Curba de ordinul doi

Curba de ordinul doi - locul punctelor planului, ale cărui coordonate dreptunghiulare satisfac ecuația formei

a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

în care cel puţin unul dintre coeficienţi este diferit de zero. Astfel, o curbă de ordinul doi este un caz special al unei curbe algebrice . $a_{11},~a_{12},~a_{22}$

Istorie

Curbele de ordinul doi au fost studiate pentru prima dată de Menechmus , un student al lui Eudoxus [1] [2] . Lucrarea lui a fost următoarea: dacă luați două linii care se intersectează și le rotiți în jurul bisectoarei unghiului format de ele, obțineți o suprafață de con . Dacă intersectăm această suprafață cu un plan , atunci în secțiune se obțin diverse forme geometrice și anume elipsă , cerc , parabolă , hiperbolă și mai multe figuri degenerate (vezi mai jos).

Cu toate acestea, aceste cunoștințe științifice și-au găsit aplicație abia în secolul al XVII-lea, când a devenit cunoscut faptul că planetele se mișcă pe traiectorii eliptice, iar un proiectil de tun zboară de-a lungul unuia parabolic. Chiar și mai târziu s-a știut că dacă îi dai corpului prima viteză spațială , atunci se va mișca într- un cerc în jurul Pământului, cu o creștere a acestei viteze - de-a lungul unei elipse , când este atinsă a doua viteză spațială - de-a lungul unei parabole , și cu o viteză mai mare decât viteza spațială a doua - de-a lungul unei hiperbole .

Invarianți

Forma curbei depinde de patru invarianți :

invarianți sub rotație și deplasare a sistemului de coordonate :
- $I_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23} &a_{33}\end{vmatrix}}$ (denumit și ) $\Delta$
- $I_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{ 12}^{2}$ (denumit și ) $D$
- $I_{1}={\text{tr}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11} +a_{22}$ (denumit și ) $eu$
invariant în raport cu rotația sistemului de coordonate (semi-invariant):
- $K={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23} \\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}$ (denumit și ) $B$

Expresia întâlnită uneori „curba invariantă” este inexactă. Dacă înmulțim ecuația cu un număr k diferit de zero, obținem o ecuație care definește aceeași curbă. În acest caz, valorile invarianților se vor schimba. etc. $\Delta '=\Delta k^{3}, D'=Dk^{2}$

Clasificarea curbelor de ordinul doi în raport cu valorile invarianților

Curba	Ecuația	Invariante
Elipsă	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$I_{2}\neq 0$	$I_{2}>0$	$I_{1}I_{3}<0$
Punct (o pereche de linii imaginare care se intersectează)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$			$I_{3}=0$
elipsă imaginară	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$			$I_{1}I_{3}>0$
Hiperbolă	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$I_{2}<0$	$I_{3}\neq 0$
O pereche de linii care se intersectează	${\frac {x^{2}}{a^{2}}} -y^{2}=0$		$I_{2}<0$	$I_{3}=0$
Parabolă	$y^{2}=2px$	$I_{2}=0$		$I_{3}\neq 0$
Pereche de linii paralele	$x^{2}-d^{2}=0$			$I_{3}=0$	$K_{1}<0$
Drept	$x^2=0$				$K_{1}=0$
Pereche de linii paralele imaginare	$x^{2}+d^{2}=0$				$K_{1}>0$

Curbe nedegenerate

O curbă de ordinul doi se numește nedegenerată dacă pot apărea următoarele opțiuni: $\Delta\ne0.$

O curbă nedegenerată de ordinul doi se numește centrală dacă $D\nu=0$
- elipsa - prevazuta si ; $D>0$ $\Delta\cdot I<0$
  - un caz special al unei elipse – un cerc – cu condiţia ca sau $I^2=4D$ $a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;$
- elipsă imaginară (nu un singur punct real) – prevăzută și $D>0$ $\Delta\cdot I>0;$
- hiperbolă – prevăzută $D<0;$
O curbă nedegenerată de ordinul doi se numește necentrală dacă $D=0$
- parabolă – supusă $D=0.$

Curbe degenerate

O curbă de ordinul doi se numește degenerată dacă . Pot apărea următoarele opțiuni: $\Delta=0$

punct real la intersecția a două drepte imaginare ( elipsă degenerată ) - prevăzut $D>0;$
o pereche de linii reale care se intersectează ( hiperbolă degenerată ) - furnizate $D<0;$
parabolă degenerată – prevăzută $D=0:$
- o pereche de linii paralele reale - în condiția $B<0;$
- o linie reală (două linii paralele îmbinate ) - furnizată $B=0;$
- o pereche de drepte paralele imaginare (nu un singur punct real) - prevăzute $B>0.$

Forma pătratică caracteristică și ecuația caracteristică

Multe proprietăți importante ale curbelor de ordinul doi pot fi studiate folosind forma pătratică caracteristică corespunzătoare ecuației curbei

F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.

Deci, de exemplu, o curbă nedegenerată se dovedește a fi o elipsă reală , o elipsă imaginară , o hiperbolă sau o parabolă , în funcție de faptul că este o formă pătratică definită pozitivă, definită negativă, nedefinită sau semidefinită, care se stabilește prin rădăcinile ecuației caracteristice: $\left(\Delta\ne0\dreapta)$ $F_0(x,\,y)$

\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0

\lambda^2 - I\lambda + D = 0.

Rădăcinile acestei ecuații sunt valorile proprii ale matricei simetrice reale

\begin{pmatrix} a_{11} și a_{12} \\ a_{12} și a_{22} \end{pmatrix}

și, în consecință, sunt întotdeauna reale [3] .

Diametrele și centrul unei curbe de ordinul doi

Diametrul unei curbe de ordinul doi este locul punctelor mijlocii ale coardelor paralele ale acestei curbe. Diametrul obtinut in acest fel se numeste conjugatul acestor coarde sau directia lor. Diametrul conjugat la coardele care formează un unghi cu direcția pozitivă a axei Ox este determinat de ecuația: $\theta$

$\left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\right) \cos\theta + \left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\right) \ sin\theta = 0.$

Dacă condiția este îndeplinită, atunci toate diametrele curbei se intersectează într-un punct - centrul , iar curba în sine se numește centrală . În caz contrar ( ), toate diametrele curbei sunt fie paralele, fie aceleași. $D\ne0,$ $D=0$

Coordonatele centrului sunt determinate de sistemul de ecuații: $\left(x_0,\;y_0\right)$

$\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{cases}$

Rezolvarea acestui sistem cu privire la și obținerea: $x_{0}$ $y_0,$

$\begin{align} x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{13} și a_{12} \\ a_{23} și a_{22} \end{vmatrix} = \frac{ a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\ y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} și a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D} \end{align}\;\;\; (D\ne0).$

Dacă curba este centrală, atunci mutarea originii în centrul acesteia aduce ecuația la formă

$a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\ bara x = x - x_0,\;\;\;\bara y = y - y_0,$

unde sunt coordonatele relativ la noul sistem. $\bar x,\;\bar y$

Axele și vârfurile principale ale unei curbe de ordinul doi

Axa principală a unei curbe de ordinul doi este diametrul acesteia, perpendicular pe acordurile conjugate cu aceasta. Acest diametru este axa de simetrie a curbei. Fiecare curbă centrală fie are două axe reciproc perpendiculare, fie toate diametrele sunt axe principale. În acest din urmă caz, curba este un cerc. Curbele non-centrale au o singură axă principală. Punctele de intersecție ale axei principale cu curba însăși se numesc vârfuri . $\left(D\ne0\dreapta)$ $\stanga(D=0\dreapta)$

Cosinusurile de direcție ale normalelor la axele principale satisfac ecuațiile

$\begin{cases} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22 } - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{cases},$

unde este o rădăcină diferită de zero a ecuației caracteristice. Direcțiile axelor principale și acordurile lor conjugate se numesc direcțiile principale ale curbei. Unghiul dintre direcția pozitivă a axei Ox și fiecare dintre cele două direcții principale este dat de $\lambda$

$\operatorname{tg}2\phi = \operatorname{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.$

Dintre toate tipurile de curbe de ordinul doi, numai cercul are direcții principale nedefinite.

Ecuații

Ecuație generală sub formă de matrice

Ecuația generală a curbei poate fi scrisă sub formă de matrice

{\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0

x^{T}Ax=0

Forma canonică

Prin introducerea unui nou sistem de coordonate, se pot aduce ecuațiile curbelor de ordinul doi la forma canonică standard (vezi tabelul de mai sus). Parametrii ecuațiilor canonice sunt foarte simplu exprimați în termeni de invarianți ai ecuației originale a curbei și rădăcinile ecuației caracteristice (a se vedea secțiunea „Forma pătratică caracteristică și ecuația caracteristică” de mai sus). $\Delta,\;D,\;I$ $\lambda_1 \geqslant \lambda_2$

Cometariu. Când treceți la forma canonică a unei ecuații, poate fi necesar să înmulțiți ecuația cu un număr diferit de zero. Prin urmare, valorile numerice ale invarianților ecuației canonice pot diferi de valorile invarianților pentru ecuația originală. Semnele și rămân neschimbate . $\Delta \cdot I\;$ $D$

Pentru curba centrală în forma canonică, centrul acesteia este la origine. $\left(x_0,\;y_0\right)$

Prin excentricitate

Ecuația canonică a oricărei curbe nedegenerate de ordinul doi poate fi redusă la forma printr-o transformare adecvată a originii

$y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\ \ (p>0).$

În acest caz, curba trece prin originea noului sistem de coordonate, iar axa Ox este axa de simetrie a curbei. Această ecuație exprimă faptul că o curbă nedegenerată de ordinul doi este locul punctelor al căror raport de distanță ( excentricitate ) de la un punct dat ( focalizare ) și de la o dreaptă dată ( directrice ) este constant . În plus, pentru , curba este un cerc, pentru , o elipsă, pentru , o parabolă și pentru , o hiperbolă. $\varepsilon \geqslant 0$ $\varepsilon = 0$ $\varepsilon < 1$ $\varepsilon=1$ $\varepsilon > 1$

Ecuația pentru directricea unei curbe este exprimată prin ecuația și coordonatele focarului . Directricea este perpendiculară pe axa de simetrie care trece prin focar și prin vârful curbei ( axa focală ). Distanța dintre focalizare și directrice este $x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)},$ $x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y=0.$ $\frac{p}{\varepsilon}.$

Dacă curba de ordinul doi este centrală (elipsă sau hiperbolă), atunci linia dreaptă

$x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a$

este axa de simetrie și, prin urmare, curba are două focare și două directrice.

Parametrul se numește parametru focal și este egal cu jumătate din lungimea coardei prin focalizare și perpendicular pe axa focală (coarda focală ). $p$

Coordonatele polare

Dacă luăm focarul unei curbe nedegenerate de ordinul doi ca pol al sistemului de coordonate polare și axa sa de simetrie ca axă polară, atunci în coordonatele polare , ecuația curbei va arăta ca $\left(\rho,\phi\dreapta)$ $\rho$ $\phi$

$\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.$

O curbă definită de cele cinci puncte ale sale

O curbă de ordinul doi este complet determinată de cele cinci puncte ale sale dacă niciunul dintre ele nu se află pe aceeași linie dreaptă. Ecuația unei curbe care trece prin puncte și $\left(x_1, y_1 \right),$ $\left(x_2, y_2 \right),$ $\left(x_3, y_3 \right),$ $\left(x_4, y_4 \right)$ $\left(x_5, y_5\right):$

$\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

O curbă dată de cinci puncte degenerează dacă și numai dacă trei dintre punctele date se află pe aceeași linie dreaptă.

Tangente și normale

Ecuația tangentei la curba de ordinul doi în punctul său are forma: $f(x,y)$ $\left(x_1, y_1\right)$

$\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0.$

Ecuația normalei la o curbă de ordinul doi într-un punct are forma $\left(x_1, y_1\right)$

${\frac {x-x_{{1}}}{a_{{11}}x_{{1}}+a_{{12}}y_{{1}}+a_{{{13}}}}={ \frac {y-y_{{1}}}{a_{{12}}x_{{1}}+a_{{22}}y_{{1}}+a_{{23}}}}.$

Poli și polari

Ecuația

\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0

pe lângă tangentă definește o linie dreaptă, numită polară a unui punct în raport cu o curbă de ordinul doi, indiferent dacă acest punct se află sau nu pe curbă. Punctul se numește polul acestei linii. Polara unui punct al unei curbe este tangenta sa în acel punct. $\left(x_1, y_1\right)$ $\left(x_1, y_1\right)$

Teoreme despre poli și polari:

Dacă o linie dreaptă trasată prin pol intersectează polara într-un punct și o curbă de ordinul doi în puncte , apoi punctele și separă armonic segmentul , adică condiția $P,$ $Q,$ $R_{1}$ $R_2,$ $P$ $Q$ $R_1R_2,$
$\frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.$
Dacă un punct se află pe o anumită dreaptă, atunci polarul său trece prin polul acestei linii. Dacă o linie trece printr-un punct, atunci polul său se află pe polarul punctului respectiv.
Diametrul unei curbe de ordinul doi este polara punctului de la infinit prin care trec acordurile conjugate cu aceasta, iar centrul curbei este polul liniei de la infinit.
Focalizarea unei curbe este centrul unui creion care are proprietatea că polul oricăreia dintre liniile sale aparține liniei acestui creion perpendicular pe acesta. Regizorul este polarul focalizării.

Din aceste afirmații, în special, rezultă că:

dacă printr-un punct pot fi trase două tangente la curbă, atunci polara acestui punct trece prin punctele tangente;
tangentele la curba de la capetele diametrului sunt paralele cu coardele conjugate cu aceasta;
punctul de intersecție al tangentelor la curbă de la capetele oricăreia dintre coardele sale care trec prin focar se află pe directrice;
fiecare coardă care trece prin focar este perpendiculară pe linia trasată prin focarul său și pe punctul de intersecție al tangentelor de la capetele coardei.

Teoreme referitoare la curbele de ordinul doi

Teorema lui Pascal : punctele de intersecție ale laturilor opuse ale unui hexagon înscrise într-o curbă de ordinul doi se află pe aceeași linie .
Teorema lui Brianchon : Diagonalele care trec prin vârfuri opuse ale unui hexagon circumscris unei curbe de ordinul doi se intersectează într-un punct .

Vezi și

Link -uri

Ecuația generală a curbei de ordin al doilea arhivată la 30 ianuarie 2020 la Wayback Machine
Curbe de ordinul doi
Curbe de ordinul doi: hiperbola, parabola

Literatură

Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Capitolul II (Curbe de ordinul doi) // Geometrie. - M . : Nauka, 1990. - S. 32-57.
Akopyan A.V., Zaslavsky A.A. Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi. - M. : MNTsMO, 2007.
Prasolov V.V., Tikhomirov V.M. Geometrie. - M. : MNTsMO, 2007.
Korn G., Korn T. Curbe de ordinul doi (secțiuni conice) // Manual de matematică. - editia a 4-a. - M . : Nauka, 1978. - S. 64-69.

Note

↑ Rosenfeld B. A. Apollonius of Perga Arhivat 12 noiembrie 2015 la Wayback Machine . — M. : MTsNMO, 2004. — S. 32.
↑ John J. O'Connor și Edmund F. Robertson . Menaechmus (engleză) este o biografie din arhiva MacTutor .
↑ Korn G., Korn T. 2.4-5. Forma pătratică caracteristică și ecuația caracteristică // Manual de matematică. - editia a 4-a. - M . : Nauka, 1978. - S. 64.