Fâșia Mobius

Banda Möbius ( banda Möbius , bucla Möbius ) este un obiect topologic , cea mai simplă suprafață neorientabilă cu o limită, unilaterală atunci când este încorporată în spațiul euclidian tridimensional obișnuit . $\mathbb {R} ^{3}$

Se crede că banda Möbius a fost descoperită independent de matematicienii germani August Ferdinand Möbius și Johann Benedict Listing în 1858, deși o structură similară este descrisă pe un mozaic roman din secolul al III-lea d.Hr. [1] [2] .

Un model de bandă Mobius poate fi realizat cu ușurință: trebuie să luați o bandă de hârtie suficient de lungă și să lipiți capetele opuse ale benzii într-un inel, răsturnând mai întâi una dintre ele. În spațiul euclidian tridimensional , există două tipuri de benzi Möbius, în funcție de direcția de răsucire: dreapta și stânga.

Caracteristica Euler a unei benzi Möbius este zero.

Ecuații

O modalitate de a reprezenta o bandă Möbius ca submulțime este prin parametrizare: $\mathbb {R} ^{3}$

x\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,

y\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,

z\left(u,v\right)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},

unde si . Aceste formule definesc o bandă Möbius cu lățimea 1, al cărei cerc central are raza 1, se află într-un plan centrat pe . Parametrul rulează de-a lungul benzii și setează distanța de la margine. $0\leqslant u<2\pi$ $-1\leqslant v\leqslant 1$ $X y$ $\left(0,\;0,\;0\dreapta)$ $u$ $v$

În coordonate cilindrice, o versiune nerestricționată a benzii Möbius poate fi reprezentată prin ecuația: $\left(r,\;\theta ,\;z\right)$

\log r\sin {\frac {\theta {2}}=z\cos {\frac {\theta}}{2)),

unde logaritmul are o bază arbitrară.

Proprietăți

Limita benzii Möbius constă dintr-o singură curbă închisă.
Din punct de vedere topologic , banda Möbius poate fi definită ca spațiul factorilor al unui pătrat în raport cu relația de echivalență pentru . $\left[0,\;1\right]\times \left[0,\;1\right]$ $\left(x,\;0\right)\sim \left(1-x,\;1\right)$ $0\leqslant x\leqslant 1$
Banda Möbius este, de asemenea, spațiul unei fibrații non-triviale peste un cerc cu un segment de linie de fibră.
Fâșia Möbius poate fi plasată în interior, cu limita fiind un cerc perfect. O modalitate este de a aplica o proiecție stereografică unei sticle Klein scufundate într-o sferă 3D . Ideea este aceasta: fie cercul unitar din plan la . Conectând punctele antipode pe (adică punctele la unghiuri și ) cu un arc de cerc, obținem că pentru între și arcele se află deasupra planului , iar pentru altele - dedesubt (mai mult, în două locuri arcurile se află în avion ). $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $X y$ $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $\theta$ $\theta +\pi$ $\theta$ $0$ $\pi /2$ $X y$ $\theta$ $X y$
- Cu toate acestea, orice disc care se lipește de cercul limită va traversa inevitabil banda Möbius.
Un exemplu de încorporare a benzii Möbius este suprafața dată de ecuație $\mathbb {C} ^{2}$

z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }

z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},

Aici parametrul se schimbă de la 0 la . Limita acestei suprafețe este un cerc . Proiecția stereografică are ca rezultat o încorporare cu o limită care este exact un cerc.

\eta

\pi

z_{1}=0,|z_{2}|=1

\mathbb {R} ^{3}

Întrebări deschise

Care este minimul astfel încât o bandă Möbius care nu se intersectează automat poate fi pliată dintr-un dreptunghi cu o latură mai mică 1 și o latură mai mare k (hârtia nu are voie să fie șifonată)? Estimarea inferioară dovedită este , estimarea superioară este [3] . $k$ ${\frac {\pi }{2))$ ${\sqrt {3}}$
Există vreo formulă care descrie banda Möbius obținută prin îndoirea unei foi de hârtie plată? Formulele de mai sus descriu o suprafață care nu poate fi pliată dintr-o coală de hârtie deoarece are o curbură negativă; întrebarea este dacă este posibil să descriem o suprafață cu curbură zero într-un mod similar? [patru]
- Este mai dificil să găsești o formă care să minimizeze și energia elastică de îndoire. Soluția acestei probleme, pusă pentru prima dată de M. Sadowsky în 1930, a fost publicată în 2007 [5] . Cu toate acestea, soluția nu este descrisă printr-o formulă algebrică și este puțin probabil ca o astfel de formulă să existe. Pentru a găsi forma de echilibru spațial a benzii de hârtie Möbius, este necesar să se rezolve problema valorii la limită pentru sistemul de ecuații diferențiale-algebrice .

Dacă banda este tăiată

Dacă banda este tăiată de-a lungul unei linii echidistante de margini, în loc de două benzi Möbius, se va obține o bandă lungă cu două fețe (cerc complet răsucit). Această proprietate a trupei Möbius a fost folosită într-un truc vechi numit „Afghan Bands” [6] ( ing. The Afghan Bands ) încă din 1904 [7] , este descrisă și de Norbert Wiener în I Am a Mathematician (1956) [ 8] și Martin Gardner în Mathematics, Magic and Mystery (1956), acesta din urmă afirmă, de asemenea, că cea mai veche referire la utilizarea unei benzi Möbius pentru trucuri de magie este din 1882 [9] . Dacă banda rezultată este tăiată de-a lungul mijlocului, se obțin două astfel de benzi, înfășurate una peste alta.
Dacă tăiați banda Möbius, retrăgându-se de la margine cu aproximativ o treime din lățimea ei, atunci se obțin două benzi, una este o bandă Möbius mai scurtă, cealaltă este o bandă lungă cu două jumătăți de tură [10] .
Alte combinații de curele pot fi făcute din curele cu două sau mai multe jumătăți de spire în ele. De exemplu, dacă tăiați o panglică cu trei jumătate de tură, obțineți o panglică ondulată într- un nod de trifoi . O secțiune a benzii cu ture suplimentare oferă figuri neașteptate, numite inele paradromice .

Artă și tehnologie

Banda Möbius a servit drept inspirație pentru sculpturi și pentru artă grafică. Escher a fost unul dintre artiștii cărora le-a fost deosebit de pasionat și și-a dedicat câteva dintre litografiile sale acestui obiect matematic. Una dintre cele celebre, „Möbius strip II” [11] , prezintă furnici târându-se pe suprafața benzii Möbius.

Fâșia Möbius este emblema seriei de cărți de popularizare „ Biblioteca „Quantum” ”. Este, de asemenea, recurent în science-fiction , cum ar fi în nuvela lui Arthur C. Clarke „The Wall of Gloom”. Uneori, poveștile științifico-fantastice (în urma unor fizicieni teoreticieni) sugerează că universul nostru poate fi o bandă generalizată de Möbius. De asemenea, inelul Möbius este menționat în mod constant în lucrările scriitorului Ural Vladislav Krapivin , ciclul „ În adâncurile Marelui Cristal ” (de exemplu, „Avanpost pe câmpul de ancore. Povestea”). În nuvela „Moebius Strip” a lui A.J. Deitch , metroul din Boston construiește o nouă linie al cărei traseu devine atât de confuz încât devine o bandă Mobius, după care trenurile încep să dispară pe această linie. Pe baza poveștii, a fost filmat un film fantastic „ Mobius ” regizat de Gustavo Mosquera. De asemenea, ideea benzii Möbius este folosită în povestea lui M. Clifton „Pe banda Möbius”.

În 1987, pianistul de jazz sovietic Leonid Chizhik a înregistrat albumul Moebius Tape, care includea și compoziția cu același nume.

Există aplicații tehnice ale benzii Möbius. O bandă de bandă transportoare realizată sub forma unei benzi Möbius va dura mai mult deoarece întreaga suprafață a benzii se uzează uniform. Sistemele de bandă continuă folosesc și benzi Möbius (pentru a dubla timpul de înregistrare). În multe imprimante cu matrice de puncte , panglica de cerneală are și forma unei benzi Möbius pentru a-și crește resursele.

Tot deasupra intrării în Institutul CEMI RAS se află un înalt relief mozaic „Fâșia Möbius” realizat de arhitectul Leonid Pavlov [12] în colaborare cu artiștii E. A. Zharenova și V. K. Vasiltsov (1976) [13] .

Uneori se crede că banda Möbius este un prototip al simbolului infinitului , dar acesta din urmă a apărut cu două secole mai devreme [14] . $\infty$

Variații și generalizări

O suprafață apropiată unilaterală este sticla Klein . O sticlă Klein poate fi obținută prin lipirea a două benzi Möbius de-a lungul marginilor. În spațiul euclidian tridimensional obișnuit , este imposibil să faci acest lucru fără a crea auto-intersecții.
O altă varietate similară este planul proiectiv . Dacă străpungeți o gaură în planul proiectiv, atunci ceea ce rămâne este o bandă Möbius. Pe de altă parte, dacă lipiți discul de banda Möbius, potrivindu-le limitele, atunci rezultatul va fi un plan proiectiv.

Vezi și

Note

↑ Larison, Lorraine L. (1973). „Forpa Möbius în mozaicuri romane”. om de știință american . 61 (5): 544-547. Cod biblic : 1973AmSci..61..544L .
↑ Cartwright, Julyan H.E.; González, Diego L. (2016). „Möbius benzi înainte de Möbius: indicii topologice în reprezentările antice”. Inteligetorul matematic . 38 (2): 69-76. arXiv : 1609,07779 . Cod biblic : 2016arXiv160907779C . DOI : 10.1007/s00283-016-9631-8 . MR 3507121 .
↑ Fâșia Fuchs D. Möbius. Variațiuni pe o temă veche Arhivat 15 noiembrie 2011 la Wayback Machine // Kvant, nr. 1, 1979.
↑ Randrup T., Rogen P. Sides of the Möbius strip (engleză) // Archiv der Mathematik : journal. - 1996. - Vol. 66 . - P. 511-521 .
↑ Starostin. EL , van der Heijden GHM Forma unei benzi Möbius (engleză) // Nature Materials : journal. - 2007. - doi : 10.1038/nmat1929 .
↑ Gardner M. Profesorul care nu avea laturi. Note ale autorului // Știință și viață . - 1977. - Nr 5 . - S. 127 . (Rusă)
↑ Profesorul Hoffmann. Magia mai târziu . - New York, Londra: E. P. Dutton & Company, George Routledge & Sons, 1904. - P. 471-473.
↑ Norbert Wiener. Sunt matematician . - Garden City, New York: Doubleday & Company, 1956. - P. 26-27 . În traducere rusă: Norbert Wiener. Sunt matematician / Per. din engleza. Yu. S. Rodman. - Ed. a II-a. - M . : Science , 1967. - S. 19-20.
↑ Martin Gardner. Matematică, magie și mister . - New York: Dover Publications, 1956. - P. 70-73 .
↑ Kordemsky B. A. Experimente topologice făcute de tine însuți Copie de arhivă din 8 iunie 2016 la Wayback Machine // Kvant, nr. 3, 1974
↑ M.C. Escher - Mobius Strip II . Consultat la 5 octombrie 2014. Arhivat din original pe 6 octombrie 2014. (nedefinit)
↑ Expert de calcul . Data accesului: 12 decembrie 2015. Arhivat din original pe 22 decembrie 2015. (nedefinit)
↑ Arhitectul Maria Serova - despre „casa cu ureche” a lui Leonid Pavlov - Satul - Satul . Data accesului: 12 decembrie 2015. Arhivat din original pe 22 decembrie 2015. (nedefinit)
↑ Banda Möbius // Revista „Weekend” Nr.10 (106) din 20.03.2009 . Preluat la 4 august 2012. Arhivat din original la 4 august 2012. (nedefinit)

Literatură

Fomenko A. T., Fuchs D. B. Curs de topologie homotopică.— M.: Nauka, 1989.
Gardner M. Miracole și secrete matematice. - M.: Nauka, 1978.

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	GND : 1106880307

Suprafețe compacte și imersiile lor în spațiul tridimensional

Clasa de homeoformitate a unei suprafețe triangulate compacte este determinată de orientabilitate, numărul de componente de limită și caracteristica Euler.

fara limita

Orientabil	Sferă (genul 0) Thor (genul 1) „Opt” (genul 2) " Covrigi " (genul 3)...
Neorientabil	Plan proiectiv real genul 1; Suprafața de luptă suprafață romană Sticla Klein (genul 2) Suprafața Dick (genul 3)...

cu bordura

Disc
- emisferă
Panglică
- Inel
- Cilindru
Fâșia Mobius
- bandă Möbius
Sfera cu trei gauri...

Concepte înrudite

Proprietăți	Conectivitate compactitatea Triunghiulare sau netezime Orientabilitate
Caracteristici	Numărul de componente de chenar Gen caracteristica lui Euler
Operațiuni	Suma conectată tăierea găurilor Lipirea mânerului Atașarea benzii Möbius Imersiune