Meci de matematică

Coincidența matematică este o situație în care două expresii dau aproape aceleași valori, deși această coincidență nu poate fi explicată teoretic în niciun fel. De exemplu, există o afinitate pentru numărul rotund 1000 exprimat ca putere a lui 2 și ca putere a lui 10: . Unele potriviri matematice sunt folosite în inginerie atunci când o expresie este folosită ca o aproximare a alteia. $2^{10}=1024\aprox 1000=10^{3}$

Introducere

Coincidența matematică este adesea asociată cu numerele întregi , iar exemplele surprinzătoare ("aleatorie") reflectă faptul că numerele reale care apar în anumite contexte se dovedesc a fi, după unele standarde, o aproximare "aproape" a numerelor întregi mici sau o putere de zece , sau, mai general, un număr rațional.cu un mic numitor . Un alt tip de potrivire matematică, cum ar fi numere întregi care îndeplinesc simultan mai multe criterii aparent neînrudite sau potriviri legate de unitățile de măsură. În clasa coincidențelor pur matematice, unele rezultate simple au o bază matematică profundă, în timp ce altele apar „din senin”.

Având în vedere un număr numărabil de moduri de a forma expresii matematice folosind un număr finit de simboluri, potrivirea numărului de simboluri utilizate și acuratețea aproximării poate fi cea mai evidentă modalitate de a obține o potrivire matematică. Nu există totuși un standard și legea puternică a numerelor mici este genul de argument la care se recurge atunci când nu există o înțelegere matematică formală. Este nevoie de un anumit simț estetic matematic pentru a decide asupra semnificației unei coincidențe matematice, dacă este o apariție excepțională sau un fapt matematic important (de exemplu, constanta lui Ramanujan de mai jos despre o constantă care a apărut în tipar acum câțiva ani ca un glumă științifică a lui April Fool [1] ). În concluzie, aceste coincidențe sunt considerate pentru curiozitatea lor sau pentru încurajarea iubitorilor de matematică la nivel elementar.

Câteva exemple

Aproximații raționale

Uneori, aproximațiile raționale simple sunt excepțional de apropiate de valorile iraționale interesante. Faptul poate fi explicat prin reprezentarea valorilor iraționale ca fracții continue , dar de ce se întâmplă adesea aceste coincidențe incredibile rămâne neclar.

Este adesea folosită aproximarea rațională (prin fracții continuate) la raportul logaritmilor diferitelor numere, ceea ce oferă o coincidență (aproximativă) a puterilor acestor numere [2] .

Câteva potriviri cu număr : $\pi$

prima convergentă a numărului , [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, cunoscut încă de pe vremea lui Arhimede [3] , și oferă o precizie de aproximativ 0,04%. Al treilea convergent, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929... găsit de Zu Chongzhi [4] este corect cu șase zecimale [3] . Această mare precizie se datorează faptului că următorul termen al fracției continuate are o valoare neobișnuit de mare: = [3; 7, 15, 1, 292, …] [5] ; $\pi$ $\pi$
coincidența, la care participă și secțiunea de aur φ, este dată de formula . Această relație este legată de triunghiul lui Kepler ; unii cercetători cred că această coincidență se găsește în piramidele din Giza , dar este extrem de puțin probabil ca aceasta să fie intenționată [6] ; $\pi$ $\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3,1446\dots$
există o secvență de șase nouă care începe la poziția 762 a reprezentării zecimale a numărului . Pentru un număr normal ales aleatoriu, probabilitatea oricărei secvențe alese de șase cifre (de exemplu, 658020) este rară în notație zecimală, doar 0,08%. Există o presupunere care este un număr normal, dar acest lucru nu a fost dovedit; $\pi$ $\pi$
${\frac {5}{6}}\pi \approx \varphi ^{2}$ ; corectă până la 0,002%.

Număr potriviri $e$ :

succesiunea de cifre „1828” se repetă de două ori aproape de începutul reprezentării zecimale a numărului = 2,7 1828 1828…. [7] ; $e$
există o succesiune de numere „99 999 999” printre primele 500 de mii de caractere ale numărului [8] . $e$

Coincidența este, de asemenea, utilizată pe scară largă , corectă cu o precizie de 2,4%. Aproximare rațională sau coincide cu o precizie de 0,3%. Această coincidență este folosită în calculele de inginerie pentru a aproxima de două ori puterea ca 3 decibeli (valoarea reală este 3,0103 dB - punctul de jumătate de putere ), sau pentru a converti kibibytes în kilobytes [9] [10] . Aceeași potrivire poate fi rescrisă ca (eliminați factorul comun , astfel încât eroarea relativă să rămână aceeași, 2,4%), ceea ce corespunde unei aproximări raționale , sau (de asemenea, în limita a 0,3%). Această potrivire este folosită, de exemplu, pentru a seta vitezele obturatorului în camere ca o aproximare a puterilor de doi (128, 256, 512) în secvența vitezelor de expunere 125, 250, 500 și așa mai departe [2] . $2^{10}=1024\aprox 1000=10^{3}$ $\textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\aprox 3{,}3219\aprox {\frac {10}{3}}$ $2\aproximativ 10^{3/10}$ $128=2^{7}\aprox 5^{3}=125$ $2^3$ $\textstyle {\frac {\log 5}{\log 2))\aprox 2,3219\aprox {\frac {7}{3)}$ $2\aprox 5^{3/7}$

Coincidență cu intervalele muzicale

Coincidență , folosită de obicei în muzică atunci când acordați 7 semitonuri dintr-o scală de temperament egal într-o cincime pură a unei scale naturale : , care coincide cu o precizie de 0,1%. A cincea perfectă este baza sistemului pitagoreic și este cel mai comun sistem în muzică. Din aproximarea rezultată rezultă că cercul de cincimi se termină cu șapte octave deasupra începutului [2] . $2^{19}\aproximativ 3^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}\aproximativ 1,5849\dots \aprox {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\aprox 3/2;$ ${(3/2)}^{12}\aproximativ 2^{7)$

Meciul are ca rezultat o versiune rațională a fretelor 12-TET, după cum a menționat Johann Kirnberger . ${\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1,33333319\ldots \aprox {\frac {4}{3}}$

Coincidența duce la o versiune rațională a temperamentului de tonuri medii de 1/4 virgulă . ${\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4,00000559\ldots \aprox 4$

Meciul duce la un interval foarte mic (aproximativ un milicent ). ${\sqrt[{9}]{0,6}}{\sqrt[{28}]{4,9}}=0,99999999754\ldots \aprox 1$ $2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}$

Potrivirea cu o putere de 2 are ca rezultat trei treimi majore care formează o octavă, . Aceasta și alte aproximări similare în muzică se numesc matrițe . ${(5/4)}^{3}\aprox {2/1}$

Expresii numerice

Expresii cu puteri : $\pi$

$\pi ^{2}\aproximativ 10$ cu o precizie de aproximativ 1,3% [11] Acest lucru poate fi înțeles din punct de vedere al formulei funcției zeta [12] , această coincidență a fost folosită în elaborarea regulilor de calcul când scala începe cu și nu cu ; $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$
$\pi ^{2}\aprox 227/23$ precisă la 0,0004% [11] ;
$\pi ^{3}\aproximativ 31$ precisă la 0,02%;
${\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\aprox 2$ precisă la 0,004%;
$\pi \aprox \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}$ sau [13] la 8 zecimale [14] ; $22\pi ^{4}\aprox 2143$

{\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22)}}=3,1415926525\dots

;

{\sqrt[{5}]{306}}=3,14155\dots

;

{\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18)}}=3,1415924\dots

;

{\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7)}}=3,14159\dots

;

Unele conexiuni plauzibile sunt realizate cu un grad ridicat de acuratețe, dar rămân totuși coincidențe. Un exemplu este:

\int _{0}^{\infty}\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty}\cos \left({\frac {x}{n)}\right) \mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}

Cele două laturi ale acestei expresii diferă doar prin a 42-a zecimală [15] .

Expresii cu puteri și : $\pi$ $e$

$\pi ^{4}+\pi ^{5}\aprox e^{6)$ , cu o precizie de 0,000 005% [13] ;
${\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi )))$ foarte aproape de 5, aproximativ 0,008% precizie;
${3}^{\frac {\pi +e}{4}}$ foarte aproape de 5, precizie aproximativ 0,000 538% [16] ;
$e^{\pi }-\pi \aprox 19,99909998$ foarte aproape de 20 [17] , această potrivire este echivalentă cu [13] ; $(\pi +20)^{i}=-0,9999999992\ldots -i\cdot 0,000039\ldots \approx -1$
$\pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9,9998\ldots \aprox 10$ [13] .

Expresii cu , și 163: $\pi$ $e$

${163}\cdot (\pi -e)\aprox 69$ cu o precizie de 0,0005%] [13] ;
${\frac {163}{\ln 163}}\aprox 2^{5}$ cu o precizie de 0,000004%] [13] ;
Constanta lui Ramanujan :, precizie, descoperită în 1859 de Charles Hermite [18] , nu este o coincidență matematică aleatoare inexplicabilă, deoarece este o consecință a faptului că 163 este un număr Hegner . $e^{\pi {\sqrt {163}}}\aprox (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744$ $2,9\cdot 10^{-28}\%$

Expresie cu logaritmi:

$\ln 2\aprox \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}$ (precizie 0,00024%).

În discuția despre paradoxul zilei de naștere , apare un număr care este „amuzant” egal cu până la 4 cifre [19] . $\lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}$ $\ln(2)$

Coincidențe numerice în lumea fizică

Șase săptămâni

Numărul de secunde în șase săptămâni, sau 42 de zile, este exact 10! ( factorial ) secunde (de la , și ). Mulți au observat această coincidență, în special numărul 42 este semnificativ în romanul Ghidul autostopitului către galaxie de Douglas Adams . $24=4!$ $42=6\cdot 7$ $60^{2}=5\cdot 8\cdot 9\cdot 10$

Viteza luminii

Viteza luminii (prin definiție) este exact 299.792.458 m/s, foarte aproape de 300.000.000 m/s. Aceasta este o pură coincidență, deoarece metrul a fost definit inițial ca 1/ 10.000.000 din distanța dintre polul pământului și ecuator la nivelul mării, circumferința pământului era de aproximativ 2/15 de secundă lumină [20] .

Accelerația gravitațională

Nefiind constantă, dar dependentă de latitudine și longitudine , valoarea numerică a accelerației căderii libere pe suprafață se situează între 9,74 și 9,87, ceea ce este destul de apropiat de 10. Aceasta înseamnă că, ca urmare a celei de-a doua legi a lui Newton, greutatea a unui kilogram de masă pe suprafața terestră a Pământului corespunde aproximativ 10 newtoni aplicați obiectului de forță [21] .

Această coincidență este de fapt legată de coincidența menționată mai sus a pătratului cu 10. Una dintre definițiile timpurii ale metrului este lungimea pendulului, a cărui perioadă de oscilație este de două secunde. Deoarece perioada de oscilație completă este dată aproximativ de formula de mai jos, după calcule algebrice, obținem că constanta gravitațională este egală cu pătratul [22] $\pi$ $\pi$

T\aprox 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}

Când s-a constatat că circumferința Pământului este foarte apropiată de 40.000.000 de metri, definiția contorului a fost schimbată pentru a reflecta acest fapt, deoarece era un standard mai obiectiv (constanta gravitațională de la suprafața Pământului nu este constantă). Acest lucru a dus la o creștere a lungimii contorului cu puțin mai puțin de 1%, care a intrat în limitele erorilor de măsurare experimentală.

O altă coincidență este aceea că valoarea lui g , care este de aproximativ 9,8 m/s 2 , este egală cu 1,03 ani lumină /an 2 , care este aproape de 1. Această coincidență se datorează faptului că g este aproape de 10 în unitățile SI (m/s 2 ), după cum sa menționat mai sus, împreună cu faptul că numărul de secunde dintr-un an este apropiat de valoarea numerică c /10, unde c este viteza luminii în m/s.

constanta Rydberg

Constanta Rydberg înmulțită cu viteza luminii și exprimată ca frecvență este aproape de Hz: [20] ${\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}$

{\underline {3,2898}}41960364(17)\times 10^{15}

Hz [23] .

=R_{\infty }c

{\underline {3,2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}

Constantă de structură fină

Constanta structurii fine este apropiată de și s-a emis ipoteza că este exact egală cu . $\alfa$ ${\frac {1}{137}}$ ${\frac {1}{137}}$

\alpha ={\frac {1}{137.035999074\dots }}

Deși această potrivire nu este la fel de strictă ca unele dintre cele de mai sus, este remarcabil că este o constantă adimensională , așa că această potrivire nu este legată de unitatea utilizată. $\alfa$

Vezi și

Note

↑ Gardner, 2001 , p. 674–694.
↑ 1 2 3 Schroeder, 2008 , p. 26–28.
↑ 1 2 Beckmann, 1971 , p. 101, 170.
↑ Mikami, 1913 , p. 135.
↑ Weisstein, 2003 , p. 2232.
↑ Herz-Fischler, 2000 , p. 67.
↑ În 1828, s-a născut Lev Tolstoi, acest lucru vă permite să vă amintiți numărul e cu o precizie de 10 caractere.
↑ Numărul e la 1 milion de cifre . NASA. Data accesului: 14 februarie 2017. Arhivat din original pe 2 iulie 2017. (nedefinit)
↑ Beucher, 2008 , p. 195.
↑ Ayob, 2008 , p. 278.
↑ 1 2 Frank Rubin, The Contest Center - Pi Arhivat la 8 octombrie 2017 la Wayback Machine .
↑ De ce este atât de aproape de 10? $\pi ^{2}$ Arhivat 9 august 2017 la Wayback Machine (De ce atât de aproape de 10?), Noam Elkies $\pi ^{2}$
↑ 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. Almost Integer (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ după Ramanujan : Quarterly Journal of Mathematics , XLV, 1914, pp. 350-372. Ramanujan susține că această „aproximare curioasă” pentru a fost „obținută empiric” și nu are nicio legătură cu teoria dezvoltată în lucrare. $\pi$
↑ Copie arhivată (link nu este disponibil) . Consultat la 25 februarie 2017. Arhivat din original la 20 iulie 2011. (nedefinit)
↑ Joseph Clarke, 2015)
↑ Conway, Sloane, Plough, 1988
↑ Barrow, 2002 .
↑ Arratia, Goldstein, Gordon, 1990 , p. 403–434.
↑ 1 2 Michon, Gérard P. Coincidențe numerice în numerele artificiale . Miracole matematice . Consultat la 29 aprilie 2011. Arhivat din original pe 22 octombrie 2017. (nedefinit)
↑ Leduc, 2003 , p. 25.
↑ Ce legătură are Pi cu gravitația? . Wired (8 martie 2013). Consultat la 15 octombrie 2015. Arhivat din original la 10 noiembrie 2017. (nedefinit)
↑ NIST .

Literatură

Martin Gardner. Șase descoperiri senzaționale // The Colosal Book of Mathematics . - New York: W. W. Norton & Company, 2001. - pp . 674-694 . - ISBN 0-393-02023-1 .
Yoshio Mikami. Dezvoltarea matematicii în China și Japonia. - BG Teubner, 1913. - S. 135.
Petr Beckmann. O istorie a lui Pi. - Macmillan, 1971. - S. 101, 170. - ISBN 978-0-312-38185-1 .
Roger Herz-Fischler. Forma Marii Piramide. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - P. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Ottmar Beucher. Matlab și Simulink. - Pearson Education, 2008. - P. 195. - ISBN 978-3-8273-7340-3 .
K. Ayob. Filtre digitale în hardware: un ghid practic pentru inginerii de firmware. - Editura Trafford, 2008. - P. 278. - ISBN 978-1-4251-4246-9 .
Manfred Robert Schroeder. Teoria numerelor în știință și comunicare. — al 2-lea. - Springer, 2008. - S. 26–28. - ISBN 978-3-540-85297-1 .
John D Barrow. Constantele naturii . - Londra: Jonathan Cape, 2002. - ISBN 0-224-06135-6 .
Richard Arratia, Larry Goldstein, Louis Gordon. Aproximarea Poisson și metoda Chen-Stein // Statistical Science . - 1990. - V. 5 , nr. 4 . — S. 403–434 . - doi : 10.1214/ss/1177012015 . — .
Charles Smith. Moștenirea noastră în Marea Piramidă. - Editura Kessinger, 2004. - P. 39. - ISBN 1-4179-7429-X .
Steven A. Leduc. Clacking the AP Physics B&C Exam, 2004–2005 Edition. - Princeton Review Publishing, 2003. - P. 25. - ISBN 0-375-76387-2 .
Constante Rydberg ori c în Hz . Constante fizice fundamentale . NIST. Preluat: 25 iulie 2011. (nedefinit)
Randall Munroe. Și dacă?. - 2014. - ISBN 9781848549562 .
Roger Herz-Fischler. Forma Marii Piramide. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - P. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Eric W. Weisstein. CRC enciclopedie concisă de matematică. - CRC Press, 2003. - P. 2232. - ISBN 978-1-58488-347-0 .

Link -uri

V. Levshin. Master în Științe Dispersate. - Moscova: Literatura pentru copii, 1970. - S. 256.
Hardy, G.H. - Scuzele unui matematician . — New York: Cambridge University Press, 1993, ( ISBN 0-521-42706-1 )
Weisstein, Eric W. Almost Integer (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Diverse coincidențe matematice în secțiunea „Știință și matematică” a futilitycloset.com
Press, WH, Coincidențe matematice aparent remarcabile sunt ușor de generat