A douăsprezecea problemă a lui Hilbert sau Jugendtraum (din germană - „visul copilăriei”) Kronecker - una dintre cele 23 de probleme matematice , enunțată de David Hilbert în 1900 [1] [2] , formulată ca o extensie a teoremei Kronecker-Weber asupra extensiei abeliene a câmpului numerelor raționale pe un câmp de numere algebrice arbitrare . Adică, analogii rădăcinilor unității sunt solicitați sub formă de numere complexe , care sunt valori specifice funcției exponențiale ; cerința este ca astfel de numere să genereze o întreagă familie de câmpuri numerice suplimentare care sunt analoge ale câmpurilor ciclotomice și ale subcâmpurilor acestora.
Teoria clasică a înmulțirii complexe, denumită acum adesea Jugendtraum lui Kronecker , face acest lucru pentru cazul oricărui câmp pătratic imaginar folosind funcții modulare și funcții eliptice alese cu o rețea de perioadă specifică asociată câmpului în cauză. Goro Shimura a extins acest lucru la câmpurile CM. Cazul general rămâne deschis din 2022. Leopold Kronecker a descris problema înmulțirii complexe drept „liebster Jugendtraum” sau „cel mai drag vis al tinereții sale”.
În secțiunea 12 a raportului său Problems in Mathematics (1900), Hilbert dă Jugendtraum lui Kronecker „de o importanță deosebită” [1] [2] , și subliniază că Kronecker a demonstrat (1853) o teoremă (actualizată de Weber și Hilbert în 1886) că :
(...) fiecare câmp de numere abeliene din domeniul numerelor raționale se încadrează într-un câmp de rădăcini ale unității. (...) Deoarece cea mai simplă după aria numerelor raționale este aria complexă a numerelor pătratice, se pune problema de a demonstra teorema Kronecker și pentru acest caz. (...) Dovada conjecturii lui Kronecker nu a fost încă găsită. Cu toate acestea, cred că poate fi realizată fără prea multe dificultăți pe baza teoriei înmulțirii complexe dezvoltate de Weber și ținând cont de teoremele pur aritmetice asupra claselor de câmpuri pe care le-am demonstrat. Și, în sfârșit, acord o importanță excepțională extinderii teoremei Kronecker în cazul în care, în locul domeniului numerelor raționale sau al domeniului patratic complex, un câmp numeric algebric arbitrar este luat drept domeniu al raționalității. Consider această problemă ca fiind una dintre cele mai profunde și de anvergură probleme din teoria funcțiilor. (...) În ceea ce privește partea funcțional-teoretică a problemei, cercetătorul ar trebui să ia calea foarte atractivă a acelei analogii izbitoare care se observă între teoria funcțiilor algebrice ale unei variabile independente și teoria numerelor algebrice. (...) După cum putem observa, în problema de mai sus, cele trei ramuri principale ale matematicii - și anume, teoria numerelor , algebra și teoria funcțiilor - sunt în interconexiune internă.
| Probleme Hilbert | |
|---|---|