Reprezentare co-atașată

Reprezentarea coadjunctă a unui grup Lie este reprezentarea conjugată la adjunct . Dacă este algebra Lie a grupului , acțiunea corespunzătoare asupra spațiului conjugat la se numește acțiune coajoantă . Din punct de vedere geometric, este acțiunea deplasărilor la stânga pe spațiul formelor 1 invariante la dreapta pe . $\mathrm {Anunț} ^{*}$ $G$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $G$

Importanța reprezentării coadjoint a fost subliniată în lucrările lui A. A. Kirillov , care a arătat că conceptul de orbită a reprezentării coadjoint (K-orbit) joacă un rol cheie în teoria reprezentării grupurilor Lie nilpotente . În metoda lui Kirillov a orbitelor , reprezentările sunt construite geometric, pornind de la K-orbite. Într-un fel, acestea din urmă înlocuiesc clasele de conjugație , care pot fi aranjate într-un mod complex, în timp ce lucrul cu orbite este relativ simplu. $G$ $G$ $G$

Definiție

Fie un grup Lie și algebra lui Lie, fie o reprezentare adjunctă a . Apoi reprezentarea coajoantă este definită ca . Mai precis, $G$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g))}$ $G$ $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Ad} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Ad} _{g^{-1}}\right)^{*}$

\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle , \qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

unde este valoarea funcționalei liniare pe vector . $\langle f,X\rangle$ $f$ $X$

Fie o reprezentare a algebrei Lie în indusă de reprezentarea coadjuvantă a grupului Lie . Atunci egalitatea este valabilă pentru , unde este reprezentarea adjunctă a algebrei Lie . Această concluzie poate fi trasă din forma infinitezimală a ecuației constitutive de mai sus pentru : $\mathrm {ad} ^{*}$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $G$ $X\in {\mathfrak {g)}$ $\mathrm {ad} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {ad} _{X}\right)^{*}$ $\mathrm {ad}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Anunț} ^{*}$

\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\ langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\ mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm { ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

unde este maparea exponențială de la la . $\exp$ $\mathfrak g$ $G$

Generatoare

Fie o funcție diferențiabilă pe . Luați în considerare schimbarea funcției sub acțiunea coajoantă a unui subgrup cu un parametru în direcția vectorului și diferențiați-o la identitatea grupului: $\varphi \in C^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\varphi$ $e^{tX}\subset G$ $X\in {\mathfrak {g)}$

\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\dreapta |_{t=0}=\langle \left.{\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0},\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =-\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\nabla _ {f}\varphi (f)\rangle =\langle f,\,\mathrm {ad} _{X}\nabla _{f}\varphi (f)\rangle .

(unu)

Aici este gradientul funcției , care este în mod natural identificat cu un element al algebrei . Să alegem o bază în algebră și să fie baza sa reciprocă în , adică , , unde este simbolul Kronecker . Alegem ca vector de bază . Atunci egalitatea ( 1 ) ia forma $\nabla _{f}\varphi$ $\varphi$ $\mathfrak{g}$ $\{e_{i}\}$ $\mathfrak{g}$ $\{e^{i}\}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\langle e_{i},\,e_{j}\rangle =\delta _{j}^{i)$ $i,j=1,...,\dim {\mathfrak {g)}$ $\delta^i_j$ $X$ $e_{i}$

{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{j))))

(aici și mai jos , însumarea este implicată de indicii repetați de două ori ), ceea ce arată că la baza generatoarelor acțiunii coadjuvante se poate alege un set de câmpuri vectoriale

{\hat {X}}_{i}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial }{\partial f_{j}}},\qquad i=1, ...,\dim {\mathfrak {g}}

unde sunt constantele structurale ale algebrei . $C_{ij}^{k)$ $\mathfrak{g}$

Invarianți

Invarianții ai acțiunii coadjoctive satisfac sistemul de ecuații diferențiale $K$

{\hat {X}}_{i}K\equiv C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{j}}}= 0,\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}.

(2)

Definim o formă biliniară antisimetrică prin intermediul egalității $B_{f}(X,\,Y)$ $\mathfrak{g}$

B_{f}(X,\,Y):=\langle f,\,[X,\,Y]\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g))

Numărul de ecuații independente din sistemul ( 2 ) este egal cu . Soluțiile sale într-o vecinătate a unui punct în poziție generală (adică punctul în care rangul formei este maxim) se numesc funcțiile Casimir ale algebrei . Numărul de funcții Casimir netriviale (nu identic constante) independente funcțional se numește indicele algebrei și este egal cu $\mathrm {rang} \,B_{f)$ $B_{f)$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {g}}-\sup \limits _{f\in {\mathfrak {g}}^{*}}\ mathrm {rang} \,B_{f}

Întrucât rangul formei antisimetrice este par, paritățile indicelui și dimensiunea algebrei coincid întotdeauna.

Pe lângă funcțiile Casimir , , definite în puncte din poziția generală a spațiului , pot exista invarianți definiți pe subvariete speciale de acțiune coajoantă, pe care rangul formei este mai mic decât maximul. Dacă pe o subvarietă specială invariantă rangul formei este , , atunci soluțiile neconstante ale sistemului ( 2 ) limitate la subvarietatea se numesc funcții Casimir de tip . Mulțimea funcțiilor independente stă la baza invarianților acțiunii coadjuvante: orice invariant poate fi exprimat în funcție de elementele acestei mulțimi. Din forma sistemului ( 2 ) rezultă că baza invarianţilor poate fi întotdeauna compusă din funcţii omogene ale componentelor covectorului . $K_{\mu }$ $\mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $B_{f)$ $M_{s}\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ $B_{f)$ $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $s=1,...,(\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2$ $K^{(s)}$ $Domnișoară$ $s$ ${\displaystyle \{K_{\mu},K_{\nu }^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind } \,{\mathfrak {g)))/2)}\))$ $f$

K-orbite

Orbita reprezentării coadjuvante sau, pe scurt, orbita K, care trece printr-un punct din spațiul dual al algebrei Lie , poate fi definită ca orbita lui , sau, echivalent, ca spațiu omogen , unde este stabilizatorul a punctului în raport cu acţiunea coajoantă a grupului . $\mathcal{O}$ $f$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} _{G}^{*}f\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ $G/\mathrm {Stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)\subset G$ $f$ $G$

Orbitele în poziție generală au dimensiunea maximă posibilă egală cu și sunt numite nedegenerate sau regulate . Astfel de orbite sunt definite în termenii unui set arbitrar de funcții Casimir independente prin ecuații $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$

K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu},\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g)).

În mod similar , orbitele de dimensiune degenerate , sau singulare , care constituie subvariete singulare invariante , sunt definite de ecuații $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $Domnișoară$

K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},

unde este numărul de funcții Casimir independente de tip . Dacă funcțiile Casimir sunt cu o singură valoare, fiecare set de constante corespunde unui număr numărabil (de regulă, finit) de orbite. Covectorii care aparțin unei orbite (ne)degenerate se mai numesc și ( non ) degenerați . $r_{s)$ $s$ $\kappa _{\mu }^{(s))$

Uniforma lui Kirillov

Orbitele reprezentării coadjuvante sunt subvariete de dimensiune pară și au o structură simplectică naturală . Fiecare orbită are o formă 2 închisă, nedegenerată -invariantă , care este construită după cum urmează. Fie forma biliniară antisimetrică definită mai sus pe . Apoi poate fi definit prin egalitate ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathcal{O}$ $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$ $B_{f)$ $\mathfrak{g}$ $\omega _{\mathcal {O}}\in \mathrm {Hom} (\Lambda ^{2}({\mathcal {O}}),\mathbb {R} )$

\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\mathrm {ad} _{Y}^{*}f):=B_{ f}(X,\,Y)

Existența, non-degenerarea și -invarianța rezultă din următoarele fapte: $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$

Spațiul tangent poate fi identificat cu , unde este algebra Lie a grupului . $T_{f}({\mathcal {O}})$ ${\mathfrak {g}}/\mathrm {înjunghiere} (f)$ $\mathrm {stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)$

Nucleul de afișare este exact . $B_{f)$ $\mathrm {stab} (f)$

$B_{f)$ invariant sub acţiune . $\mathrm {Stab} (f)$

De asemenea, formularul este închis . Forma canonică 2 se numește forma Kirillov , Kirillov- Kostant sau Kirillov-Kostant- Surio . $\omega _{\mathcal {O}}$ $\omega _{\mathcal {O}}$

K-orbita se numește întreg dacă forma Kirillov aparține clasei de coomologie a întregului, adică integrala sa pe orice ciclu bidimensional în este egală cu un număr întreg: $\mathcal{O}$ $\sigma$ $\mathcal{O}$

\int \limits _{\sigma }\omega _{\mathcal {O}}=n\in Z

Orbitele întregi joacă un rol central în construirea reprezentărilor ireductibile ale grupurilor Lie prin metoda orbitei.

Berezin bracket

Forma dotează spațiul cu structura unei varietăți Poisson cu un parantez Lie-Poisson $B_{f)$ ${\mathfrak {g}}^{*}$

\{\varphi,\,\psi \}_{LP}=B_{f}(\mathrm {d} \varphi,\,\mathrm {d} \psi )=C_{ij}^{k }f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{i))}{\frac {\partial \psi (f)}{\partial f_{j))},\qquad \varphi ,\psi \in C^{2}({\mathfrak {g}}^{*})

care este o paranteză Poisson degenerată : din forma generatoarelor de acțiuni coadjuvante este evident că funcțiile Casimir (și numai ele) comută în raport cu acesta cu orice funcție pe . Restrângerea acestei paranteze la orbitele reprezentării coadjuvante, numită paranteză Berezin [1] , este nedegenerată și coincide cu paranteza Poisson generată de forma Kirillov: ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\{\cdot ,\,\cdot \}_{\omega _{\mathcal {O}})$

\{\varphi,\,\psi \}_{\omega _{\mathcal {O}}}=\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {sgrad} \,\varphi,\ ,\mathrm {sgrad} \,\psi )=\left.\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}\right|_{\mathcal {O))

Aici este un câmp vectorial hamiltonian cu hamiltonianul . $\mathrm {sgrad} \,\varphi$ $\varphi$

Proprietățile orbitelor K

O acțiune coajoantă pe o orbită K este o acțiune hamiltoniană cu mapare a impulsului . $({\mathcal {O}},\omega _{\mathcal {O}})$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$
Dacă orbita are o polarizare , atunci încorporarea poate fi realizată prin funcţii liniare în variabile , unde sunt coordonatele canonice pentru forma Kirillov pe orbită . [2] [3] $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\i=1,...,\dim {\mathfrak {g)}$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $p$ $(q,\,p)$ $\mathcal{O}$

Exemple

Grup $E(2)$

Algebra Lie a grupului de mișcări ale planului euclidian este definită de relațiile de comutație ${\mathfrak {e}}(2)$ $E(2)$

[e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\, e_{3}]=-e_{1}

(elementele care fac naveta și corespund translațiilor planului în direcția a două axe de coordonate, iar elementul corespunde rotației în jurul unui punct; astfel, grupul este tridimensional). În consecință, matricea formei are forma $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{3}$ $E(2)$ $B_{f)$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}

Rangul său este egal cu doi peste tot, cu excepția liniei , care este o subvarietă specială invariantă a acțiunii coajoctive a grupului pe , deci orbitele K nedegenerate sunt bidimensionale. De către generatorii acestei acțiuni $f_{1}=f_{2}=0$ $M_{1}$ $E(2)$ ${\mathfrak {e}}(2)^{*}$

{\displaystyle {\hat {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{2}= -f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\partial }{\ parțial f_{1))}+f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{2))))

se scriu două ecuaţii independente

f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{3))}=-f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{1 ))}+f_{1}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{2))}=0,\qquad f_{1}^{2}+f_{2}^{2} \neq 0

definind o funcţie Casimir unică. Varietăți nesingulare ale nivelului său

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

fiecare dintre ele constă dintr-o orbită, sunt cilindri cu o axă comună . Varietatea de nivel singular ( ) coincide cu și este formată din orbite singulare (zero-dimensionale) , , . forma Kirillov $M_{1}$ $j=0$ $M_{1}$ $f_{1}=f_{2}=0$ $f_{3}=\kappa ^{(1))$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}

redusă la formă canonică în coordonate cilindrice, restrânsă la o orbită fixă : $\omega _{\mathcal {O}}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ $j=const$

f_{1}=j\cos q,\qquad f_{2}=j\sin q,\qquad f_{3}=p

Rețineți că trecerea la variabile canonice în acest caz este liniară în . Posibilitatea unei tranziții liniare în „momentum” este garantată de prezența în subalgebra bidimensională a translațiilor acoperite de vectorii , , care, datorită comutativității sale, este o polarizare pentru orice orbită K nedegenerată. $p$ $q$ $p$ ${\mathfrak {e}}(2)$ $e_{1}$ $e_{2}$

Grup $SO(3)$

$SO(3)$ este grupul (tridimensional) de rotații ale spațiului euclidian tridimensional. Relații de comutație în algebra sa Lie ${\mathfrak {deci}}(3)$

[e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2} },\,e_{3}]=e_{1}

(fiecare vector de bază corespunde unui generator de rotație într-unul din cele trei planuri reciproc perpendiculare) determinați forma matricei de formă : $B_{f)$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&f_{3}&-f_{2}\\-f_{3}&0&f_{1}\\f_{2}&-f_{1}&0 \end{pmatrix}}

Dintre cei trei generatori ai reprezentării coadjoctive în fiecare punct , doar doi sunt independenți liniar, deci orbitele nesingurale sunt bidimensionale. Sunt sfere concentrice $f\in {\mathfrak {so}}(3)^{*}\backslash \{0\}$

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

centrat la origine. O subvarietate specială constă dintr-un punct , deoarece numai în ea toate cele trei generatoare devin zero. $M_{1}$ $\{0\}$

Deoarece nu există subalgebre bidimensionale în algebră, atunci covectorii obișnuiți nu au polarizări; în consecință, încorporarea orbitelor regulate în spațiu nu poate fi realizată prin funcții care sunt liniare în variabile canonice pentru forma Kirillov. ${\mathfrak {deci}}(3)$ ${\mathfrak {deci}}(3)^{*}$ $p$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{3}}}

Cu toate acestea, există subalgebre bidimensionale (complexe) subordonate covectorilor nedegenerați în , complexificarea algebrei . De exemplu, pentru un covector, aceasta este subalgebra , astfel încât o astfel de încorporare este posibilă prin variabile care iau valori complexe: ${\mathfrak {deci}}(3)^{\mathbb {C}} }$ ${\mathfrak {deci}}(3)$ $j\,e^{3)$ $\{e_{1}+ie_{2},\,e_{3}\}$

f_{1}={\frac {i}{2}}\left(1-q^{2}\right)p+j\,q,\qquad f_{2}=-{\frac { 1}{2}}\left(1+q^{2}\right)p-ij\,q,\qquad f_{3}=-i\,q\,p+j,\qquad q,\ p \in \mathbb {C} ,\quad |p|\leqslant j

Este ușor de verificat că această transformare aduce cu adevărat forma la forma canonică. $\omega _{\mathcal {O}}$

Vezi și

Vedere atașată
Metoda orbitei Kirillov
Teorema Borel-Weyl-Bott
Formula de caracter a lui Kirillov

Literatură

A. A. Kirillov. Elemente de teoria reprezentării. - M. : Nauka, 1978. - 343 p.
Kirillov, AA, Prelegeri despre metoda orbitale , Studii postuniversitare în matematică , voi. 64, Societatea Americană de Matematică, ISBN 0821835300 , ISBN 978-0821835302

Note

↑ A. V. Borisov, I. S. Mamaev. Paranteze Dirac în geometrie și mecanică. În cartea: Dirac P. A. M. Prelegeri de fizică teoretică. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2001. - P. 191 - 230. - 240 p. — ISBN 5-93972-026-9 .
↑ S. P. Baranovsky, I. V. Shirokov. Deformații ale câmpurilor vectoriale și ale coordonatelor canonice pe orbitele reprezentării coadjuvante // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - iulie - august ( vol. 50 , nr. 4 ). - S. 737-745 . — ISSN 0037-4474 . (Rusă)
↑ Do Ngoc Diep. Straturi cuantice ale orbitelor coadjuvante (engleză) // arXiv.org. - 2000. - Mai. - P. 1-27 . — ISSN 2331-8422 .

Link -uri

Coadjoint Orbit (engleză) pe site-ul PlanetMath .