Operator vectorial Laplace

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 octombrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Operatorul vectorial Laplace (sau vectorul Laplacian ) este un operator diferenţial vectorial de ordinul doi definit peste un câmp vectorial şi notat cu simbolul [1] , similar operatorului scalar Laplace . Operatorul vector Laplace acționează asupra unui câmp vectorial și are o valoare vectorială, în timp ce Laplacianul scalar acționează asupra unui câmp scalar și are o valoare scalară. Când este calculat în coordonate carteziene, câmpul vectorial rezultat este echivalent cu câmpul vectorial al Laplacianului scalar care acționează asupra componentelor individuale ale vectorului original. $\Delta$

Deoarece vectorul și laplacienii scalari sunt notați cu același simbol, litera greacă majusculă delta , dar sunt entități matematice diferite, în sensul acestui articol, vectorul laplacian este notat cu negru, iar laplacianul scalar cu albastru.

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

$\Delta \mathbf {A} ={\color {albastru}\Delta}A_{x}\mathbf {i} +{\color {albastru}\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{ \color {albastru}\Delta }A_{z}\mathbf {k}$ [2]

$\Delta \mathbf {A} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{ 2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{y)) {\partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Definiție

Operatorul Laplace vectorial al unui câmp vectorial este definit după cum urmează: $\mathbf {A}$

Prin operatorul nabla :

\Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )

[3] .

Prin gradient , divergenta si ondulare :

\Delta \mathbf {A} =\mathrm {grad} (\mathrm {div} \mathbf {A} )-\mathrm {putrecerea} (\mathrm {putrecerea} \mathbf {A} )

În coordonatele carteziene, vectorul Laplacian al unui câmp vectorial poate fi reprezentat ca un vector ale cărui componente sunt Laplacianii scalari ai componentelor câmpului vectorial : $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

\Delta \mathbf {A} =\left\({\color {albastru}\Delta }A_{x}, {\color {albastru}\Delta }A_{y}, {\color {albastru}\ Delta }A_{z}\right\}

[1] ,

unde , , sunt componentele câmpului vectorial . $A_{x}$ $A_{y}$ $A_{z}$ $\mathbf {A}$

Expresii pentru operatorul Laplace vectorial în alte sisteme de coordonate pot fi găsite în articolul „ Operatorul Nabla în diverse sisteme de coordonate ”.

Generalizare

Laplacianul oricărui câmp tensor (scalarii și vectorii sunt cazuri speciale de tensori) este definit ca divergența gradientului tensorului : $\mathbf {T}$

\Delta \mathbf {T} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {T} )

Dacă este un scalar (tensor de ordinul zero), operatorul Laplace ia forma sa obișnuită. $\mathbf {T}$

Dacă este un vector (un tensor de ordinul întâi), atunci gradientul său este derivata covariantă a lui , care este un tensor de ordinul doi, iar divergența sa este din nou un vector. Formula pentru vectorul Laplacian poate fi reprezentată ca divergența expresiei pentru gradientul vectorial: $\mathbf {T}$

\nabla \mathbf {T} =\left\{\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z}\right\}={\begin{bmatrix}T_{xx} &T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}}

unde (vedere generală a componentelor tensorilor) și poate lua valori din mulțime . $T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{v)} {\partial u)}$ $u$ $v$ $\{x,y,z\}$

În mod similar, produsul scalar al unui vector și gradientul altui vector (un tensor de ordinul doi) a cărui valoare este un vector poate fi considerat ca un produs de matrici:

\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} = {\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{ bmatrix}}

Această expresie depinde de sistemul de coordonate.

Utilizare în fizică

Un exemplu de utilizare a operatorului vectorial Laplace este ecuațiile Navier-Stokes pentru un fluid vâscos incompresibil [4] :

\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \ mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)

unde termenul cu operatorul vectorial Laplace al câmpului de viteză este vâscozitatea fluidului . $\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)$

Ecuații de unde electromagnetice plane:

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2))$ [5]

$\Delta \mathbf {H} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2))$

Literatură

Khmelnik S.I. Ecuații Navier-Stokes, existență și metodă pentru găsirea unei soluții globale. - Israel: MiC, 2010. - 106 p. - ISBN 978-0-557-48083-8 .
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich „Dicționar matematic al învățământului superior”. Editura MPI 1984.
I.V. Savelyev „Cursul de fizică generală” Volumul II

Note

↑ 1 2 Khmilnik, 2010 , Anexa 1.
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich „Dicționar matematic al școlii superioare”. Editura MPI 1984. Articolul „Operator Laplace” și „Rotor de câmp vectorial”.
^ Weisstein , Eric W. Vector Laplacian pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Khmilnik, 2010 , capitolul 2.
↑ I.V. Savelyev „Cursul de fizică generală” Volumul II paragraful „Ecuația undelor” p. 398

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare