Sutien și pisică

⟨	∣	⟩
sutien		ket
tranşee		ket
curând		bka

Bra și ket ( engleză bra-ket < bracket bracket ) este un formalism algebric (sistem de notație) conceput pentru a descrie stările cuantice . Numit și notație Dirac . În mecanica matriceală , această notație este în general acceptată. Această notație nu este altceva decât o altă notație textuală pentru vectori, covectori, forme biliniare și produse interioare și, prin urmare, este aplicabilă (deși nu la fel de utilizată) în algebra liniară în general. Atunci când această notație este folosită în algebra liniară, este de obicei despre spații cu dimensiuni infinite și/sau despre alegbra liniară peste numere complexe.

Definiție și utilizare

În mecanica cuantică, starea unui sistem este descrisă printr-o rază într-un spațiu Hilbert separabil sau, echivalent, printr-un element al spațiului Hilbert proiectiv ale cărui elemente se numesc „ vectori de stare ” ( „vectori-ket” ) și sunt notate cu simbolul . ${\mathcal {H}),$ $|\psi\rangle$

Fiecărui vector-ket îi este atribuit un vector-bra din spațiul conjugat la, adică din $|\psi\rangle$ ${\mathcal {H}),$ ${\mathcal {H}}^{*}.$

Vectorul bra din spațiu este definit de relația: $\langle \psi |$ ${\mathcal {H}}^{*}$

$\langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\la \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)\rangle =\left(|\ psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)$ , pentru orice vector ket $|\rho \rangle .$

Cu unele libertăți de exprimare, se spune uneori că vectorii sutien „coincid” cu vectorii lor complexi corespunzătoare ket conjugați. În acest caz, vectorii și funcționalele peste vectori sunt de obicei identificați cu coloane sau rânduri de coordonate ale expansiunii lor în baza corespunzătoare sau ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\mathcal {H}).$

Produsul scalar al unui vector sutien cu un vector ket (mai precis, acțiunea unui vector sutien asupra unui vector ket) este scris ca două bare verticale „ună” și parantezele sunt omise. Pătratul unui vector, după definiția unui spațiu Hilbert, este nenegativ: ori de câte ori este posibil, condiția de normalizare este impusă vectorilor care descriu stările sistemului. $\langle \varphi |\psi \rangle ;$ $\langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.$ $\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Operatori liniari

Dacă este un operator liniar de la până la , atunci acțiunea operatorului asupra vectorului ket se scrie ca $A\colon H\la H$ $H$ $H$ $A$ $|\psi\rangle$ $A|\psi \rangle .$

Pentru fiecare operator și bra-vector , se introduce un funcțional din spațiu , adică un bra-vector înmulțit cu operatorul , care este definit prin egalitate: $A$ $\langle \varphi |$ $(\langle \varphi |A)$ ${\mathcal {H}}^{*},$ $A$

{\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )} ,

pentru orice vector

|\psi\rangle .

Deoarece poziția parantezelor nu contează, acestea sunt de obicei omise și scrise simplu $\langle \varphi |A|\psi \rangle .$

Această expresie se numește convoluție operator cu un vector bra și un vector ket Valoarea acestei expresii este un scalar ( număr complex ). $A$ $\langle \varphi |$ $|\psi\rangle .$

În special, elementul de matrice al unui operator într-o anumită bază (în notație tensorală - ) este scris în notație Dirac ca și valoarea medie a observabilului (forma bilineară) pe stare - ca $A$ $A_{kl)$ $\langle k|A|l\rangle ,$ $\psi$ $\langle \psi |A|\psi \rangle .$

Înmulțirea vectorilor cu un operator (vectori ket în stânga, vectori bra în dreapta) dă vectori de același tip și se scrie în același mod ca în algebra liniară (adică dacă vectorii bra și ket sunt identificați cu vectori - rânduri și coloane și operatori - cu matrici pătrate):

|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,

\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.

Ecuația Schrodinger (pentru o stare staționară) va avea forma:

H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,

unde este Hamiltonianul și este un scalar ( nivel de energie ).

H

E

Diferențele dintre notația bra-ket și notația tradițională

În matematică se folosește notația produs scalar „ Hermitian ” în spațiul Hilbert, care are același sens ca și înmulțirea bra cu ket. Cu toate acestea, matematicienii consideră de obicei parantezele unghiulare ca un semn al unei operații și nu o parte a unei desemnări vectoriale. Notația matematică tradițională, spre deosebire de cea Dirac, nu este simetrică - ambii vectori sunt presupuși a fi valori de același tip, iar operația este antiliniară în primul argument al celor doi. $\langle \varphi ,\;\psi \rangle$

Pe de altă parte, produsul sutien și ket este biliniar , dar în două argumente de tipuri diferite. Conjugatul cu vectorul ket va fi vectorul sutien (unde este unitatea imaginară ). Cu toate acestea, în mecanica cuantică, această ciudățenie de notație poate fi ignorată, deoarece starea cuantică reprezentată de un vector nu depinde de înmulțirea acestuia cu niciun număr complex modulo unu . $i|\psi\rangle$ $-i\langle \psi |$ $i$

În plus, utilizarea sutienului și a ketului face posibilă sublinierea diferenței dintre stare (scrisă fără paranteze și bețe) și vectorii specifici care o reprezintă. $\psi$

Spre deosebire de notația algebrică, unde elementele bazei sunt notate ca în notația bra-ket, poate fi indicat doar indicele elementului de bază: în aceasta sunt similare cu notația tensorală , dar, spre deosebire de aceasta din urmă, permit scrierea produselor operatorilor. cu vectori fără a folosi litere suplimentare (indice sau superscript). $e_{k},$ $\langle k|\;,\;|l\rangle .$

Proprietăți matematice

Bra și ket pot fi, de asemenea, folosite în matematică pură pentru a desemna elemente ale spațiilor liniare conjugate între ele. Dacă, de exemplu, vectorii ket sunt considerați „vectori coloană”, iar vectorii bra - „vectori rând”. ${\mathcal {H}}=R^{n},$

Înmulțirea vectorilor bra- și ket între ei și prin operatori poate fi considerată ca un caz special al formalismului matricei „rând cu coloană” . Și anume, este necesar să se pună ket-vectori ca matrici de dimensiune , bra-vectori - de dimensiune , operatori - de dimensiune , unde este numărul de stări ale sistemului cuantic ( dimensiunea spațiului ). Matricele 1 × 1 au un singur element și sunt identificate cu scalari. În cazul unui spațiu infinit-dimensional al stărilor , trebuie impuse condiții suplimentare de convergență asupra „matricilor” (de fapt serie ). $N\times 1$ $1\time N$ $N\time N$ $N$ ${\mathcal {H}}$

Formula pentru vectorul conjugat arată astfel:

\langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_ {N}\end{pmatrix}},

Unde

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}

Intrarea tip înseamnă întotdeauna un scalar. Un vector bra are întotdeauna o paranteză în stânga ket-vector - o paranteză în dreapta Se introduce și un produs într-o ordine „nenaturală” - (similar cu înmulțirea matriceală a unui vector coloană cu un vector rând), ceea ce dă așa-numitul ket-bra-operator . Operatorul are rangul 1 și este un produs tensor, iar astfel de operatori sunt adesea considerați în teoria operatorilor și în calculul cuantic . În special, operatorul (când este normalizat ) este o proiecție asupra stării , mai precis, pe subspațiul liniar unidimensional corespunzător din $\langle \ldots \rangle$ $\lange ,$ $\rangle .$ $|\varphi \rangle \langle \psi |$ $|\psi \rangle \langle \varphi |$ $|\psi\rangle$ $\langle \varphi |.$ $|\psi \rangle \langle \psi |$ $\langle \psi |\psi \rangle =1$ $\psi$ ${\mathcal {H}).$

Asociativitatea are loc :

\langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,

|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi } }\rangle

etc.

Literatură

Belousov Yu. M. Curs de mecanică cuantică. teorie nerelativista. - M. : MIPT, 2006. - 408 p.
Davydov A. S. Mecanica cuantică. — M .: Nauka, 1973. — 704 p.
Dirac P. A. M. Principiile mecanicii cuantice. — M .: Nauka, 1979. — 440 p.
Mesia A. Mecanica cuantică. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 478 p.
Shpolsky E.V. Fizica atomică. - M. : Nauka, 1974. - T. 2. - 448 p.
Yariv A. Introducere în teoria și aplicațiile mecanicii cuantice. — M .: Mir, 1984. — 360 p.