Icosaedru regulat

Icosaedru regulat
( model rotativ )
Tip de	poliedru regulat
Combinatorică
Elemente	20 fețe 30 muchii 12 vârfuri X  = 2
Fațete	triunghiuri regulate
Configurația vârfurilor	3.3.3.3.3
Poliedru dublu	dodecaedru regulat
Figura de vârf
Scanează
Clasificare
Notaţie	eu SF
Simbolul Schläfli	{3,5}
Simbol Wythoff	5 | 2 3
Diagrama Dynkin
Grupul de simetrie
Grup de rotație
date cantitative
Lungimea aripioarelor
Suprafață
Volum
Unghi diedru
Unghi solid la vârf	mier
Fișiere media la Wikimedia Commons

Icosaedrul regulat (din altă greacă εἴκοσι „douăzeci”; ἕδρον „ședință”, „bază”) este un poliedru convex regulat, cu douăzeci de laturi [1] , unul dintre solidele platonice . Fiecare dintre cele 20 de fețe este un triunghi echilateral . Numărul de muchii este 30, numărul de vârfuri este 12. Icosaedrul are 59 de stelări .

Istorie

Euclid din Propunerea 16 din Cartea XIII a „ Începuturilor ” este angajat în construcția unui icosaedru, obținând mai întâi două pentagoane regulate situate în două plane paralele  - din cele zece vârfuri ale sale, iar apoi - celelalte două vârfuri opuse unul altuia [2] ] [3] :127-131 . Pappus din Alexandria din „Colecția Matematică” este angajat în construirea unui icosaedru înscris într-o sferă dată , dovedind pe parcurs că cele douăsprezece vârfuri ale sale se află în patru plane paralele, formând în ele patru triunghiuri regulate [3] :315-316. [4] .

Formule de bază

Aria suprafeței S , volumul V al unui icosaedru cu lungimea muchiei a , precum și razele sferelor înscrise și circumscrise se calculează prin formulele:

Pătrat:

Volum:

Raza sferei înscrise [5] :

Raza unei sfere semiinscrise este [5]

Raza sferei circumscrise [5] :

Proprietăți

• Unghiul diedric dintre oricare două fețe adiacente ale unui icosaedru este arccos(-√5/3) = 138,189685°.
• Toate cele douăsprezece vârfuri ale icosaedrului se află trei în patru plane paralele , formând un triunghi regulat în fiecare dintre ele .
• Zece vârfuri ale icosaedrului se află în două plane paralele, formând în ele două pentagoane regulate , iar celelalte două sunt opuse unul altuia și se află la cele două capete ale diametrului sferei circumscrise, perpendiculare pe aceste plane. Distanța dintre perechile simetrice ale planurilor menționate mai sus formate din cele cinci vârfuri este egală cu raza cercului descris în jurul acestui pentagon. /această regulă face destul de ușor să creezi un model 3D al unui icosaedru obișnuit/.
• Unghiul dintre cele mai apropiate două vârfuri față de centrul corpului icosaedrului ar trebui numit unghi icosaedric ≈ 63,434949°
• Suporturile unghiulare icosaedrice – au simetrie icosaedrică.
• Unghiul icosaedric este absolut identic=egal cu unghiul diagonalei cu latura mai mică a dreptunghiului dublat (a=n; b=2n) /această regulă este aplicabilă pentru a crea un model 3D al unui icosaedru regulat/.
• Un icosaedru poate fi înscris într-un cub , în ​​timp ce șase muchii reciproc perpendiculare ale icosaedrului vor fi situate, respectiv, pe șase fețe ale cubului, restul de 24 de muchii din interiorul cubului, toate cele douăsprezece vârfuri ale icosaedrului vor fi situate pe șase fețe ale cubului.
• Un tetraedru poate fi înscris într-un icosaedru , astfel încât cele patru vârfuri ale tetraedrului să fie aliniate cu cele patru vârfuri ale icosaedrului.
• Un icosaedru poate fi înscris într-un dodecaedru , cu vârfurile icosaedrului aliniate cu centrele fețelor dodecaedrului.
• Un dodecaedru poate fi înscris într-un icosaedru cu vârfurile dodecaedrului și centrele fețelor icosaedrului aliniate.
• Puteți asambla modelul icosaedrului folosind 20 de triunghiuri echilaterale.
• Este imposibil să asamblați un icosaedru din tetraedre obișnuite, deoarece raza sferei circumscrise în jurul icosaedrului și, respectiv, lungimea marginii laterale (de la vârf la centrul unui astfel de ansamblu) a tetraedrului este mai mică decât marginea icosaedrului propriu-zis. Tetraedrele, obținute prin împărțirea icosaedrului, au un unghi de suprafață de 60 °, iar cel intern (față de centrul corpului icosaedrului) are un unghi icosaedric de aproximativ 63,434949 °

Icosaedru trunchiat

Icosaedrul trunchiat  este un poliedru format din 12 pentagoane regulate și 20 de hexagoane regulate. Are o simetrie de tip icosaedric. De fapt, o minge de fotbal clasică nu are forma unei mingi, ci a unui icosaedru trunchiat cu fețe convexe (sferice).

Un icosaedru trunchiat poate fi obținut prin tăierea a 12 vârfuri pentru a forma fețe regulate pentagonului. În același timp, numărul de vârfuri ale noului poliedru crește de 5 ori (12×5=60), 20 de fețe triunghiulare se transformă în hexagoane regulate (numărul total de fețe devine 20+12=32), iar numărul de muchii crește la 30+12×5=90.

În lume

• Icosaedrul este cel mai bun dintre toate poliedrele regulate pentru triangularea sferei prin metoda partiționării recursive [6] . Deoarece conține cel mai mare număr de fețe dintre ele, distorsiunea triunghiurilor rezultate față de cele corecte este minimă.
• Icosaedrul este folosit ca zar în jocurile de rol de masă și este desemnat d20 (zaruri - oase).

Solide sub formă de icosaedru

• Capside ale multor virusuri (de exemplu , bacteriofagi , mimivirus ).

Vezi și

• poliedru stelar

Note

1. ↑ Selivanov D. F. ,. Corp geometric // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron  : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
2. ↑ Elementele lui Euclid, Cartea XIII, Propunerea 16 . Preluat la 3 septembrie 2014. Arhivat din original la 30 august 2014. (nedefinit)
3. ↑ 1 2 Elementele lui Euclid. Cărțile XI-XV . - M. - L .: Editura de Stat de Literatură Tehnică și Teoretică, 1950.  - Pe lângă traducerea în rusă a operei lui Euclid, această ediție în comentarii conține și o traducere a propunerilor lui Pappus asupra poliedrelor obișnuite.
4. ↑ Text original în greacă veche cu traducere paralelă în latină : Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - Vol. I.—P. 150-157.
5. ↑ 1 2 3 Dovada în: Cobb, John W. The Icosahedron  ( 2005-2007). Preluat la 3 septembrie 2014. Arhivat din original la 4 mai 2016.
6. ↑ OpenGL Red Book Ch.2 Arhivat 8 ianuarie 2015.

Literatură

• Klein F. Prelegeri despre icosaedrul și soluția ecuațiilor de gradul cinci / F. Klein; pe. cu el. A. L. Gorodentsev, A. A. Kirillov, roșu. A. N. Tyurin. — M .: Nauka , 1989. — 332 p. — ISBN 5020141976 .