Model hiperboloid

Modelul hiperboloid , cunoscut și sub denumirea de model Minkowski sau model Lorentz ( Herman Minkowski , Hendrik Lorentz ), este un model de geometrie Lobachevsky n - dimensională , în care fiecare punct este reprezentat de un punct de pe suprafața superioară a unui strat cu două foi. hiperboloid în spațiul Minkowski ( n +1)-dimensional și m -plane sunt reprezentate de intersecția planurilor ( m +1) din spațiul Minkowski cu S + . Funcția de distanță hiperbolică din acest model satisface o expresie simplă. Modelul hiperboloid al unui spațiu hiperbolic n - dimensional este strâns legat de modelul Beltrami-Klein și modelul discului Poincaré , deoarece acestea sunt modele proiective în sensul că grupul de mișcări este un subgrup al grupului proiectiv . ${\displaystyle S^{+))$

Forma pătratică a lui Minkowski

Dacă sunt vectori în spațiul de coordonate ( n + 1) -dimensional , forma pătratică Minkowski este definită ca $(x_{0},x_{1},\dots,x_{n})$ $\R^{n+1}$

Q(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^ {2}.

Vectorii , astfel încât , formează un hiperboloid S n - dimensional , constând din două componente conectate , sau foi — partea de sus, sau viitor, foaia , unde și partea de jos, sau trecut, foaia , unde . Punctele modelului hiperboloid n - dimensional sunt punctele de pe foaia viitoare . $v\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $Q(v)=1$ ${\displaystyle S^{+))$ $x_{0}>0$ $S^{-}$ $x_{0}<0$ ${\displaystyle S^{+))$

Forma biliniară Minkowski B este polarizarea formei Minkowski pătratice Q ,

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.

Sau explicit

B((x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots,y_{n}))=x_{0} y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.

Distanța hiperbolică dintre două puncte u și v din spațiu este dată de , ${\displaystyle S^{+))$ $d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {\mathrm {arch} } (B(\mathbf {u},\mathbf {v} ))$

unde arcul este funcția inversă a cosinusului hiperbolic .

Direct

O linie dreaptă în spațiu n hiperbolic este modelată de o geodezică pe un hiperboloid. O geodezică pe un hiperboloid este o intersecție (nevide) cu un subspațiu liniar bidimensional (inclusiv originea) al spațiului Minkowski n +1-dimensional. Dacă luăm ca u și v vectorii de bază ai unui subspațiu liniar cu

B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1

B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0

și folosiți w ca parametru pentru punctele geodezice, apoi

\mathbf {u} \,\mathrm {ch} \,w+\mathbf {v} \,\mathrm {sh} \,w

va fi un punct pe geodezică [1] .

Mai general, un „plan” k -dimensional într-un spațiu n -hiperbolic va fi modelat prin intersecția (nevid) a hiperboloidului cu subspațiul liniar k +1-dimensional (inclusiv originea) spațiului Minkowski.

Mișcări

Grupul ortogonal nedefinit O(1, n ), numit și grupul Lorentz ( n +1)-dimensional , este grupul Lie de matrici reale ( n +1)×( n +1) care păstrează forma biliniară Minkowski. Cu alte cuvinte, este grupul de mișcări liniare ale spațiului Minkowski . În special, acest grup păstrează hiperboloidul S. Amintiți-vă că grupurile ortogonale nedefinite au patru componente conectate corespunzătoare inversării sau păstrării orientării pe fiecare subspațiu (aici, unidimensionale și n - dimensionale) și formează cele patru grupe Klein . Subgrupul O(1, n ) care păstrează semnul primei coordonate este grupul ortocronic Lorentz , notat O + (1, n ), și are două componente corespunzătoare păstrării sau inversării orientării subspațiului. Subgrupul său SO + (1, n ), format din matrice cu determinant unu, este un grup Lie conex de dimensiune n ( n + 1)/2, care acționează asupra S + prin automorfisme liniare și păstrează distanța hiperbolică. Această acțiune este tranzitivă și este stabilizatorul vectorului (1,0,…,0) format din matrice de forma

{\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix))

unde aparține grupului ortogonal special compact SO( n ) (generalizand grupul de rotație SO(3) pentru n = 3 ). Rezultă că un spațiu hiperbolic n - dimensional poate fi reprezentat ca un spațiu omogen și un spațiu simetric riemannian de rang 1, $A$

\mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).

Grupul SO + (1, n ) este grupul complet de mișcări care păstrează orientarea unui spațiu hiperbolic n - dimensional.

Istorie

În mai multe lucrări între 1878 și 1885, Wilhelm Killing [2] [3] [4] a folosit reprezentarea geometriei lui Lobachevsky , pe care o atribuie lui Karl Weierstrass . În special, el discută forme pătratice, cum ar fi sau pentru dimensiuni arbitrare , unde este măsura duală a curburii, înseamnă geometrie euclidiană , geometrie eliptică și înseamnă geometrie hiperbolică. Pentru detalii, vezi Istoria transformărilor Lorentz, secțiunea „Uciderea” . ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2))$ $k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}$ $k$ $k^{2}=\infty$ $k^{2}>0$ $k^{2}<0$

Conform lui Jeremy Gray (1986) [5] Poincaré a folosit modelul hiperboloid în notele sale personale în 1880. Poincaré și-a publicat rezultatele în 1881 în care discută despre invarianța formei pătratice [6] . Gray arată unde modelul hiperboloid este menționat în mod explicit în lucrarea ulterioară a lui Poincaré [7] . Pentru detalii, vezi Istoria transformărilor Lorentz, secțiunea „Poincaré” . $\xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1$

Tot Homersham Cox în 1882 [8] [9] a folosit coordonatele Weierstrass (fără a folosi acest nume) satisfăcând relația , precum și relația . Pentru detalii, vezi Istoria transformărilor Lorentz, secțiunea „Cox” . $z^{2}-x^{2}-y^{2}=1$ $w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$

Modelul a fost folosit în continuare de Alfred Clebsch și Ferdinand von Lindemann în 1891 când au discutat relațiile și [10] . Pentru detalii, vezi Istoria transformărilor Lorentz, secțiunea „Linderman” . ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2))$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}$

Coordonatele Weierstrass au fost folosite și de Gerard (1892), Hausdorff (1899), Woods (1903) și Liebman (1905) .

Mai târziu (1885), Killing a susținut că fraza de coordonate Weierstrass corespunde elementelor modelului hiperboloid după cum urmează: având în vedere produsul punctual pe , coordonatele Weierstrass ale punctului sunt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $\mathbb{R}^n$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$

(x,{\sqrt {1+\langle x,x\rangle )))\in \mathbb {R} ^{n+1},

ce poate fi comparat cu expresia

(x,{\sqrt {1-\langle x,x\rangle )))\in \mathbb {R} ^{n+1)

pentru modelul emisferei [11] .

Ca spațiu metric , hiperboloidul a fost considerat de Alexander Macfarlane în cartea sa Papers in Space Analysis (1894). El a observat că punctele de pe un hiperboloid pot fi scrise ca

\mathrm {sh} \,A+\alpha \,\mathrm {sh} \,A,

unde α este un vector de bază ortogonal pe axa hiperboloidului. De exemplu, el a obținut legea hiperbolică a cosinusului folosind algebra fizicii [1] .

H. Jensen sa concentrat asupra modelului hiperboloid în lucrarea din 1909 „Reprezentarea geometriei hiperbolice pe un hiperboloid cu două foi” [12] . În 1993, W. F. Reynolds a conturat istoria timpurie a modelului într-un articol publicat în American Mathematical Monthly [13] .

Fiind un model general acceptat în secolul al XX-lea, a fost identificat cu Geschwindigkeitsvectoren (germană, vectori de viteză) de Hermann Minkowski în spațiul Minkowski . Scott Walther în lucrarea sa din 1999 „Stilul non-euclidian al relativității speciale” [14] menționează conștientizarea lui Minkowski, dar urmărește originea modelului la Helmholtz mai degrabă decât la Weierstrass sau Killing.

În primii ani, modelul hiperboloid relativist a fost folosit de Vladimir Varichak pentru a explica fizica vitezei. În raportul său către Societatea Germană de Matematică din 1912, el sa referit la coordonatele Weierstrass [15] .

Vezi și

Model euclidian conform
Cuaternioni hiperbolici

Note

↑ 12 Macfarlane , 1894 .
↑ Uciderea, 1878 , p. 72-83.
↑ Uciderea, 1880 , p. 265-287.
↑ Uciderea, 1885 .
↑ Gray, 1986 , p. 271-2.
↑ Poincare, 1881 , p. 132-138.
↑ Poincare, 1887 , p. 71-91.
↑ Cox, 1881 , p. 178-192.
↑ Cox, 1882 , p. 193-215.
↑ Lindemann, 1891 , p. 524.
↑ Deza E., Deza M., 2006 .
↑ Jansen, 1909 , p. 409-440.
↑ Reynolds, 1993 , p. 442-55.
↑ Scott, 1999 , p. 91–127.
↑ Varićak, 1912 , p. 103–127.

Literatură

Killing W. Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung (germană) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1878. - Bd. 86 . - S. 72-83 .
Killing W. Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen (germană) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1880. - Bd. 89 . — S. 265-287 .
Uciderea lui W. Die nicht-euklidischen Raumformen (germană) . — 1885.

Jeremy Grey. Ecuații diferențiale liniare și teoria grupurilor de la Riemann la Poincaré . - 1986. - P. 271-2.
Poincaré H. Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques (franceză) // Association française pour l'avancement des sciences. - 1881. - Vol. 10 . - P. 132-138 .
Poincaré H. Despre ipotezele fundamentale ale geometriei // Lucrări colectate (engleză) . - 1887. - Vol. 11. - P. 71-91.
Cox H. Coordonate omogene în geometria imaginară și aplicarea lor la sistemele de forțe (engleză) // The quarterly journal of pure and applyed mathematics. - 1881. - Vol. 18 , iss. 70 . — P. 178-192 .
Cox H. Coordonate omogene în geometria imaginară și aplicarea lor la sisteme de forțe (continuare ) // Revista trimestrială de matematică pură și aplicată. - 1882. - Vol. 18 , iss. 71 . — P. 193-215 .
Lindemann F. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II (germană) . - Leipzig, 1891. - S. 524.
Elena Deza, Michel Deza . Dicţionar de distanţe . — 2006.
Jansen H. Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid (germană) // Mitt. Matematică. Gesellsch Hamburg. - 1909. - H. 4 . — S. 409-440 .
Alexander Macfarlane . Lucrări despre analiza spațială . — New York: B. Westerman, 1894.
Alekseevskij DV, Vinberg EB, Solodovnikov AS Geometry of Spaces of Constant Curvature (engleză) . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1993. - (Enciclopedia Științelor Matematice). — ISBN 3-540-52000-7 .
James Anderson. Geometrie hiperbolica . — al 2-lea. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - (Seria de matematică de licență Springer). — ISBN 978-1-85233-934-0 .
John G. Ratcliffe. Capitolul 3 // Fundamentele varietăților hiperbolice . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1994. - ISBN 978-0-387-94348-0 .
Miles Reid , Balazs Szendroi. Geometrie și Topologie . - Cambridge University Press , 2005. - P. Figura 3.10, p. 45. - ISBN 0-521-61325-6 .
Patrick J. Ryan. Geometrie euclidiană și non-euclidiană: o abordare analitică . - Cambridge, Londra, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press , 1986. - ISBN 0-521-25654-2 .
William F. Reynolds. Geometrie hiperbolică pe un hiperboloid // American Mathematical Monthly . - 1993. - Iss. 100 . - P. 442-55 .
Scott Walter. Stilul non-euclidian al relativității minkowskiene // Universul simbolic: geometrie și fizică (engleză) / J. Gray. - Oxford University Press, 1999. - P. 91-127.
Varićak V. Despre interpretarea non-euclidiană a teoriei relativității (engleză) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. - 1912. - Vol. 21 . — P. 103–127 .