Pachet local trivial

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 iulie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Un pachet trivial la nivel local este un pachet care arată local ca un produs direct al .

Definiție

Fie , și spații topologice . O mapare surjectivă continuă se numește mănunchi local trivial al unui spațiu peste o bază cu fibră dacă pentru orice punct al bazei există o vecinătate peste care fasciculul este trivial . Acesta din urmă înseamnă că există un homeomorfism astfel încât diagrama este comutativă $E$ $B$ $F$ $\pi \colon E\la B$ $E$ $B$ $F$ $x\în B$ $U\subset B$ $\phi \colon \pi ^{{-1}}(U)\to U\times F$

Iată proiecția produsului de spații pe primul factor. ${\mathrm {proj_{1}}}:\,U\ori F\la U$

Spațiul se mai numește și spațiul total al pachetului sau spațiul pachetului . $E$

Definiții înrudite

O secțiune a unui pachet este o mapare astfel încât . În general, nu fiecare pachet are o secțiune. De exemplu, fie o varietate și un subgrup de vectori de lungime unitară în pachetul tangent . Atunci secțiunea pachetului este un câmp vectorial fără zerouri pe . Teorema pieptănării ariciului arată că un astfel de câmp nu există pe o sferă. $s:B\la E$ $\pi \circ s={\mathrm {id}}_{B}$ $M$ $E\la M$ $TM$ $E$ $M$
Setul se numește fibra mănunchiului peste punctul . Fiecare fibră este homeomorfă spațiului , așa că spațiul se numește fibra generală (sau model) a fasciculului , $F_{x}=\pi ^{{-1}}\{x\}$ $\pi$ $x\în B$ $F$ $F$ $\pi$
Un homeomorfism care identifică restricția unui pachet peste o vecinătate a unui punct cu un pachet trivial se numește trivializarea locală a mănunchiului peste o vecinătate a unui punct . $\varphi$ $\pi$ $X$ $\pi$ $X$
Dacă este o acoperire a bazei cu mulțimi deschise și sunt mapările de trivializare corespunzătoare, atunci familia se numește atlasul de trivializare al pachetului . $\{U_{{\alpha }}\}$ $B$ $\varphi _{{\alpha }}:\pi ^{{-1}}(U_{{\alpha }})\to U_{{\alpha }}\times F$ $\{(U_{{\alpha )),\varphi _{{\alpha )))\}$ $\pi :E\la B$
Să presupunem că o fibrație locală trivială este prevăzută cu o acoperire de bază cu trivializare distinsă și restricția oricărei mapări de comparație la o fibră aparține unui subgrup al grupului tuturor automorfismelor . Apoi se numește un pachet trivial local cu grup de structură . $\pi :E\la B$ $\{U_{\alpha }\}$ $B$ $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })$ $\phi _{\alpha }^{{-1}}\circ \phi _{\beta }$ $G$ $F$ $\pi$ $G$

Exemple

Pachet trivial, adică proiecția pe primul factor. $B\ori F\la B$
Orice acoperire este o fibrație local trivială cu o fibră discretă.
Mănunchiurile tangente , cotangente și tensorale peste o varietate arbitrară sunt triviale la nivel local.
Dacă este un grup topologic și este subgrupul său închis, iar factorizarea are secțiuni locale, atunci este un fascicul de fibre ( Steenrod 1951 , §7). $G$ $H$ $\pi:G\to G/H$ $\pi$ $H$
Fâșia Möbius este spațiul unei fibrații non-triviale peste un cerc.
Pachetul Hopf este un pachet non-trivial . Nu are secțiuni, deoarece este un pachet principal cu grup de structură și orice pachet principal care admite o secțiune este trivial. $S^{3}\la S^{2}=S^{3}/S^{1}$ $U(1)$
Un pachet poate fi construit prin specificarea arbitrară a bazei (spațiul ), a fibrei comune (spațiul ) și a hărților de tranziție (Cech 1-cociclu ) pentru o acoperire deschisă a spațiului . Atunci spațiul E poate fi obținut formal ca un set de triple ale formei cu regula de identificare: $B$ $F$ $\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}$ $B$ $\{(\alpha,x,f_{{\alpha }}):\,x\in U_{{\alpha }}),\,f_{{\alpha }}\in F\}$

(\alpha,x,f_{{\alpha }})=(\beta,x,f_{{\beta }})

, dacă

f_{{\beta }}=u_{{\beta \alpha }}f_{{\alpha }}

Proprietăți

Pentru pachetele locale triviale , teorema de homotopie de acoperire este valabilă . Fie — să fie un pachet trivial local, hărți și , deci , și o homotopie de cartografiere (adică ). Apoi există o homotopie de mapare astfel încât , adică următoarea diagramă este comutativă $\pi :E\la B$ $g\colon M\la B$ $f\colon M\la E$ $g=\pi \circ f$ ${\tilde g}\colon M\times [0;1]\la B$ $g$ ${\tilde g}(m,0)=g(m)$ ${\tilde f}\colon M\times [0;1]\la E$ $f$ ${\tilde {g}}=\pi \circ {\tilde {f}}$ ${\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {{\tilde f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde g}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrice}}$
Să existe un pachet de fibre local trivial ( uneori scris formal ca ). Atunci succesiunea grupurilor de homotopie este exactă : $E\la B$ $F$ $F\la E\la B$

\dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)

Hărțile de tranziție satisfac condiția Cech 1-cociclu :

Dacă , atunci .

x\in U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\cap U_{{\gamma }}

u_{{\beta \alpha }}(x)=u_{{\beta \gamma }}(x)\circ u_{{\gamma \alpha }}(x)

Două fascicule peste aceeași bază și cu aceeași fibră sunt izomorfe dacă și numai dacă 1-cociclurile Cech corespunzătoare acestora sunt coomologice. (Rețineți că, în cazul în care grupul este necomutativ, coomologia unidimensională nu formează un grup , ci formează o mulțime pe care acționează grupul de colanțuri Cech 0 (în stânga) : ${\mathrm {Aut}}\,F$ $H^{1}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $C^{0}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $u_{{\alpha \beta }}'(x)=f_{{\alpha }}(x)\circ u_{{\alpha \beta }}(x)\circ f_{{\beta }}(x) ^{{-1}}$ ,

unde este colanțul Cech 0 care acționează asupra cociclului 1 Cech . Se spune că 1-cociclurile sunt coomologice dacă se află pe aceeași orbită a acestei acțiuni.)

\{f_{{\alpha }}:U_{{\alpha }}\la {\mathrm {Aut}}\,F\}

\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}

Pentru orice pachet trivial local și mapare continuă, pachetul indus este trivial local. $\pi :X\la B$ $f:B'\la B$ $f^{*}(\pi )$

Variații și generalizări

Pachetele triviale la nivel local sunt un caz special
- fasciculele Gurevici și
- Fibrații Serre .

Dacă spațiile sunt varietăți netede (diferențiabile) , maparea este netedă și admite un atlas de banalizare cu mapări de trivializare netede, atunci pachetul în sine se numește pachet neted . $E,B,F$ $\pi$
Un pachet se numește holomorf dacă spațiile sunt varietăți complexe, maparea este holomorfă și există un atlas de banalizare cu mapări de trivializare holomorfă. $E,B,F$ $\pi$
Pachetul principal .

Vezi și

Teoria Yang-Mills

Literatură

Vasiliev V. A. Introducere în topologie. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Steenrod, Norman (1951), Topologia fasciculelor de fibre , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0