Douăzeci și patru de celule cu nasul moale

Douăzeci și patru de celule cu nasul moale
Proiecție ortogonală în spațiul tridimensional - pe un hiperplan care trece printr-o celulă icosaedrică
Tip de	Uniform multicell
Simbolul Schläfli	s{3,4,3} sr{3,3,4} s{3 1,1,1 }
celule	144
chipuri	480
coaste	432
Vârfurile	96
Figura de vârf	Icosaedru tăiat triplu

Un cu douăzeci și patru de celule cu nasul moale este un poliedru cu patru dimensiuni , unul dintre cele 47 multi-celule omogene convexe neprismatice și una dintre cele 3 multi-celule semiregulate (deoarece este compus din două diferite tipuri de solide platonice ).

A fost descrisă pentru prima dată într-o lucrare din 1900 de Thorold Gosset [1] , care a numit policelula tetricozaedric deoarece celulele sale sunt tetraedre și icosaedre. Cunoscut și sub denumirea de icositetrachore cu nasul snub, polioctaedru semi-snub ( ing. polioctaedru semi-snub ) [2] .

Descriere

Limitat la 144 de celule tridimensionale - 120 de tetraedre regulate și 24 de icosaedre regulate . Fiecare celulă icosaedrică este înconjurată de opt icosaedrici și douăsprezece tetraedrici. Celulele tetraedrice sunt împărțite în două grupe: 24 dintre ele sunt înconjurate de patru celule tetraedrice, restul de 96 sunt înconjurate de trei celule icosaedrice și o celulă tetraedrice.

Cele 480 de fețe bidimensionale ale sale sunt triunghiuri regulate identice . 96 de fețe separă două celule icosaedrice, 96 de fețe separă două celule tetraedrice, restul de 288 — icosaedrice și tetraedrice.

Are 432 de coaste de lungime egală. Trei fețe și trei celule fiecare (două icosaedrice și una tetraedrice) converg pe 288 de muchii, patru fețe și patru celule fiecare (icosaedrice și trei tetraedrice) converg pe restul de 144 de muchii.

Are 96 de vârfuri. Fiecare vârf are 9 muchii, 15 fețe și 8 celule (trei icosaedrice și cinci tetraedrice).

Dintr-o celulă șase sute se poate obține o celulă de douăzeci și patru cu nasul moale prin tăierea a 24 de piramide icosaedrice din aceea - astfel încât să rămână doar bazele lor. Vârfurile celulei multiple rezultate sunt 96 din cele 120 de vârfuri ale celor șase sute de celule (și cele 24 de vârfuri îndepărtate formează vârfurile celor douăzeci și patru de celule obișnuite ); coaste - 432 din 720 de coaste ale unei celule de șase sute; fețe - 480 din cele 1200 de fețe ale unei celule șase sute. Din aceasta rezultă clar că celula cu douăzeci și patru cu nasul moale are, de asemenea, o hipersfere tridimensionale circumscrise și ambele semi-inscrise și coincid cu hipersferele circumscrise și semi-înscrise ale celor șase sute de celule originale.

În coordonate

O celulă de douăzeci și patru cu o lungime de margine poate fi plasată într-un sistem de coordonate carteziene, astfel încât coordonatele vârfurilor sale să fie toate posibile permutări chiar și ale unor seturi de numere unde este raportul raportului de aur . $2$ $\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;\pm \Phi ^{2}\right),$ $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

În acest caz, originea coordonatelor va fi centrul de simetrie al multicelulei, precum și centrul hipersferelor sale circumscrise și semi-înscrise. $\left(0;\;0;\;0;\;0\right)$

Proiectii ortogonale pe un plan

Caracteristici metrice

Dacă o celulă de douăzeci și patru cu nasul moale are o margine a lungimii, atunci hipervolumul ei cu patru dimensiuni și, respectiv, hiperaria suprafeței tridimensionale sunt exprimate ca $A,$

V_{4}=5\left({\frac {9}{4}}+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\aprox 22{,}4303399a^{4},

S_{3}=10\left(3+{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\aprox 66{,}5028154a^{3}.

Raza hipersferei descrise (care trece prin toate vârfurile multicelulei) va fi atunci egală cu

R=\Phi a={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\aprox 1{,}6180340a,

raza hipersferei semi-înscrise exterioare (atingând toate marginile la mijlocul lor) -

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\aprox 1{,}5388418a,

raza hipersferei interioare semi-înscrise (atingând toate fețele în centrele lor) —

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\aprox 1{,}5115226a .

Este imposibil să potriviți o hipersferă într-o celulă de douăzeci și patru cu nasul moale, astfel încât să atingă toate celulele. Raza celei mai mari hipersfere care poate fi plasată în interiorul unei celule de douăzeci și patru cu o margine (va atinge doar toate celulele icosaedrice din centrul lor) este $A$

r_{I}={\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\aprox 1{,}3090170a.

Distanța de la centrul multicelulei până la orice celulă tetraedrică depășește și este egală cu $r_{I)$

r_{T}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}\right)a\aprox 1{,}4976762a.

Umplerea spațiului

Cu douăzeci și patru de celule, șaisprezece celule și cinci celule , puteți plasa un spațiu cu patru dimensiuni fără goluri și suprapuneri (vezi articolul din Wikipedia în engleză). Această umplutură a fost găsită și de Thorold Gosset.

Note

↑ Thorold Gosset. Despre figurile regulate și semi-regulare în spațiul de n dimensiuni. — Mesagerul matematicii, vol. 29. - Macmillan, 1900. - pp. 43-48.
↑ John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Simetriile lucrurilor. - 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 . — p. 401.

Link -uri

George Olşevski. Tipărire #11: Rețea de icositetrachoron snub