Subgrup compact maxim

Un subgrup compact maxim K al unui grup topologic G este un spațiu compact cu topologia indusă , care este maximă între toate subgrupurile. Subgrupurile compacte maxime joacă un rol important în clasificarea grupurilor Lie și mai ales în clasificarea grupurilor Lie semisimple. Subgrupurile compacte maxime ale grupurilor Lie nu sunt unice în cazul general, dar sunt unice până la conjugație - sunt în esență conjugate [ .

Exemplu

Ca exemplu, folosim subgrupul O(2), un grup ortogonal în interiorul grupului liniar general GL(2, R ). Un exemplu înrudit este grupul de cerc SO(2) din cadrul grupului SL(2, R ). Este evident că SO(2) în cadrul grupului SL(2, R ) este compact și nu maxim. Neunicitatea acestor exemple poate fi văzută din faptul că orice produs scalar are un grup ortogonal asociat și unicitatea esențială corespunde unicității esențiale a produsului scalar.

Definiție

Un subgrup maxim compact este subgrupul maxim dintre subgrupurile compacte - maximal (subgrup compact) - și nu (lectura posibilă alternativă) subgrup maximal , care se dovedește a fi compact, care ar trebui numit compact (subgrup maxim) , dar nu doar grupul maximal (și, de fapt, subgrupul propriu maxim, de regulă, nu este compact).

Existenta si unicitatea

Teorema Cartan-Iwasawa-Maltsev afirmă că orice grup Lie conectat (și, în plus, orice grup compact local) are subgrupuri compacte maxime și că toate sunt conjugate între ele. Pentru un grup de Lie semisimplu, unicitatea este o consecință a teoremei punctului fix a lui Cartan, care afirmă că, dacă un grup compact acționează prin izometrie pe o varietate riemanniană completă, pur și simplu conectată, curbată negativ , atunci are un punct fix.

Subgrupurile compacte maxime ale grupurilor de Lie conectate nu sunt de obicei unice, dar sunt unice până la conjugare, ceea ce înseamnă că dacă sunt date două subgrupuri compacte maxime K și L , există un element astfel încât [1] , de unde subgrupul compact maximal este în esență unic și cercetătorii vorbesc adesea despre subgrupurile compacte maxime ca fiind singurul subgrup. $g\în G$ $gKg^{-1}=L$

Pentru exemplul grupului liniar complet GL( n , R ), aceasta corespunde faptului că orice produs interior pe definește un grup ortogonal (compact) (grupul său de izometrie) și că are o bază ortonormală - schimbarea bazei definește un element de adiacență care definește adiacența grupului de izometrie clasică grup ortogonal O( n , R ) . $\mathbb {R} ^{n}$

Dovada

Pentru un grup real semisimplu, dovada lui Cartan a existenței și unicității unui subgrup maxim compact poate fi găsită în lucrarea lui Borel [2] și cartea lui Helgason [3] . Cartier [4] și Hoschild [5] au discutat extinderea demonstrației la grupuri Lie conectate și grupuri compacte conectate local.

Pentru grupurile semisimple, existența este o consecință a existenței unei forme reale compacte unui grup de Lie semisimple necompact și a descompunerii Cartan corespunzătoare . Dovada unicității se bazează pe teorema punctului fix a lui Cartan și pe faptul că spațiul simetric riemannian corespunzător are curbură negativă . Mostov [6] a arătat că derivata mapării exponențiale în orice punct satisface condiția . Rezultă de aici că este un spațiu Hadamard , adică un spațiu metric complet care satisface o formă slăbită a identității paralelogramului în spațiul euclidian. Unicitatea poate fi apoi dedusă din teorema punctului fix Bruhat-Tits . Mai mult, orice set închis delimitat din spațiul Hadamard este conținut în cea mai mică minge închisă unică. În special, un grup compact care acționează prin izometrii trebuie să mențină centrele cercurilor circumscrise fiecăreia dintre orbitele sale fixe. $G/K$ $G/K$ $|\mathrm {dexp} X|\geqslant |X|$ $G/K$

Dovada unicității pentru grupurile semisimple

Mostov [6] a redus problema generală pentru grupurile semisimple la cazul GL( n , R ). Spațiul simetric corespunzător este spațiul matricelor simetrice pozitive. O dovadă directă a unicității bazată pe proprietățile elementare ale acestui spațiu este dată în cartea lui Hilgert și Neeb [7] .

Fie o algebră Lie semisimplu reală cu involuție Cartan . Atunci subgrupul de puncte fixe involuției este un subgrup maxim compact al lui K și există o descompunere spectrală a matricei $\mathfrak{g}$ $\sigma$ $\sigma$

\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}

unde , algebra Lie a subgrupului K , este un spațiu propriu +1. Expansiunea Cartan dă ${\mathfrak {k)}$

\displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak {p}}=K\cdot P=P\cdot K}

Dacă B este forma Killing a lui , dată de , atunci $\mathfrak{g}$ $B(X,Y)=\mathrm {Tr(ad~X)(ad~Y)}$

\displaystyle {(X,Y)_{\sigma}=-B(X,\sigma (Y)))

este produsul scalar real pe . Sub reprezentarea alăturată a grupului Lie, K este un subgrup al grupului G care păstrează produsul scalar. $\mathfrak{g}$

Dacă B este un alt subgrup compact al lui G , atunci K este un subgrup al lui G care păstrează acest produs interior.

Dacă H este un alt subgrup compact al lui G , atunci media produsului interior peste H în raport cu măsura Haar dă un invariant al produsului interior peste H. Operatorii Ad p pentru p din P sunt operatori simetrici pozitivi. Acest nou produs punct poate fi scris ca

(S\cdot X,Y)_{\sigma )

unde S este un operator simetric pozitiv pe , astfel încât pentru h din H (cu transpunerea calculată folosind produsul scalar). Mai mult, pentru x din G $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} (h)^{t}S\mathrm {Ad} ~h=S$

\displaystyle {\mathrm {Anunț} \,\sigma (x)=(\mathrm {Anunț} \,(x)^{-1})^{t))

Deci pentru h din H

\displaystyle {S\circ \mathrm {Ad} (\sigma (h))=\mathrm {Ad} (h)\circ S)

Pentru X din definim $\mathfrak{p}$

\displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr} \,\mathrm {Ad} (e^{X})S)

Dacă este o bază ortonormală a vectorilor proprii pentru S cu , atunci $e_{i}$ $Se_{i}=\lambda _{i}e_{i)$

\displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i}, e_{i})_{\sigma }\geqslant (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X}}

deci f este strict pozitivă și tinde spre ca tinde spre . De fapt, această normă este echivalentă cu operatorul normă pe operatori simetrici , iar orice valoare proprie diferită de zero apare împreună cu o valoare negativă, deoarece este un operator adjunct skew pe forma reală compactă . Deci f are un minim global, să zicem la Y . Acest minim este unic, deoarece dacă Z este un alt minim, $\infty$ $|X|$ $\infty$ $\mathrm {ad} ~X$ $i~\mathrm {ad} ~X$ ${\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}$

\displaystyle {e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2))

unde X in este determinat de expansiunea Cartan $\mathfrak{p}$

\displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2))

Dacă este o bază ortonormală a vectorilor proprii cu valori proprii reale corespunzătoare , atunci $f_{i}$ $\mathrm {ad} ~X$ $\mu _{i}$

\displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})=\sum e^{\mu _{i}t}\|Anunț (e^{Y/2})f_{i}\|_{\sigma }^{2))

Deoarece partea dreaptă este o combinație pozitivă de puteri, o funcție cu valoare reală g este strict convexă dacă X ≠ 0, deci are un minim unic. Pe de altă parte, funcția are un minim local la t = 0 și t = 1, deoarece X = 0 și p = exp Y este singurul minim global. Prin construcție pentru h din H , deci pentru h din H . Prin urmare, . Aceasta implică faptul că în caz este fix pentru și, prin urmare, se află în K . $f(x)=f(\sigma (h)xh^{-1})$ $p=\sigma (h)ph^{-1)$ $\sigma (h)=php^{-1)$ $g=\mathrm {exp} Y/2,gHg^{-1)$ $\sigma$

Aplicații

Teoria reprezentării

Subgrupurile compacte maxime joacă un rol major în teoria reprezentării atunci când G nu este compact. În acest caz, subgrupul compact maxim al lui K este un grup compact Lie (deoarece un subgrup închis al unui grup Lie este un grup Lie), pentru care teoria este mai simplă.

Operațiile asociate cu teoria reprezentării lui G și K sunt restricția reprezentărilor de la G la K și reprezentarea indusă de la K la G , iar acest lucru este destul de ușor de înțeles. Aceste teorii includ teoria funcțiilor sferice zonale .

Topologie

Topologia algebrică a grupurilor Lie se transferă și la subgrupul compact maxim K . Pentru a fi precis, un grup de Lie conectat este produsul topologic (deși nu produsul de grup) al unui subgrup compact maxim K și al unui spațiu euclidian . Atunci, în special, K este o retractare de deformare a grupului G și este echivalent cu omotopie și, prin urmare, au aceleași grupuri de homotopie . Mai mult, includerea și retragerea deformației sunt echivalențe de homotopie . $G=K\times \mathbb {R} ^{d)$ $K\hookrightarrow G$ $G\twoheadrightarrow K$

Pentru grupul liniar general, această descompunere este o descompunere QR , iar retragerea deformației este un proces Gram-Schmidt . Pentru grupurile semisimple generale, descompunerea este descompunerea Iwasawa G sub forma G =KAN , unde K apare împreună cu un subgrup contractabil AN .

Vezi și

subgrup hiperspecial
Complex Lie group

Note

↑ Rețineți că elementul g nu este unic - orice element din aceeași clasă de clase gK este potrivit .
↑ Borel, 1950 .
↑ Helgason, 1978 .
↑ Cartier, 1955 .
↑ Hochschild, 1965 .
↑ 12 Mostow , 1955 .
↑ Hilgert, Neeb, 2012 .

Literatură

Armand Borel. Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie (Exposé No. 33) . - 1950. - T. 1. - (Séminaire Bourbaki). (link indisponibil)
Cartier P. Structure topologique des groupes de Lie généraux (Exposé No. 22) . - 1955. - Vol. 1. - (Séminaire „Minciuna Sophus”). (link indisponibil)
Dieudonné J. Grupuri Compact Lie și grupuri Lie semisimple, Capitolul XXI. - Academic Press, 1977. - V. 5. - (Tratat de analiză). — ISBN 012215505X .
Sigurdur Helgason. Geometrie diferențială, grupuri Lie și spații simetrice. - Presa Academică, 1978. - ISBN 978-0-12-338460-7 .
Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb. Structura și geometria grupurilor de minciuni. - Springer, 2012. - (Monografii Springer în matematică). — ISBN 0387847944 .
Hochschild G. Structura grupurilor Lie. — Holden-Day, 1965.
Mostow GD Câteva noi teoreme de descompunere pentru grupuri semi-simple . - 1955. - T. 14. - S. 31-54. — (Mem. Amer. Math. Soc.).
Onishchik AL, Vinberg EB Lie Groups and Lie Algebras III: Structure of Lie Groups and Lie Algebras. - Springer, 1994. - (Enciclopedia Științelor Matematice). — ISBN 9783540546832 .
Maltsev A.I. Despre teoria grupurilor Lie în mare // Mat. Colectie. - 1945. - T. 16 . — S. 163–189 .
Iwasawa K. Despre unele tipuri de grupuri topologice // Ann. de Matematică.. - 1949. - V. 50 . — S. 507–558 . - doi : 10.2307/1969548 .