Model euclidian conform

Modelul euclidian conform sau modelul Poincaré este un model al spațiului Lobachevsky.

Există varietăți ale modelului - într-un cerc ( proiecție stereografică ) și pe un semiplan pentru planimetria lui Lobachevsky , precum și într-o minge și, respectiv, în jumătate de spațiu - pentru stereometria lui Lobachevsky .

Modelul euclidian conform se remarcă prin faptul că în el colțurile sunt reprezentate prin unghiuri obișnuite, adică acest model este conform [1] , spre deosebire de modelul proiectiv , în care definirea unghiurilor este mult mai dificilă.

Istorie

Acest model a fost propus de Eugenio Beltrami , împreună cu modelul proiectiv și modelul pseudosferei . [2] Metrica din modelul euclidian conform se află și în celebra prelegere a lui Riemann „Despre ipotezele care stau la baza geometriei”, dar Beltrami a fost cel care a descoperit legătura cu geometria lui Lobachevsky. Ulterior, Henri Poincaré a descoperit conexiunile acestui model cu probleme din teoria funcțiilor unei variabile complexe , ceea ce a dat una dintre primele aplicații serioase ale geometriei lui Lobachevsky .

Modele într-un cerc și într-o minge

Planul Lobaciovski este considerat interiorul unui cerc (prezentat în ilustrație) în spațiul euclidian; limita unui cerc dat (cercul) se numește „absolut”. Rolul liniilor geodezice este îndeplinit de arcele de cerc cuprinse în acest cerc , perpendicular pe absolut, și diametrele acestuia; rolul mișcărilor îl reprezintă transformările obținute prin combinații de inversiuni față de cercuri ale căror arce servesc drept drepte. $(a,\;b,\;b')$

Metrica planului Lobachevsky în modelul euclidian conform în cercul unitar este: $ds$

ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2))}(dx^{2}+dy^{2} }),

unde și sunt axele absciselor și ordonatelor , respectiv [3] . $X$ $y$

În mod similar, pentru un model euclidian conform într-o minge , rolul absolutului este jucat de sfera limită în spațiul euclidian tridimensional, iar spațiul Lobachevsky este interiorul mingii.

Distanțe

În coordonatele complexe ale unui cerc unitar, distanțele pot fi calculate folosind următoarea formulă:

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {zw}{1-z\ cdot {\bar {w}}}}\right|.

Distanța poate fi exprimată în termeni de raport dublu . Dacă pe arc , punctele sunt situate în următoarea ordine: , , , atunci distanța dintre puncte și , în geometria Lobachevsky este egală cu $w_{1}$ $z_{1}$ $w_{1}$ $w$ $z$ $z_{1}$ $w$ $z$

d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}} {w-z_{1}}}\dreapta)

Modele semiplane și semispațiale

În modelul semiplan Poincare, semiplanul superior este considerat planul Lobachevsky . Linia dreaptă care delimitează semiplanul (adică axa absciselor) se numește „absolut”. Rolul dreptelor îl joacă semicercurile cuprinse în acest semiplan cu centrele pe absolut și razele perpendiculare pe acesta (adică razele verticale) începând de la absolut. Rolul mișcărilor îl reprezintă transformările obținute prin alcătuirea unui număr finit de inversiuni centrate pe simetriile absolute și axiale , ale căror axe sunt perpendiculare pe absolut.

Metrica plană Lobachevskii în modelul euclidian conform în semiplanul superior are forma: [3] , unde și sunt coordonate dreptunghiulare, respectiv paralele și perpendiculare pe absolut. $ds$ $ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$ $u$ $v$

În consecință, în modelul euclidian conform într-un semi-spațiu , rolul absolutului este jucat de un plan în spațiul euclidian tridimensional, iar spațiul Lobachevsky este semispațiul situat pe acest plan.

Vezi și

Teorema lui Pick este o formă invariantă a lemei Schwartz care utilizează distanțe în modelul euclidian conform.

Note

↑ Popov A.G. Suprafețe pseudosferice și unele probleme de fizică matematică . Preluat la 24 iulie 2007. Arhivat din original la 20 martie 2022. (nedefinit)
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
traducere: Beltrami E. Fundamentele teoriei spațiilor de curbură constantă. // Pe bazele geometriei: Colecție. - M. : GITTL, 1956. - S. 342-365 .
↑ 1 2 Buyalo S. V. Curs de curs „Geometria asimptotică a spațiilor metrice” primăvara 2004.

Literatură

Cernikov N. A. Transformarea Bogolyubov și planimetria Lobachevsky. Secțiunea 4, compararea a două modele Poincaré. (link indisponibil din 18-05-2013 [3446 zile] - istoric )
Samarov K., Uroev V. „Modelul Poincare”. — Revista Quantum. — 1984. - numărul 6.