Pachet local trivial
Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de
versiunea revizuită la 9 iulie 2021; verificarea necesită
1 editare .
Un pachet trivial la nivel local este un pachet care arată local ca un produs direct al .
Definiție
Fie , și spații topologice .
O mapare surjectivă continuă se numește mănunchi local trivial al unui spațiu
peste o bază
cu fibră dacă pentru orice punct al bazei există o vecinătate peste care fasciculul este trivial . Acesta din urmă înseamnă că există un homeomorfism astfel încât diagrama este comutativă![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\pi \colon E\la B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188864d353771fd8e24d463c5946edd7db679f8e)
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
.
Iată proiecția produsului de spații pe primul factor.
![{\mathrm {proj_{1}}}:\,U\ori F\la U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80156073abb0b80b9c54010229d743e5e0da9130)
Spațiul se mai numește și spațiul total al pachetului sau spațiul pachetului .
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
Definiții înrudite
- O secțiune a unui pachet este o mapare astfel încât . În general, nu fiecare pachet are o secțiune. De exemplu, fie o varietate și un subgrup de vectori de lungime unitară în pachetul tangent . Atunci secțiunea pachetului este un câmp vectorial fără zerouri pe . Teorema pieptănării ariciului arată că un astfel de câmp nu există pe o sferă.
![s:B\la E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ec42e0e916dd583a94f99c315d21ff43c2fd91)
![\pi \circ s={\mathrm {id}}_{B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa4f713a617419c4f8760a585a696a71a739c18)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![TM](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea000afb5769206ddd5fd43f458430d04422ddeb)
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- Setul se numește fibra mănunchiului peste punctul . Fiecare fibră este homeomorfă spațiului , așa că spațiul se numește fibra generală (sau model) a fasciculului ,
![F_{x}=\pi ^{{-1}}\{x\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f8a6b0eccbcb9d16cd84ac2831dc1ffb75cfd4)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
![x\în B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aac01724708de4e1d41423bc64b35e9d94c9009)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
- Un homeomorfism care identifică restricția unui pachet peste o vecinătate a unui punct cu un pachet trivial se numește trivializarea locală a mănunchiului peste o vecinătate a unui punct .
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
- Dacă este o acoperire a bazei cu mulțimi deschise și sunt mapările de trivializare corespunzătoare, atunci familia se numește atlasul de trivializare al pachetului .
![\{U_{{\alpha }}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681f8e25b4f4a48037221f84af293974138ee1c5)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\varphi _{{\alpha }}:\pi ^{{-1}}(U_{{\alpha }})\to U_{{\alpha }}\times F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47c1ff0de85235c32e406126d3accccec426e5b)
![\{(U_{{\alpha )),\varphi _{{\alpha )))\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7374f89a55386d6b8797a91fd92a71880a347e84)
![\pi :E\la B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b6680121ed6dbd1f69c871093712b1de5bd4ac)
- Să presupunem că o fibrație locală trivială este prevăzută cu o acoperire de bază cu trivializare distinsă și restricția oricărei mapări de comparație la o fibră aparține unui subgrup al grupului tuturor automorfismelor . Apoi se numește un pachet trivial local cu grup de structură .
![\pi :E\la B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b6680121ed6dbd1f69c871093712b1de5bd4ac)
![\{U_{\alpha }\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681f8e25b4f4a48037221f84af293974138ee1c5)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006685a411646deace37da89f0b38dfe2392edd6)
![\phi _{\alpha }^{{-1}}\circ \phi _{\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e4941bbed48f60b957fbb8d3d27c4c01e6be81)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Exemple
- Pachet trivial, adică proiecția pe primul factor.
![B\ori F\la B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c2a0cc9375643d65fbedef8b325108ed103d15)
- Orice acoperire este o fibrație local trivială cu o fibră discretă.
- Mănunchiurile tangente , cotangente și tensorale peste o varietate arbitrară sunt triviale la nivel local.
- Dacă este un grup topologic și este subgrupul său închis, iar factorizarea are secțiuni locale, atunci este un fascicul de fibre ( Steenrod 1951 , §7).
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
![{\displaystyle \pi:G\to G/H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f882e309ca7251052f39ff2bf96bf09e26899a0a)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
- Fâșia Möbius este spațiul unei fibrații non-triviale peste un cerc.
- Pachetul Hopf este un pachet non-trivial . Nu are secțiuni, deoarece este un pachet principal cu grup de structură și orice pachet principal care admite o secțiune este trivial.
![S^{3}\la S^{2}=S^{3}/S^{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c89ab4d3f49e107d49e11551b463dcbac7a370)
![U(1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62b00d74ee0cefb86cc052365625abff56d43e6)
- Un pachet poate fi construit prin specificarea arbitrară a bazei (spațiul ), a fibrei comune (spațiul ) și a hărților de tranziție (Cech 1-cociclu ) pentru o acoperire deschisă a spațiului . Atunci spațiul E poate fi obținut formal ca un set de triple ale formei cu regula de identificare:
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d34421f3757f04f11cc7e7ca040d8b6270cb98)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\{(\alpha,x,f_{{\alpha }}):\,x\in U_{{\alpha }}),\,f_{{\alpha }}\in F\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35604eec21ff2eee54a4053627fac163a0c22bf5)
![(\alpha,x,f_{{\alpha }})=(\beta,x,f_{{\beta }})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b4bb602e023406f9b30253516450a7708544e3)
, dacă
Proprietăți
- Pentru pachetele locale triviale , teorema de homotopie de acoperire este valabilă . Fie — să fie un pachet trivial local, hărți și , deci , și o homotopie de cartografiere (adică ). Apoi există o homotopie de mapare astfel încât , adică următoarea diagramă este comutativă
![\pi :E\la B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b6680121ed6dbd1f69c871093712b1de5bd4ac)
![{\displaystyle g\colon M\la B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa20c42ed7391bcbbf345317456e37b3f5e743d6)
![{\displaystyle f\colon M\la E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546c4484a7ea6a17437cb845a748eb553337754a)
![{\displaystyle g=\pi \circ f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03886d53a83cf35062bb22855ad44e7001179d57)
![{\tilde g}\colon M\times [0;1]\la B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5bb1819097f4c25da54bb555a7672b1cf6ce76)
![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
![{\tilde g}(m,0)=g(m)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa8d4245d126fe88235cce43cd1c5681016d10b)
![{\tilde f}\colon M\times [0;1]\la E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcba9e26b44e19e5a65f92062ad0603758a4e120)
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![{\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {{\tilde f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde g}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrice}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88127bc0c24b514015f57ff09f16ceba053e25ff)
- Să existe un pachet de fibre local trivial ( uneori scris formal ca ). Atunci succesiunea grupurilor de homotopie este exactă :
![E\la B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10db76bf8b1d965e8dceae2c308bb1db52f503c4)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
Dacă , atunci .
![x\in U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\cap U_{{\gamma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc310d2da6bec37131977297b5ad74fd0ce6162)
- Două fascicule peste aceeași bază și cu aceeași fibră sunt izomorfe dacă și numai dacă 1-cociclurile Cech corespunzătoare acestora sunt coomologice. (Rețineți că, în cazul în care grupul este necomutativ, coomologia unidimensională nu formează un grup , ci formează o mulțime pe care acționează grupul de colanțuri Cech 0 (în stânga) :
![H^{1}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf1a170ae33d6838dc06daec81b0c840a984541)
![C^{0}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23aeaba662faeee98e1be12faa9d28a77a3e05f)
,
unde este colanțul Cech 0 care acționează asupra cociclului 1 Cech . Se spune că 1-cociclurile sunt coomologice dacă se află pe aceeași orbită a acestei acțiuni.)
![\{f_{{\alpha }}:U_{{\alpha }}\la {\mathrm {Aut}}\,F\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0caaf0ab72aee2e5158b4c3bb73bb1f5cad7ad)
- Pentru orice pachet trivial local și mapare continuă, pachetul indus este trivial local.
![\pi :X\la B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1990c0f1abe342a575aafb0aa654a14c08958e4c)
![f^{*}(\pi )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a68ed5ebc6298880cde5b6fd95fa98d9ea6a334)
Variații și generalizări
- Pachetele triviale la nivel local sunt un caz special
- Dacă spațiile sunt varietăți netede (diferențiabile) , maparea este netedă și admite un atlas de banalizare cu mapări de trivializare netede, atunci pachetul în sine se numește pachet neted .
![E,B,F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe3c1a307b5b79c9cd2664cb0032d5254a90a1b)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
- Un pachet se numește holomorf dacă spațiile sunt varietăți complexe, maparea este holomorfă și există un atlas de banalizare cu mapări de trivializare holomorfă.
![E,B,F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe3c1a307b5b79c9cd2664cb0032d5254a90a1b)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
- Pachetul principal .
Vezi și
Literatură
- Vasiliev V. A. Introducere în topologie. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
- Steenrod, Norman (1951), Topologia fasciculelor de fibre , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0