Clasificarea lui Petrov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 octombrie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Clasificarea Petrov (uneori clasificarea Petrov-Pirani , rareori clasificarea Petrov-Pirani-Penrose ) descrie posibilele simetrii algebrice ale tensorului Weil pentru fiecare eveniment pe o varietate pseudo-Riemanniană .

Această clasificare este utilizată cel mai activ în studiul soluțiilor exacte ale ecuațiilor Einstein , deși, în general, este un rezultat matematic abstract care nu depinde de nicio interpretare fizică. Clasificarea a fost propusă pentru prima dată în 1954 de A. Z. Petrov și în 1957 independent de Felix Pirani .

Teorema de clasificare

Un tensor de rang 4 cu antisimetrie în prima și a doua pereche de indici, de exemplu , tensorul Weil , în fiecare punct al varietății poate fi reprezentat ca un operator liniar : care acționează în spațiul vectorial al bivectorilor : $C$ $T_{{p}}\time T_{{p}}\rightarrow T_{{p}}\time T_{{p}}$

X^{{ab}}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}X^{{mn}}

În acest caz, este firesc să punem problema găsirii de valori proprii și vectori proprii (sau bivectori proprii ) astfel încât $\lambda$ $X^{{ab}}$

{\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}\,X^{{mn}}=\lambda \,X^{{ab}}

În varietățile pseudo-riemanniene cu patru dimensiuni în fiecare punct spațiul bivectorilor este de șase dimensiuni. Totuși, simetriile tensorului Weyl limitează dimensiunea spațiului bivectorilor proprii la patru. Astfel, tensorul Weil la un punct dat poate avea cel mult patru bivectori proprii liniar independenți .

La fel ca în teoria obișnuită a vectorilor proprii a unui operator liniar , bivectorii proprii ai tensorului Weyl pot fi multipli. Multiplicitatea bivectorilor proprii indică o simetrie algebrică suplimentară a tensorului Weyl la un punct dat; aceasta înseamnă că tipul de simetrie al tensorului Weyl poate fi determinat prin rezolvarea unei ecuații de ordinul 4 pentru valorile sale proprii.

Bivectorii proprii ai tensorului Weyl sunt asociați cu anumiți vectori izotropi de pe varietate, care sunt numiți direcții izotrope principale (la un punct dat). Teorema de clasificare afirmă că există exact șase tipuri posibile de simetrie algebrică, care sunt cunoscute sub numele de tipuri Petrov :

Tip I : patru direcții izotrope principale,
Tipul II : o direcție izotropă principală dublă și două direcții izotrope simple,
Tip D : două direcții izotrope duble,
Tipul III : o trimitere triplă și o singură trimitere,
Tip N : o direcție izotropă cu o multiplicitate de 4,
Tip O : Tensorul Weyl este zero.

Tensorul Weyl de tip I (la un punct) se spune a fi algebric general ; tensorii de alte tipuri sunt numiți speciali algebric . Diferite puncte de spațiu-timp pot avea un tip Petrov diferit. Tranzițiile posibile între tipurile Petrov sunt prezentate în figură, ceea ce poate fi interpretat și ca însemnând că unele tipuri Petrov sunt mai speciale decât altele. De exemplu, tipul I , cel mai comun tip, poate degenera în tipurile II sau D , în timp ce tipul II poate degenera în tipurile III , N sau D.

Criteriile lui Bel

Pentru o varietate pseudo-riemanniană (lorentziană) , tensorul Weyl poate fi calculat din tensorul metric . Dacă la un moment dat tensorul Weil este algebric special , atunci există un set eficient de reguli (descoperit de Louis Bel) pentru determinarea tipului Petrov la punctul . Notați componentele tensorului Weyl într-un punct cu (și presupuneți că acestea sunt diferite de zero, adică nu este de tip O ), atunci criteriile Behl pot fi exprimate după cum urmează: $M$ $p\în M$ $p$ $p$ $C_{{abcd}}$

$C_{{abcd}}$ este de tip N dacă și numai dacă există un vector izotrop unic (până la un factor) care satisface $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{d}=0

Dacă nu aparține tipului N , atunci aparține tipului III dacă și numai dacă există un vector izotrop unic (până la un factor) care satisface $C_{{abcd}}$ $C_{{abcd}}$ $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=0

$C_{{abcd}}$ este de tip II dacă și numai dacă există un vector izotrop unic (până la un factor) care satisface $k$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

și ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

$C_{{abcd}}$ este de tip D dacă și numai dacă există doi vectori izotropi liniar independenți , , care îndeplinesc condițiile: $k$ $k'$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

, ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

și

C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}

, ( ).

{}^{*}C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}

\gamma \delta \neq 0

unde este tensorul dual cu tensorul Weil în punctul . ${{}^{*}C}_{{abcd}}$ $p$

Criteriile lui Bel sunt folosite în relativitatea generală, adică tipul Petrov pentru tensorul Weyl algebric special se găsește folosind vectori zero.

Interpretare fizică

Conform relativității generale , tipurile speciale algebrice ale lui Petrov au o interpretare fizică interesantă, astfel încât clasificarea lor este adesea numită clasificarea câmpurilor gravitaționale .

Regiunile de câmp de tip D sunt asociate cu câmpurile gravitaționale ale corpurilor cerești masive izolate, cum ar fi stelele. Mai precis, câmpurile de tip D apar în jurul obiectelor staționare care au doar masa și momentul unghiular ca caracteristici fizice. (Un corp dinamic mai complex are momente multipolare diferite de zero .) Cele două direcții izotrope principale definesc două familii izotrope „radial” convergente și divergente în apropierea corpului gravitator.

Tensorul electrogravitațional (sau tensorul mareelor ) în regiunile de tip D este analog cu câmpurile gravitaționale, care sunt descrise de gravitația newtoniană cu un potențial gravitațional de tip Coulomb . Un astfel de câmp de maree se caracterizează prin extensie într-o direcție și compresie în direcții ortogonale; valorile proprii au un model caracteristic (-2,1,1). De exemplu, un satelit aflat pe orbită în jurul Pământului are o ușoară expansiune radială și o ușoară compresie ortogonală. Ca și în gravitația newtoniană, câmpul mareelor scade cu, unde este distanța de la corpul gravitator. $O(r^{{-3}})$ $r$

Dacă corpul se rotește în jurul unei axe, atunci, pe lângă efectele mareelor, vor apărea diferite efecte gravitomagnetice , cum ar fi interacțiunea spin-spin care acționează asupra giroscoapelor observatorului . În vidul Kerr , care este un exemplu tipic de câmp de vid de tip D , această parte a câmpului se descompune ca . $O(r^{{-4}})$

Regiunile de tip III sunt asociate cu partea longitudinală a câmpului gravitațional care variază în timp (uneori numită radiație gravitațională longitudinală). În aceste zone, forțele de maree au caracter de deplasări. Acesta este un tip de câmp destul de puțin studiat, parțial pentru că radiația gravitațională care apare în aproximarea câmpului slab este de tip N , deoarece câmpul de tip III scade cu mult mai rapid decât radiația de tip N și, în consecință, nu părăsi sursa. $O(r^{{-2}})$

Regiunile de tip N sunt asociate cu radiația gravitațională transversală , pe care astronomii au detectat-o în 2015 . Direcția izotropă de patru ori corespunde vectorului de undă care descrie direcția de propagare a radiației. Amplitudinea radiației scade de obicei cu , așa că câmpul gravitațional al unei surse îndepărtate este întotdeauna radiativ și are tipul N . $O(r^{{-1}})$

Tipul II combină efectele câmpurilor de tip D , III și N într -o manieră neliniară destul de complexă.

Regiunile de tip O , sau regiuni conform euclidiene , sunt zone în care tensorul Weil este identic egal cu zero. În acest caz, tensorul de curbură este Ricci pur . În regiunile conform euclidiene, orice efecte gravitaționale apar numai datorită prezenței instantanee a materiei sau energiei unui câmp negravitațional (de exemplu, un câmp electromagnetic ). Într-un fel, aceasta înseamnă că orice obiect aflat la distanță nu afectează evenimentele din această zonă; mai precis, dacă există o anumită dinamică gravitațională în regiuni îndepărtate, știrile despre aceasta nu au ajuns încă în zona euclidiană conformă luată în considerare.

Câmpul gravitațional și, prin extensie, radiația gravitațională emisă de un sistem izolat nu vor fi în general speciale din punct de vedere algebric la o distanță finită de sursă. Teorema de divizare descrie modul în care diferitele tipuri de câmp „se despart” pe măsură ce observatorul se îndepărtează de sursa de radiație, până când doar radiația de tip N rămâne la distanțe mari . O teoremă similară există în electromagnetism.

Exemple

Pentru unele soluții exacte ale ecuațiilor Einstein, tensorul Weyl are același tip în fiecare punct al lumii :

metrica Kerr în vid este de tip D ,
Spațiul Robinson-Trautman - tip III ,
undele pp sunt de tip N ,
metrica Friedman-Robertson-Walker este de tip O peste tot .

În general, un spațiu-timp arbitrar simetric sferic trebuie să fie algebric special și orice spațiu-timp static trebuie să fie de tip D.

Literatură

Din secțiunea de relativitate Arhivat 14 iulie 2007 pe Wayback Machine la World of Mathematical Equations -- EqWorld Arhivat 3 octombrie 2008 pe Wayback Machine :