Linie tangentă la cerc

O linie tangentă la un cerc în geometria euclidiană în plan este o dreaptă care are exact un punct comun cu cercul. De asemenea, este posibil să se definească o tangentă ca poziție limită a unei secante atunci când punctele sale de intersecție cu un cerc se apropie la infinit. Liniile tangente la cercuri fac obiectul unui număr de teoreme și joacă un rol important în multe construcții și demonstrații geometrice .

Linii tangente la același cerc

Linia tangentă t la cercul C intersectează cercul într-un singur punct T . Pentru comparație, liniile secante intersectează cercul în două puncte, în timp ce unele linii pot să nu intersecteze cercul deloc. Această proprietate a unei linii tangente este păstrată de multe transformări geometrice , cum ar fi asemănarea , rotația , translația , inversarea și proiecția hărții . Tehnic vorbind, aceste transformări nu modifică structura de incidență a liniilor tangente și a cercurilor, chiar dacă liniile și cercurile în sine sunt deformate.

Raza cercului trasat prin punctul tangent este perpendiculară pe linia tangentă. Invers, perpendiculara pe raza la punctul final (pe cerc) este tangenta dreptei. Cercul împreună cu dreapta tangentă au simetrie axială față de rază (spre punctul de contact).

Nicio linie tangentă nu poate trece printr-un punct din interiorul cercului, deoarece orice astfel de linie trebuie să fie o secantă. În același timp, pentru orice punct din afara cercului, se pot construi două drepte tangente care trec prin el. Figura geometrică, formată dintr-un cerc și două drepte tangente, are și simetrie axială față de dreapta care leagă punctul P de centrul cercului O (vezi figura din dreapta). În acest caz, segmentele de la punctul P la cele două puncte tangente au aceeași lungime. După teorema gradului unui punct, pătratul lungimii segmentului până la punctul de contact este egal cu gradul punctului P față de cercul C. Această putere este egală cu produsul distanțelor de la punctul P la două puncte de intersecție ale cercului cu orice dreaptă secantă care trece prin P.

Linia tangentă t și punctul tangent T au proprietatea de conjugare între ele; această corespondență poate fi generalizată în ideea unui pol și a unui polar . Aceeași relație există între un punct P în afara cercului și o linie secantă care leagă două puncte de contact.

Dacă punctul P se află în afara cercului centrat pe O și dacă liniile tangente din P ating cercul în punctele T și S, atunci unghiurile ∠TPS și ∠TOS se adună la 180°.

Dacă coarda TM este trasă din punctul tangent T al dreptei PT și ∠PTM ≤ 90°, atunci ∠PTM = (1/2)∠MOT.

Construcție geometrică

Este relativ ușor să construiești o dreaptă t tangentă la cerc într-un punct T al cercului. Pentru a face acest lucru, trageți o linie a prin centrul cercului O și punctul T. Atunci linia t este perpendiculară pe dreapta a . Una dintre modalitățile de a construi o perpendiculară este următoarea (vezi figura). Desenăm un cerc cu aceeași rază ( r ) centrat în punctul T , obținem al doilea punct G pe dreapta a , iar punctul T devine punctul de mijloc al segmentului OG. Desenăm două cercuri cu raza R > r cu centre în punctele O și G . Linia care trece prin punctele de intersecție ale acestor cercuri va fi tangentă.

Pentru a construi o linie tangentă prin punctul P la cercul C , puteți folosi proprietatea unghiului bazată pe diametrul cercului . Se desenează un cerc centrat în punctul H , mijlocul segmentului OP, unde O este centrul cercului C. Intersecțiile lui T și T’ sunt punctele tangente ale dreptelor care trec prin punctul P , întrucât unghiurile ∠OTP și ∠OT'P se bazează pe diametrul OP al cercului centrat pe H .

Teorema patrulaterului circumscris și cercurile înscrise

Patrulaterul descris ABCD este o figură închisă cu patru laturi care sunt tangente la cercul C . În consecință, C este un cerc înscris în patrulater ABCD. Prin teorema lui Pitot , sumele laturilor opuse ale oricărui astfel de patrulater sunt egale, adică

\overline {AB}+\overline {CD}=\overline {BC}+\overline {DA}.

Această concluzie rezultă din egalitatea segmentelor tangentelor de la vârfurile patrulaterului. Să notăm punctele de contact ca P (pe segmentul AB), Q (pe segmentul BC), R (pe segmentul CD) și S (pe segmentul DA). Segmentele de linie simetrică la punctele de contact din fiecare vârf al patrulaterului ABCD sunt egale, adică BP=BQ= b , CQ=CR= c , DR=DS= d și AS=AP= a . Dar fiecare parte a patrulaterului este formată din două astfel de segmente

\overline {AB}+\overline {CD}=(a+b)+(c+d)=\overline {BC}+\overline {DA}=(b+c)+(d+a)

care dovedeşte afirmaţia.

Este adevărat și invers - un cerc poate fi înscris în orice patrulater convex în care sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale. [unu]

Această teoremă și inversul ei au diverse aplicații. De exemplu, rezultă imediat din teoremă că un cerc nu poate fi înscris în niciun dreptunghi, decât dacă este un pătrat , și, de asemenea, că un cerc poate fi înscris în orice romb, deși în cazul general un cerc nu poate fi înscris într-un paralelogram .

Linii tangente la două cercuri

Pentru două cercuri, în general există patru linii distincte tangente la ambele cercuri, cu excepția cazului în care un cerc se află în celălalt, dar în cazuri degenerate poate exista orice număr de tangente de la zero la patru. Aceste cazuri sunt descrise mai jos. Dintre cele patru drepte tangente, două sunt tangente externe atunci când cercurile se află pe aceeași parte a dreptei tangente. Pentru celelalte două linii, tangente interne, cercurile se află pe laturile opuse ale dreptei tangente. Tangentele exterioare se intersectează în centrul homoteției exterioare , în timp ce tangentele intersectează în centrul homoteției interioare. Atât centrul interior, cât și cel exterior al homoteziei se află pe o linie dreaptă care trece prin centrele cercurilor, mai aproape de centrul cercului mai mic. Dacă două cercuri au aceleași raze, rămân aceleași patru tangente, dar liniile tangente exterioare sunt paralele și nu există un centru de homotezie exterior pe planul afin . Pe planul proiectiv , centrul exterior al homotetiei se află în punctul de la infinit corespunzător intersecției dreptelor. [2]

Tangenta externă

Liniile roșii care leagă punctele T 1 și T 3 , T 2 și T 4 sunt tangentele exterioare ale celor două cercuri.

Tangenta internă

Tangentele interne sunt tangente care intersectează segmentul care leagă centrele cercurilor. Rețineți că tangentele interne nu există în cazul cercurilor care se intersectează.

Clădire

Tangentele la două cercuri pot fi construite prin găsirea centrelor homoteției, așa cum este descris mai sus, și apoi construind tangente prin aceste centre. De asemenea, este posibil să construiți direct linii tangente și puncte tangente, așa cum este descris mai jos.

Geometrie elementară

Fie O 1 și O 2 două centre a două cercuri C 1 și C 2 și fie r 1 și r 2 razele lor , în timp ce r 1 > r 2 . Cu alte cuvinte, cercul C 1 va fi considerat cel mai mare dintre cele două cercuri. Două metode diferite pot fi utilizate pentru a construi linii tangente externe și interne.

Tangente externe

Desenați un nou cerc C 3 cu raza r 1 − r 2 centrat pe O 1 . Folosind metoda descrisă mai sus, trageți două drepte tangente din punctul O 2 la acest nou cerc. Aceste drepte sunt paralele cu liniile tangente dorite, deoarece aceasta corespunde unei scăderi a razelor ambelor cercuri C 1 și C 2 cu același număr r 2 , în urma căreia cercul C 2 se transformă într-un punct. Prin două puncte tangente pe cercul C 3 se pot trasa două raze din centrul O 1 . Aceste raze intersectează C 1 în punctele de contact necesare. Tangentele dorite sunt perpendiculare pe aceste raze radiale și pot fi construite așa cum se arată mai sus.

Tangente interne

Desenați un nou cerc C 3 cu raza r 1 + r 2 centrat pe O 1 . Folosind metoda descrisă mai sus, trageți două drepte tangente din punctul O 2 la acest nou cerc. Aceste drepte sunt paralele cu liniile tangente dorite, deoarece aceasta corespunde unei scăderi a razei cercului C2 la zero cu o creștere simultană a razei C1 cu aceeași constantă r2 . Două raze radiale pot fi trase din centrul O 1 prin punctele de contact pe C 3 . Aceste raze intersectează C 1 în punctele de contact necesare. Tangentele interne dorite sunt perpendiculare pe razele radiale și intersectează razele în punctele găsite, astfel încât să poată fi construite prin metoda de mai sus.

De fapt, aceasta este aceeași construcție ca și pentru tangentele externe, dacă presupunem că raza cercului mai mic este negativă.

Geometrie analitică

Fie că cercurile au centrele c 1 = ( x 1 , y 1 ) și c 2 = ( x 2 , y 2 ) și razele r 1 și respectiv r 2 . Fie ca linia tangentă să aibă o ecuație cu normalizarea a 2 + b 2 = 1, apoi distanța de la centrele cercurilor la linie se calculează prin formulele: $ax+by+c=0,$

ax 1 + prin 1 + c = r 1 şi ax 2 + cu 2 + c = r 2 .

Scădem prima ecuație din a doua, obținem

a ∆ x + b ∆ y = ∆ r

unde Δ x \ u003d x 2 - x 1 , Δ y \ u003d y 2 - y 1 și Δ r \ u003d r 2 - r 1 .

Dacă este distanța de la c 1 la c 2 , putem normaliza făcând substituția X = Δ x / d , Y = Δ y / d și R = Δ r / d pentru a simplifica ecuațiile, ceea ce dă ecuațiile aX + bY = R și a 2 + b 2 = 1. Le rezolvăm și obținem două soluții ( k = ±1) pentru două drepte tangente externe: $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$

a = RX − kY √(1 − R 2 ) b = RY + kX √(1 − R 2 ) c = r 1 − ( ax 1 + cu 1 )

Geometric, aceasta corespunde calculării unghiului format de tangentă și a liniei trasate prin centre, iar apoi linia de cent este rotită pentru a obține ecuația tangentei. Un unghi poate fi calculat folosind trigonometrie dintr-un triunghi dreptunghic ale cărui vârfuri sunt centrul (exterior) al homoteției, centrul cercului și punctul de tangență. Ipotenuza se află pe linia centrală, raza este catetul opus unghiului, iar catetul adiacent unghiului se află pe tangentea dreptei.

( X , Y ) este vectorul unitar de la c 1 la c 2 , în timp ce R este , unde este unghiul dintre linia centrală și tangentă. atunci este egal (în funcție de semnul , care este echivalent cu direcția de rotație), iar ecuațiile de mai sus sunt rotația lui ( X , Y ) prin utilizarea matricei de rotație $\cos \theta$ $\theta$ $\sin \theta$ $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ $\theta$ $\pm\theta ,$

{\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}

k = 1 este linia tangentă la dreapta cercurilor văzute din c 1 în direcția c 2 . k = −1 este linia tangentă la dreapta cercurilor văzute din c 2 în direcția c 1 .

Toate argumentele de mai sus presupun că razele cercurilor sunt pozitive. Dacă r 1 este pozitiv și r 2 este negativ, atunci c 1 se va afla la stânga fiecărei drepte și c 2 la dreapta, iar cele două drepte tangente se vor intersecta. În acest fel, se pot obține toate cele patru soluții. Schimbarea semnului ambelor raze duce la schimbul de opțiuni k = 1 și k = −1.

Vectori

În cazul general, punctele tangente t 1 și t 2 pentru oricare dintre cele patru linii tangente la cercuri centrate pe v 1 și v 2 și cu raze r 1 și r 2 se obțin prin rezolvarea a patru ecuații:

{\begin{aliniat}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_ {2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\ (t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}

Aceste ecuații exprimă faptul că linia tangentă este perpendiculară pe raze, iar punctele tangente se află pe cercurile corespunzătoare.

Aceste patru ecuații pătratice cu variabile vectoriale bidimensionale dau în general patru perechi de soluții.

Cazuri degenerate

Două cercuri diferite pot avea, în funcție de poziția relativă, de la zero la patru drepte tangente la ambele cercuri. Variantele pot fi clasificate după distanța dintre centre și raze.

Dacă cercurile nu se ating ( ), care este poziția generală , există patru tangente care ating ambele cercuri în același timp. $d>r_{1}+r_{2}$
Dacă cercurile sunt în contact ( ) - au un punct de contact exterior - au două tangente externe comune și una internă care trece prin punctul de contact al cercurilor. Această linie tangentă comună are multiplicitatea doi. $d=r_{1}+r_{2}$
Dacă cercurile se intersectează în două puncte ( ), nu au tangente interne comune și au două drepte tangente externe. $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$
Dacă cercurile se ating între ele din interior ( ) - există un punct de contact intern - nu au tangente interne comune și există o tangentă externă comună care trece prin punctul de contact al cercurilor, iar această linie are o multiplicitate de Două. $d=|r_{1}-r_{2}|$
Dacă un cerc este complet în interiorul celuilalt ( ), nu au tangente comune, deoarece orice tangentă la cercul interior va fi o secantă la cel exterior. $d<|r_{1}-r_{2}|$

În cele din urmă, dacă cercurile coincid, orice linie tangentă la același cerc va fi o tangentă comună.

În plus, conceptul unei linii tangente comune poate fi extins la cazul cercurilor cu rază negativă (care sunt formate din aceleași puncte, dar „din interior”). În acest caz, dacă razele au semne opuse (un cerc are o rază pozitivă, celălalt are o rază negativă), centrele exterior și interior ale homoteției sunt inversate și tangentele comune exterioare și interioare sunt inversate. Dacă razele au același semn (ambele razele sunt pozitive sau ambele sunt negative), atunci conceptele „extern” și „intern” au sensul obișnuit. $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$

Tangentele comune pot fi definite pentru cercuri cu raza zero. În acest caz, un cerc cu rază zero este tratat ca un punct dublu și, prin urmare, orice dreaptă care trece prin acest punct îl intersectează cu o multiplicitate doi. Dacă cercul are o rază de zero, linia tangentă comună este pur și simplu linia tangentă la cerc prin punct, dar această linie este numărată de două ori. Dacă ambele cercuri au rază zero, atunci linia tangentă comună este linia care trece prin două puncte, iar această dreaptă are multiplicitatea patru.

Rețineți că în aceste cazuri degenerate, centrele exterior și interior ale homoteției rămân (centrul exterior merge la infinit dacă razele sunt egale), cu excepția cazului în care cercurile coincid (caz în care centrul exterior nu este definit), sau când ambele cercurile au raza zero (în acest caz nu există un centru interior).

Aplicații

Problemă cu transmisia cu curele

Tangentele interne și externe sunt utile în rezolvarea problemei transmisiei cu cureaua , care constă în calcularea lungimii curelei care s-ar potrivi perfect în jurul roților de transmisie. Dacă considerăm cureaua ca o curbă matematică cu o grosime neglijabilă și dacă roțile de transmisie sunt exact în același plan, problema se reduce la însumarea segmentelor tangente cu lungimile arcului corespunzătoare. Dacă centura este întinsă peste roți cu o intersecție, este necesar să se ia în considerare tangentele interne. Dacă centura este întinsă fără încrucișare, este necesar să se ia în considerare tangentele externe. Ultimul caz este uneori numit problema scripetelui .

Linii tangente la trei cercuri: teorema lui Monge

Pentru trei cercuri C 1 , C 2 și C 3 există trei perechi de cercuri ( C 1 C 2 , C 2 C 3 și C 1 C 3 ). Deoarece fiecare pereche de cercuri are doi centre de homotezie, obținem un total de șase centre de homotezie . Gaspard Monge a arătat la începutul secolului al XIX-lea că aceste șase puncte se află pe patru linii și că trei puncte se află pe fiecare linie.

Linii tangente și biliard

Sistemul de linie tangentă de țintire a bilei tac folosește o linie prin mijlocul tacului pentru a crea două linii tangente de la bila tac în direcția bilei obiect. Două linii tangente și o linie prin mijlocul bilei tac intersectează o linie care trece prin mijlocul bilei obiect și centrul buzunarului. Este necesar să direcționați lovitura astfel încât poziția finală a bilei tac (o bilă imaginară în figură) să atingă bila obiect în punctul de contact cu o linie dreaptă perpendiculară pe direcția pe buzunar (în figură această tangentă). este evidenţiată în verde).

Problema lui Apollonius

Multe cazuri speciale ale problemei Apollonius folosesc găsirea de cercuri care sunt tangente la una sau mai multe drepte. În cel mai simplu dintre aceste cazuri, se construiește un cerc care este tangent la trei drepte date (problema LLL ). Centrul oricărui astfel de cerc trebuie să se afle pe bisectoarea unghiului în punctul de intersecție al oricărei perechi de aceste drepte. Există două bisectoare în fiecare punct de intersecție al dreptelor. Intersecțiile acestor bisectoare dau centrele cercurilor care sunt soluția. În cazul general, există patru astfel de cercuri pentru un triunghi format prin intersecția a trei linii - un cerc înscris și trei excercuri.

În general, problema lui Apollonius poate fi redusă la problema mai simplă de a construi un cerc tangent la un cerc și două drepte paralele (acesta este în sine un caz special al LLC ). Pentru a face acest lucru, creștem proporțional două dintre aceste trei cercuri date până când se ating. Inversarea în jurul unui cerc de rază adecvată centrat în punctul tangent transformă aceste două cercuri în două linii paralele, iar al treilea cerc într-un alt cerc. Astfel, soluția poate fi găsită prin deplasarea unui cerc de rază constantă între două drepte paralele până când obținem o tangență cu un al treilea cerc transformat. Inversarea inversă va oferi soluții la problema inițială.

Generalizări

Conceptul de linie tangentă la unul sau mai multe cercuri poate fi generalizat în mai multe moduri. În primul rând, proprietatea de împerechere a liniilor tangente și punctelor tangente poate fi generalizată la un pol și o linie polară , atunci când polul poate fi oriunde, nu neapărat pe un cerc. În al doilea rând, unirea a două cercuri este un caz special ( reductibil ) al unei curbe plane de gradul al patrulea , iar liniile tangente externe și interne sunt tangente la două puncte ale acestei curbe. În general, o curbă plană de gradul 4 are 28 de linii drepte tangente la ea de două ori.

A treia generalizare se aplică mai degrabă cercurilor tangente decât liniilor tangente. Linia tangentă poate fi privită ca un cerc tangent cu o rază infinită. În special, liniile tangente externe la două cercuri pot fi considerate cazuri speciale ale familiei de cercuri tangente din interiorul sau din exteriorul ambelor cercuri, în timp ce liniile tangente interne pot fi considerate cazuri speciale ale familiei de cercuri tangente la un cerc din interiorul și cu partea exterioară a celuilalt) [3] .

În geometria Möbius sau geometria inversă , liniile sunt considerate cercuri centrate „la infinit” și pentru orice linie și pentru orice cerc există o transformare Möbius care duce o figură la alta. În geometria Möbius, tangența unei drepte și a unui cerc devine un caz special de tangență a două cercuri. Această echivalență este dezvoltată în continuare în geometria sferică Lie .

Note

↑ Alexander Bogomolny, „Când un patrulater este inscriptibil?” pe Cut-the-knot . Consultat la 17 aprilie 2015. Arhivat din original la 22 decembrie 2015. (nedefinit)
↑ Paul Kunkel. Cercuri tangente . whistleralley.com. Preluat la 29 septembrie 2008. Arhivat din original la 15 august 2019. (nedefinit)
↑ Kunkel, 2007 , p. 34–46.

Literatură

Paul Kunkel. Problema tangenței lui Apollonius: trei priviri // Buletinul BSHM : Jurnalul Societății Britanice pentru Istoria Matematicii . - 2007. - T. 22 , nr. 1 . - doi : 10.1080/17498430601148911 .
David Fraivert. Proprietățile tangentelor la un cerc care formează puncte Pascal pe laturile unui patrulater convex // Forum Geometricorum. - 2017. - Vol. 17. - P. 223-243.
Shlomo Libeskind. Geometrie euclidiană și transformațională: o anchetă deductivă . — 2007.

Vezi și

Link -uri

Weisstein, Eric W. Linii tangente la un cerc (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Linii tangente la două cercuri (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .