Semn (matematică)

Semnul unui număr real în aritmetică face posibilă distingerea numerelor negative de cele pozitive ; În mod tradițional, semnul este indicat printr-un semn plus (numere pozitive) sau un semn minus (negativ) înainte de a scrie numărul. Dacă nu este specificat nici plus, nici minus, numărul este considerat pozitiv. Zero ca număr special nu are semn.

Exemple de scriere a numerelor: Ultimul număr nu are semn și, prin urmare, este pozitiv. $+36{,}6;\ {-}273;\ 142.$

Plus și minus indică semnul pentru numere, dar nu pentru variabile literale sau expresii algebrice. De exemplu, în formule, simbolurile plus și minus nu specifică semnul expresiei pe care o preced, ci semnul operației aritmetice, deci semnul rezultatului poate fi orice, se determină numai după ce expresia a fost calculată . $-t;\ a+b;\ -(a^{2}+b^{2})$

Pe lângă aritmetică, conceptul de semn este folosit în alte ramuri ale matematicii, inclusiv pentru obiectele matematice nenumerice (vezi mai jos). Conceptul de semn este, de asemenea, important în acele ramuri ale fizicii în care mărimile fizice sunt împărțite în două clase, numite condiționat pozitiv și negativ - de exemplu, sarcini electrice , temperatură , feedback pozitiv și negativ , altitudine , diferite forțe de atracție și repulsie. În economie, semnul vă permite să distingeți profitul de pierdere, un sold pozitiv al cardului de credit de unul negativ etc.

Semnul numeric

Numerele pozitive și negative

Un număr real se numește pozitiv dacă este mai mare decât zero și negativ dacă este mai mic. Numerele pozitive sunt scrise cu semnul plus sau fără semn, numerele negative se scriu cu semnul minus [1] .

Zerului nu i se atribuie niciun semn, adică și este același număr în aritmetică [1] . În teoria limitelor analizei matematice , semnificația simbolurilor și poate varia, vezi despre acest zero negativ și pozitiv . În informatică , codificarea computerului a două zerouri ( de tip întreg ) poate să nu se potrivească nici, vezi codul direct . $+0$ $-0$ $+0$ $-0$

În legătură cu cele de mai sus, sunt introduși câțiva termeni mai utili:

Un număr este nenegativ dacă este mai mare sau egal cu zero.
Un număr este nepozitiv dacă este mai mic sau egal cu zero.
Numerele pozitive diferite de zero și numerele negative diferite de zero sunt uneori (pentru a sublinia faptul că sunt diferite de zero) numite „„strict pozitive” și, respectiv, „strict negative”.

Aceeași terminologie este uneori folosită pentru funcții reale . De exemplu, o funcție se numește pozitivă dacă toate valorile ei sunt pozitive, nenegative dacă toate valorile sale sunt nenegative etc. Se mai spune că funcția este pozitivă/negativă pe un interval dat al acesteia. definiție..

Pentru numerele complexe, conceptul de semn al unui număr nu există, deoarece pentru ele nu este definit modul de comparare a numerelor cu mai mult/mai puțin .

Notație

Mulțimea numerelor reale pozitive se notează ca . $\mathbb {R} _{>0}$
Mulțimea numerelor reale nenegative se notează ca . $\mathbb {R} _{\geqslant 0)$
Mulțimea numerelor reale negative se notează ca . $\mathbb {R} _{<0}$
Mulțimea numerelor reale nepozitive se notează ca . $\mathbb {R} _{\leqslant 0)$

Semnează funcția sgn(x)

Funcția semn (pronunțat: signum of x ) este adesea utilă ca indicator al semnului unui număr. Această funcție este definită după cum urmează: $y=\operatorname {sgn}(x)$

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1\quad (x<0),\\~~\,0\quad (x=0),\\~~\,1 \quad (x>0).\end{cases}}

Cu alte cuvinte, funcția este egală pentru un argument pozitiv, pentru unul negativ și zero pentru un argument zero. Funcția este, de asemenea, furnizată într-un număr de limbaje de programare . $unu$ $-unu$

Pentru un exemplu de utilizare a funcției, consultați articolul Rădăcină pătrată#Numere complexe .

Modulul (valoarea absolută) al numărului

Dacă semnul este eliminat din număr, valoarea rezultată se numește modulul sau valoarea absolută a numărului , se notează Exemple: $X$ $X$ $|x|.$ $|3|=3;\ |{-3}|=3.$

Pentru orice numere reale , sunt valabile următoarele proprietăți. $a,b$

Formula pentru descompunerea unui număr în semn și modul: $a=\operatorname {sgn}(a)\cdot |a|$
Modulul oricărui număr este întotdeauna nenegativ și dacă și numai dacă $|a|=0$ $a=0.$
Modulele numerelor opuse sunt aceleași: $|{-a}|=|a|.$
$-|a|\leqslant a\leqslant |a|.$
$|a+b| \leqslant |a|+|b|$ ( inegalitatea triunghiului ).

Semnul obiectelor nenumerice

Semn unghi

Valoarea unghiului pe plan este considerată pozitivă dacă se măsoară în sens invers acelor de ceasornic, în caz contrar este negativă. Două cazuri de rotație sunt clasificate în mod similar :

rotație pe plan - de exemplu, rotația cu (-90 °) este în sensul acelor de ceasornic;
rotația în spațiu în jurul unei axe orientate este, în general, considerată pozitivă dacă „ regula gimlet ” este îndeplinită , în caz contrar este considerată negativă.

Semn de direcție

În geometria analitică și fizică , progresele de-a lungul unei linii drepte sau curbe date sunt adesea împărțite condiționat în pozitive și negative. O astfel de împărțire poate depinde de formularea problemei sau de sistemul de coordonate ales. De exemplu, atunci când se calculează lungimea unui arc de curbă , este adesea convenabil să se atribuie un semn minus acestei lungimi într-una dintre cele două direcții posibile.

Conectați-vă informatică

bitul cel mai semnificativ
0	unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu	=	127
0	unu	unu	unu	unu	unu	unu	0	=	126
0	0	0	0	0	0	unu	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	unu	=	unu
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu	=	−1
unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu	0	=	−2
unu	0	0	0	0	0	0	unu	=	−127
unu	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Pentru a reprezenta semnul unui număr întreg, majoritatea computerelor folosesc complementul a doi .

Un număr întreg stocat în memoria computerului poate fi semnat sau nesemnat (în acest din urmă caz este tratat ca pozitiv). Numerele semnate folosesc unul dintre biți ca cod de semn (de obicei 0 codifică un număr pozitiv, 1 codifică unul negativ), pentru numerele fără semn toți biții sunt egali. Majoritatea calculatoarelor folosesc complementul a doi pentru a reprezenta semnul și valoarea numerelor întregi , deși se găsește și un cod direct .

Numerele reale sunt stocate și tratate ca numere în virgulă mobilă , adică conțin mantisa și exponentul numărului, iar fiecare dintre aceste părți este prevăzută cu un pic din semnul său.

Matematică discretă

În combinatorică , semnul unei permutări este determinat - pozitiv dacă permutarea este pară și negativ dacă permutarea este impară. Cu această definiție, se îndeplinește regula obișnuită a semnelor pentru produsul (compoziția) permutărilor : plus cu plus și minus cu minus dau un plus, plus cu minus și minus cu plus dau un minus.

În teoria grafurilor, sunt considerate grafuri direcționate și semnate , în care fiecărei muchii îi corespunde o direcție sau semn (pozitiv sau negativ).

Fizica

Multe mărimi fizice sunt împărțite în două clase, numite convențional pozitive și negative.

Exemple .

Conform tradiției istorice, sarcina electrică a unui electron se numește negativă, iar cea a unui proton se numește pozitivă.
Semnul temperaturii depinde de scala de temperatură selectată . Pe scara Kelvin, temperatura este întotdeauna nenegativă, pe scara Celsius , temperaturile peste Kelvin sunt considerate pozitive, iar sub - negative. $+273^{\circ )$
În optică , puterea optică a lentilelor care colectează razele de lumină este considerată pozitivă și negativă, dacă acestea se împrăștie.
Înălțimea deasupra nivelului mării .

Alte utilizări ale

Există un sistem de numere semn-cifre , în care fiecare cifră a unui număr poate avea un semn pozitiv sau negativ.

În teoria măsurii, este definit conceptul de măsură generalizată cu semn („ încărcare ”), care poate avea valori pozitive sau negative.

Un semn poate fi atribuit unui punct la infinit pe axa numerică extinsă .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Manual de matematică elementară, 1978 , p. 111-113.

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. — M .: Nauka, 1978.