematicienilor. De exemplu, devine posibil să se dovedească paradoxul dublării mingii , ceea ce cu greu poate fi considerat „evident” de către toți cercetătorii (vezi și pătrarea cercului lui Tarski ). O analiză detaliată a numeroaselor dovezi folosind axioma alegerii a fost efectuată de Václav Sierpinski . Cu toate acestea, fără îndoială, multe descoperiri matematice importante nu ar fi putut fi făcute fără axioma alegerii [6] .

Bertrand Russell a comentat despre axioma alegerii: „La început pare evident; dar cu cât te gândești mai mult la asta, cu atât mai ciudate par concluziile din această axiomă; până la urmă, în general, încetezi să înțelegi ce înseamnă” [7] .

Independența axiomei de alegere față de restul axiomelor Zermelo-Fraenkel a fost dovedită de Paul Cohen [8] [9] .

Formulări echivalente

Există multe alte formulări echivalente ale axiomei alegerii.

Produsul cartezian al unei familii de mulțimi nevide este nevide [10] .
Fiecare funcție surjectivă are o funcție inversă dreaptă , adică alcătuirea lor este o funcție identică pe sau, cu alte cuvinte, pentru toate elementele lui . $f\colon A\la B$ $f^{-1}\colon B\to A$ $f\circ f^{{-1}}=\operatorname {id}_{B}$ $B$ $f(f^{{-1}}(z))=z$ $z\în B$
Lema lui Zorn (vezi mai jos)
Fiecare mulțime poate fi bine ordonată (vezi mai jos, teorema lui Zermelo ).
Principiul maximal Hausdorff
Teorema lui Tarski . Pentru fiecareset infinit , există obijecție. $A$ $A\la A\times A$

O funcție de alegere este o funcție pe un set de mulțimi astfel încât pentru fiecare set din , este un element din . Folosind notiunea de functie de alegere, axioma afirma: $X$ $s$ $X$ $f(e)$ $s$

Pentru orice familie de seturi nevide , există o funcție de alegere definită pe $X$ $f$ $X$ .

Sau cel mai concis:

Fiecare set de seturi nevide are o funcție de alegere .

A doua versiune a axiomei alegerii spune:

Pentru o mulțime arbitrară dată de mulțimi nevide disjunse în perechi, există cel puțin o mulțime care conține exact un element comun pentru fiecare dintre mulțimile nevide .

Unii autori folosesc o versiune diferită care afirmă efectiv:

Pentru orice mulţime , booleanul său minus subsetul gol are o funcţie de alegere

A

{\mathcal P}(A)\setminus \{\varnothing\}

Autorii care folosesc această formulare vorbesc adesea și despre o „funcție de alegere pe ”, dar prevăd că înseamnă un concept ușor diferit al funcției de alegere. Domeniul său de aplicare este boolean (minus subsetul gol), în timp ce în altă parte în acest articol, domeniul de aplicare al funcției de selecție este „mult de seturi”. Cu această noțiune suplimentară de funcție de alegere, axioma alegerii poate fi enunțată succint după cum urmează: $A$

Fiecare set are o funcție de alegere .

Aplicație

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, axioma alegerii a fost folosită necondiționat. De exemplu, după definirea unei mulțimi care conține o mulțime nevidă , un matematician ar putea spune: „ Să fie definit pentru fiecare dintre ”. Fără axioma alegerii, este în general imposibil de demonstrat că există, dar acest lucru pare să fi fost lăsat neabordat până la Zermelo . $X$ $F(e)$ $s$ $X$ $F$

Nu toate cazurile necesită axioma alegerii. Pentru o mulțime finită, axioma alegerii decurge din alte axiome ale teoriei mulțimilor. În acest caz, este același lucru cu a spune dacă avem mai multe casete (număr finit), fiecare dintre ele conține un lucru identic, atunci putem alege exact un lucru din fiecare casetă. Este clar că putem face asta: începem cu prima casetă, alegem un lucru; să trecem la a doua casetă, alegem un lucru; și așa mai departe. Deoarece există un număr finit de casete, atunci, acționând asupra procedurii noastre de selecție, vom ajunge la final. Rezultatul este o funcție de alegere explicită: o funcție care mapează prima casetă la primul element pe care l-am ales, a doua casetă la al doilea element și așa mai departe (Pentru o demonstrație formală pentru toate mulțimile finite , utilizați principiul matematicii inducție .) $X$

În cazul unei mulțimi infinite , uneori este posibil să ocoliți axioma alegerii. De exemplu, dacă elementele sunt mulțimi de numere naturale . Fiecare mulțime nevidă de numere naturale are un element cel mai mic, așa că în definirea funcției noastre de selecție putem spune pur și simplu că fiecare mulțime este asociată cu cel mai mic element al mulțimii. Acest lucru ne permite să selectăm un element din fiecare set, astfel încât să putem scrie o expresie explicită care ne spune ce valoare are funcția noastră de selecție. Dacă este posibil să se definească o funcție de alegere în acest fel, axioma alegerii nu este necesară. $X$ $X$

Dificultăți apar dacă este imposibil să faci o alegere naturală a elementelor din fiecare set. Dacă nu putem face o alegere explicită, atunci de ce suntem siguri că o astfel de alegere poate fi făcută în principiu? De exemplu, să fie mulțimea de submulțimi nevide de numere reale . În primul rând, am putea încerca să ne comportăm ca și cum ar fi finit. Dacă încercăm să selectăm un element din fiecare set, atunci, deoarece este infinit, procedura noastră de selecție nu se va termina niciodată și, ca urmare, nu vom obține niciodată funcții de selecție pentru toate . Deci nu merge. În continuare, putem încerca să determinăm cel mai mic element din fiecare set. Dar unele submulțimi de numere reale nu conțin cel mai mic element. De exemplu, un astfel de subset este un interval deschis . Dacă aparține lui , atunci îi aparține și acestuia și mai puțin decât . Deci, nici alegerea celui mai mic element nu funcționează. $X$ $X$ $X$ $X$ $(0,\;1)$ $X$ $(0,\;1)$ $x/2$ $X$

Motivul care ne permite să alegem cel mai mic element dintr-un submult de numere naturale este faptul că numerele naturale au proprietatea bine ordonată. Fiecare submult de numere naturale are un element unic cel mai mic datorită ordonării naturale. Poate, dacă am fi mai deștepți, am putea spune: „Poate, dacă ordinea obișnuită pentru numerele reale nu ne permite să găsim un număr special (cel mai mic) în fiecare submulțime, am putea introduce o altă ordine care ar da proprietatea de bine- comanda. Apoi, funcția noastră va putea alege cel mai mic element din fiecare set datorită comenzii noastre neobișnuite. Problema apare atunci în această construcție a unei ordonări, care necesită prezența axiomei alegerii pentru soluționarea ei. Cu alte cuvinte, fiecare mulțime poate fi bine ordonată dacă și numai dacă axioma alegerii este adevărată.

Demonstrațiile care necesită axioma alegerii sunt întotdeauna neconstructive: chiar dacă demonstrația creează un obiect, este imposibil de spus care este exact acel obiect. Prin urmare, deși axioma alegerii ne permite să ordonăm complet mulțimea numerelor reale, aceasta nu ne oferă nicio vizibilitate și constructivism în general. Acesta este unul dintre motivele pentru care unor matematicieni nu le place axioma alegerii (vezi și Criza în fundamentele matematicii ). De exemplu, constructivismul cere să fie posibil să se construiască tot ceea ce există. Ei resping axioma alegerii deoarece ea afirmă existența unui obiect fără o descriere clară a acestuia. Pe de altă parte, dacă axioma alegerii este folosită pentru a demonstra existența, atunci aceasta nu înseamnă că nu putem finaliza construcția în alt mod.

Principiul bine-ordonării (teorema lui Zermelo)

O formulare foarte comună și convenabilă folosește noțiunea de set bine ordonat . Vom avea nevoie de câteva definiții și vom începe cu o definiție strictă a ordinii liniare, exprimând o idee familiară în limbajul teoriei mulțimilor. Reamintim că se notează o pereche ordonată de elemente și că produsul cartezian al mulțimilor constă din toate perechile ordonate posibile , unde . $(X y)$ $X\ ori Y$ $(X y)$ $x\în X,\;y\în Y$

O ordine liniară pe o mulțime este o submulțime a unui produs cartezian care are următoarele proprietăți: $A$ $R\subseteq A\time A$

Complet: . $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\lor (y,\;x)\in R)$
Antisimetric: . $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;x)\in R\to y=x)$
Tranzitiv: . $\forall x,\;y,\;z\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;z)\in R\to (x,\;z)\in R)$

O ordine completă pe o mulțime este o ordine liniară astfel încât fiecare submulțime nevidă are un element minim. $A$ $X\subseteq A$

Principiul ordinii totale este că orice set poate fi bine ordonat .

De exemplu, mulțimea numerelor naturale poate fi bine ordonată după relația obișnuită „mai mică sau egală cu”. Cu aceeași relație, mulțimea numerelor întregi nu are cel mai mic element. În acest caz, putem colecta numerele întregi într-o secvență și să spunem că termenii inferiori sunt mai puțini decât cei mai mari. Evident, o astfel de relație va fi o ordine completă pe numere întregi. $(0,\;-1,\;1,\;-2,\;2,\;\ldots ,\;-n,\;n,\;\ldots )$

Este mult mai puțin evident că numerele reale care formează o mulțime nenumărabilă pot fi bine ordonate.

Lema lui Zorn

Dacă într-o mulțime parțial ordonată orice lanț (adică o submulțime ordonată liniar ) are o limită superioară, atunci întreaga mulțime are cel puțin un element maxim.

Mai formal:

Fie o mulțime parțial ordonată , adică relația este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă: $(P,\;\leqslant )$ $\leqslant$

$\forall x\in P\quad x\leqslant x;$
$\forall x,\;y\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant x\to x=y;$
$\forall x,\;y,\;z\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant z\la x\leqslant z.$

O submulțime se numește ordonată liniar dacă . Un element se numește limită superioară dacă . $S\subset P$ $\forall x,\;y\in S\;x\leqslant y\lor y\leqslant x$ $u\în P$ $\forall x\in S\;x\leqslant u$

Să presupunem că orice submulțime ordonată liniar a mulțimii are o limită superioară. Atunci , adică este elementul maxim al . $P$ $\există m\în P\;\nexistă x\în P\;x>m$ $m$

Principiul maxim al lui Hausdorff

Alternative

Dacă restricționăm aplicarea axiomei alegerii doar la familiile de mulțimi finite și numărabile, obținem „ axioma alegerii numărabile ”. Este destul de suficient pentru a fundamenta majoritatea teoremelor de analiză și nu creează paradoxurile menționate mai sus. Cu toate acestea, nu este suficient să fundamentați multe prevederi ale teoriei mulțimilor. O altă opțiune, oarecum mai puternică, este axioma alegerii dependente , dar nu este potrivită pentru nevoile teoriei mulțimilor.

În 1962, matematicienii polonezi Jan Mychelski și Hugo Steinhaus au propus așa-numita „ Axiomă a determinării ” în locul axiomei alegerii [11] . Spre deosebire de axioma alegerii, care are o formulare intuitivă și consecințe contraintuitive, axioma determinismului, dimpotrivă, are o formulare neevidentă, dar consecințele sale sunt mult mai potrivite cu intuiția . Din axioma determinismului urmează axioma alegerii numărabile, dar nu axioma completă a alegerii [9] .

Consecințele axiomei determinării într-un număr de situații contrazic consecințele axiomei alegerii - de exemplu, din axioma determinării rezultă că toate mulțimile de numere reale sunt măsurabile Lebesgue , în timp ce axioma alegerii implică existența un set de numere reale care nu este măsurabil Lebesgue. Folosind axioma determinismului, se poate demonstra riguros că nu există puteri intermediare între puterea numărabilă și puterea continuumului , în timp ce această afirmație este independentă de axioma alegerii [12] .

Vezi și

Axiomatica teoriei multimilor

Note

↑ O familie în matematică este un set de mulțimi.
↑ 1 2 Axioma alegerii // Enciclopedia matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Kuratovsky K. , Mostovsky A. Teoria seturilor / Traducere din engleză de M. I. Editat pe scurt de A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - S. 61 . — 416 p.
↑ 12 John L. Bell . Axioma alegerii . Enciclopedia Stanford de Filosofie . Preluat la 17 martie 2020. Arhivat din original la 14 martie 2020. (nedefinit)
↑ Bunch, Bryan. Erorile și paradoxurile matematice. Capitolul „O axiomă a alegerii” . - Dover Publications, 1997. - 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Elemente: Limitele de probabilitate . Consultat la 12 septembrie 2009. Arhivat din original la 11 ianuarie 2012. (nedefinit)
↑ Vilenkin N. Ya. Povești despre decoruri. - Ed. a 3-a. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 95. - 150 p. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ P. J. Cohen. Teoria multimilor si ipoteza continuumului. - Moscova: Mir, 1969.
↑ 1 2 Kazimirov N. I. Introducere în teoria axiomatică a mulțimilor. Tutorial. - Petrozavodsk, 2000. - 104 p. — § 2.4.
↑ Evgheni Vechtomov. Matematică: Structuri matematice de bază Ed. a II-a. Ghid de studiu pentru studiile academice de licență . - Litri, 2018. - P. 26. - 297 p. Arhivat pe 18 august 2018 la Wayback Machine
↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H. (1962). O axiomă matematică care contrazice axioma alegerii. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10:1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ Kanovey V.G., 1984 , p. 4, 37.

Literatură

Aleksandrov PS Introducere în teoria mulţimilor şi topologia generală . — M .: Nauka, 1977. — 368 p. (link inaccesibil) - Capitolul 3, § 4.
Kanovey VG Axioma alegerii și axioma determinismului. — M .: Nauka, 1984. — 64 p. — (Probleme ale științei și progresului tehnic).
Medvedev F. A. Istoria timpurie a axiomei alegerii . — M .: Nauka, 1982. — 304 p. Arhivat pe 28 octombrie 2015 la Wayback Machine
Medvedev F. A. Axioma alegerii și analiza matematică // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1980. - Nr. 25 . — S. 167-188 .
Carte de referință despre logica matematică. Partea a II-a. Teoria multimilor = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 p.